Сборник задач по аналитической геометрии (946870), страница 24
Текст из файла (страница 24)
867. Вектор с перпендикулярен к векторам а н Ь, угол между а я Ь равен ЗО'. Зная, что ] а1= 6, [ Ь [= 3, ] с ] = 3, вычислить аЬс. 868. Доказать, что ] аьс ~ ~~]а )~ Ь [[с ~; в каком случае здесь может иметь место знак равенствар 869. Доказать тождество (а+Ь)(Ь+с)(с+а) = 2аЬс. 870. Доказать тождество аЬ(с+ 3,а+]гь)=аЬс, где а и П вЂ” какие угодно числа. 871. Доказать, что векторы а, Ь, с, удовлетворяющие условгпо ]аЬ)+ ]Ьс]+ [са] = О, компланарны. 872. Доказать, что необходимым и достаточным условием компланарности векторов а, Ь, с является зависимость па+ 6Ь+ ус=-О, где по крайней мере одно из чисел а, ]], у не равно нулю.
873. Даны тря вектора: а = — (1; — 1; 3), Ь=( — 2; 2; Ц, с=(3; — 2', 5). Вычислить аЬс. 874. Установить, компланариы лн векторы а, Ь, с„ если; 1) а=(2; 3; -Ц, Ь=(!; -1; 3), с=(1; д; 1Ц 2) а=(3; — 2; Ц, Ь=(2; 1; 2), с=(З; — 1; — 2); 3) а=(2; — 1; 2), Ь=(1; 2; — 3), с=(З; — 4; 7).
875. Доказать, что четыре точки А (1; 2; — Ц, В(0; 1; 5), С(-1; 2; Ц, Р(21 1; 3) лежат в одной плоскости. 876. Вычислить объем тетраэдра, вершины которого находятся в точках А(2; -1; Ц, В(5; 5; 4), С(3; 2; — 1) и Р(4; 1; 3). 877.
Даны вершины тетраэдра: А(2; 3; Ц, В(4; 1; -2), С (6; 3; 7), Р( — 5; — 4; 8). Найти длину его высоты, опущенной из вершины,0. 132 [иЬ] - «О; О; Х1Уз], [[аЬ] е] =- ( — Х,гзгз Х~Узхз' О] ~ С другой стороны, ае = — Х,Х,: ь( 1-(х,х,хя х1у,хз, О], Ье = ХХз+ узуз, а (Ье1=(ХХХ, + Х~узуз, О; О). Слеповаты,вьно Ь (ае) — а(Ье) (- Х1узуя Х1узхя О]. Прзвыяввя правые части формул (1) и (2). получаем: [[аь] е] = Ь (ае) — а (Ье), (2] что ы требовалось 879. Доказать тождество (а(Ьс)] = Ь(ас) — с(аЬ).
880. Решить задачу 864, используя 1ождества, дан:,: 'ные в яачалс этого параграфа, и тождество задачи 879. 881. Даны вершины треугольника А (2; — 1; — 3), В (1; 2; — 4) н С (3; — 1; — 2). Вычислить координаты з' вектора Ь, коллпнеарного с его высотой, опущенной из вершины А на противоположную сторону, при 133 878. Объем тетраэдра о=5, три его вершины на- ';;:~~!.:,':::-' ходятся в точках А(2; 1; — Ц, В(3; 0; Ц, С(2; — 1; 3).
Найти координаты четвертой вершины Р, если известно, .:,'~ь.<'',::-' что она лежит на оси Оу. 4-'-, 9 34. Двойное векторное произведение Пусть вектор а умножается векторно ии вектор Ь, поело чего полученный вектор [аЬ] умножается снова векторно на вектор е. В результате получается так называемое двойное векторное произведение [[иЬ] е] (ясно, что [[аЬ]е] — вектор). Умножая вектор а векторно на (Ье], получим двойное векторное произведение [и [ЬеЦ.
Вообще говоря, ЦаЬ] е] чь (и [Ье]]. Докажем, что имеет место тождество [[оЬ] е] Ь (ие) — и (Ье). Доказательство. Введем (декартову прямоугольную) систему координат. Чтобы облегчить выкладки, расположим оси координат специальным образом, а именно'. ось Ол направим по вектору а, ось Оу поместим в плоскости векторов о и Ь (считая, что векторы а, Ь приведены к общему началу), В таком случае будем иметь и=(хя О; О), Ь (Х,; ум О], е (Х; уз1 сз] Теперь нзходньг условии, что ве)Гтб]1'й образует с осью Оу гуйбй угол й что его модуль равен 2У34. 882. Считая, что каждый из векторов а, Ь, с отличен от нуля, установить, при каком их взаимном располо. женин справедливо равенство [а[ЬсЦ = [[аЬ]с], 883, Доказать тождества~ 1) [а[ЬсЦ+ [Б[саЦ+ [с[аЬЦ О; 2) [аЬ] [сс(] = (ас) (Ьд) — (ас() (Ьс); 3) [аЬ] [с4 + [ас] [ИЬ] + [ад] [Ьс] = О; 4) ЦаЬ] [с~уЦ =с (аЫ) — И (аЬс); 5) [аЬ] [Ьс] [са] = (аЬс); 6) [а[а[а [аЬЦЦ=а"Ь при условии, что векторы а и Ь взаимно перпенднку,.ярны; 7) [а [Ь [ст1Ц] = [ас](И) — [а4(Ьс); 8) [а [Ь [са Ц] = (асй Ь вЂ” (аЬ) [с4; 9) [аЬ]' [ас]з — ( [аЬ] [ас1)а =- аз (аас)"; 10) [[, Ь] [ЬсЦ [[Ьс]1саЦ г[са] [аЬЦ (аЬс)ч.
11) (а Ь) [сеХ] + (ас) [юХЬ] + ~ад) [Ьс] =. а (Ьсс(); ' пЫ пйе: 12) (аЬс) (апе) =- ~ асе асс; 884, Трн некомпланарных вектора а, Ь и с приве- дены к обгцему началу. Доказать, что плоскость, про- ходящая через концы зтих векторов, перпендикулярна к вектору [аЬ] + [Ьс]+ [са], ГЛАВА й УРАВНЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ И УРАВНЕНИЯ ЛИНИИ В 35, Уравнение поверхности ")1' Уравнением данной поверхности (в выбранной системе коордн нат) называется такое уравнение с тремя переменными Р(х, у, г)= О, которому удовлетворязот координаты каждой точки, лежащей на втой поверхности, и не удовлетнорякзт координаты никакой точки не лежащей на неи. 885.
Даны точки М, (2; — 3; 6), Ма (О, "7; 0), М, (3; 2; — 4), Ма(2 ]/2; 4; — 5), М„(1; -4; — 5), М,(2; 6; — У 5 ). Установить, какие из них лежат на поверхности, определенной уравнением хз+ ух+ ха=49, и какие не лежат на ней? Какая поверхность определена данным уравнением? 886.
На поверхности ха+ у'+г'=9 найти точку, для которой: 1) абсцисса равна 1, ордината равна 2; 2) абсцисса равна 2, ордината равна 5; 3) абсцисса равна 2, апликата равна 2; 4) ордината равна 2, аплнката равна 4. 887. Установить, какие геометрические образы опре. делаются следующими уравнениями в декартовых прямоугольных координатах пространствгп 1) х = О„ 2) у 0; 3) х = 0; 4) х — 2 = 0; 5) у + 2 =- 0; 6) г + 5 = 0 7) х' + у' + ва = 25; 8) (х — 2)'+ (у+ 3)'+ (х — 5)а = 49; 9) х'+ 2у'+ Згз = 0; 10) ха+ 2у'+ Зхз+ 5 = 0; 11) х — у=О; 12) х+ а=0; 13) у — я=О; 14) ху=О; 15) ха=О; 16) ух=О; 17) хуа=О; 18) х' — 4х=О; 19) ху — у' = 0; 20) уг + г' = О.
135 888. Даны две точки Р,(-с; О; 0) и Ра(с; 0; 0), Вывести уравнение геометрического места точек, сумма расстояний которых до двух данных точек есть величина постоянная, равная 2а при условии а > О, с > 0; и > с. Р еще вяе. Обозпс)п)зг буквой М и!)осгззольяую тому прссграясгсо, буквзмв х, у. г — ее ко) рдппоты. Тая хак точка М мо:я) г гопвмагь л)обое положение, го х, у и г являются псремеяпыяя вслвчявзмя: пх яаэывс)юг текущ)смя коояд)гязтзмя. Т~чка М лс)кзг ва давкой поверхпостя в ггеа я телы)о в том случ))е, когда Мг") + МУ) =--. 2а.
!!) саго есть апре чсл япе попеохязсгя, зызо) ыяяое символе)есхв. Вырез))м МР) п Мгг через текущее коор щвогы г чкп М, мр - )с) )'г г )- -' . )р, -*) т* - я т. ) ~ " Пег)стоввсс полу)сивые выра)кевпя а розсясгво (!). Тем сам)))г 1' (г -)77с'!'+ у'+ "-' + ))г(х — с)г -)- у'+ гз 2а, (2! кетовое счязыв,к"г гехупще коордгвагы х, у, г Зго я есть уяавпсяяе лщ)вой п),ве!)хвоста.
Десйсгввгелы)а, лля каждой точке М, пежо;цей яа дюп)ой оовгрхпосгп, вь)чолпяегся условяе (!) и. следозател),яо, коордспаты такой го:;кп будут улов,сотворясь уразяепяю (2), лля каждо!! го)кя, яе лежащей вз )совсрхяосгя, ус.пюке (!) вс булез выполяяться я, слеловогельяо, ге яоор)с)))гасы вс будут удовлетворять уравнея)по (2). Т')кям об!)азо1), задача Ргпзспж да,.ыссйпцяе выклолкя ямеют целью щ)едстзысгь упззнеяв; поверх)гоств в белес простоьг вчде Усдяпяц в уроввАп)я (2) перчив родя)сол.
~~* ) г е г е .' = ) — ) ) — г г г возпелем обе части этого рззевства в квадрат и раскроем скобки мь, получим: х) + 2сх + се + у" + ге =- 4ае — 4а 1' (х — с)' + у' + гз + х' — 2сх + с' + у' + га, яля а )г(х — с)е + уе + га ае — сх. Соева, освобождаясь от радикала, найдем: а'хз — 2агсх+ аас'+ аеуа+ вага = а4 — 2аасх+ саха, яля (а' — с') х' + аауа + а'г' = а' (а' — с'), (й) )Зв г с Так яак а > с, то а' — с' > 0; положительяое Число аа с' ббоз)яз щм через Ьа. Тогда уровпеяяе (3) примет Йид хе уа, г' аз ьа ' оз (4) Росса)аз!и)па мзя г)оьерхвосгь возывоегся элгяпсоядоя вйщое- , "..':.„;; ' япя.
Уса ввепве (4) пазыоается яаяочичсскяг) уровв"япе л эго) о 889. Вывести уравнение сферы, центр которой на- г: ", ходится в начале координат и радиус которой равен г. 890. Вывести уравнение сферы, центр которои С,'(О! Р; ))) И РаДИУС сес;!Оргон Раиси Г, 891. Из точки Р(2; 6: — 5) проведескы всевозможные лучи до пересечении с плоскостью Охг.
Составить уравнен))е геомссрического места их середин 892. Из точки Л !3; — 5; 7) проведены всевозможные лучи до пересеиеинг! с плоскостью О)пв Составзсть '))равнение геометрического места их середин 893. Из 7~яки С'! — 3; --5; 9) проведен)л ные лучи до псресечсисил с плоскость)о Ода. Составить уравнение геомстричсского места их середин. 894. Вывестг! уравнение г) ометрического места точек, разность квадратов расстолний которых до точек Р, (2; и; — 5) и Р.,(2; — 7; --5) есть величииа иостоянпал, пивная 13 895.
Вывести ) рлингиис геометрического места точек, сумма квадратов расстояний которых до двух точек Р', ( — а; 0; О) и Р, (о; О; О) равна постоянной вел!и)и!се 4а-'. 896. Вергиннь! куба суть точки А ( — а; — а! — а), В(а; — а; — а), С( — а! а; — а) и 0(сй! уи а). Составить уравнение геометрического места точек, сумма квадра- т) тов расстояний которых до граней этого куба есть величина постоянная, равная 8а). 897, Вывести уравнение геометрического места точек, равноудаленных от двух точек г)4, (1; 2; — 3) и Ме (3; 2; 1). 898. Вывестн уравнение геометрического места точек, сумма расстояний которых до двух данных точек ;,, Р,(0; 0; — 4) и Ра(0! 0; 4) есть величина постоянная, равная 1О.
899. Вывести уравнение геометрического места точек, "-::::,-:разность расстоянии которых до двух данных точек Р,(0; — 5; 0) и Ра(О; 5; 0) есть величина постоянная, '-::;;:: равная б. !37 9 36. Уравнения линии, Задача о пересечении трех поверхностей Линяя в пространстве определяется совместным заданием двух уравнений Р (х, у, х) = О, Ф (х, у, х) = О ак пересечение двух поверхностен Р(х, у, 2) О и Ф(х, у, х) О.
сдн Р(х, у. 2) -О, Ф(х, у, х)=О, Ч'(х, у, х) =О суть уравнения трех зизвсрхностей, тс длп разыскании точек их пересечения нужно соьместно решить спстему: Р(х,у,х) О, Ф(х, у„х) =О, зу(х,у, х) =О. Каждое реп сикс х, у, х атой системы представляет собой коор. дипаты одной нз точек пересечении данных поверхностей, 900. Даны точки М, (3; 4; -4), М,( — 3; 2; 4), Мз( — 1; -4; 4) и М,(2; 3; — 3). Определить, какие из них лежат на линии < ( — 1)2 + уз+ гз = 36, у+г=-О и какие не лежат на ней. 901. Определить, какие из следующих линий проходят через начало координат: 1) схе+ уе+ гз — 2г = О, у=О; 2) (х — 3)2+ (у+ 1)2+ (г — 2)' = 25, х+ у=О; 3) <(х — 1)2+ (у + 2)2 + (г + 2)2 = 9, х — г=О.
равна 3; равна 2; равна 8. ( хз 902. На линии 1 ха точку: 1) абсцисса которой 2) ордината которой 3) апликата которой 188 + уз+ г' = 49, + у' + г' — 4г — 25 = О найти 903. Установить, какие липин определяются следующими уравнениями: ( х+ 2=0, ( х — 5=0, ( у-)-2=0, 5)( 6)~ 7)~~ ( хе+ У" + г =- 9, 1 ха+ уз+ гс =- 49, 8) ( ' ' 9) ~ '(. =О; 1 у=-О; 2 — с 2 ( х" + у + г' = 25, ( хз + уз — ';. гз = 20, ( х==-О; 10) ~( < г — 2= — О, 904.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
