Сборник задач по аналитической геометрии (946870), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Не проводя преобразования координат, устаноть, что каждое из следующих уравнений определяет раболу, и найти параметр этой параболы: 1) 9х'+ 24хд+ 16у' — 120х+ 90у =- О; 2) 9хэ — 24ху+ 1буэ — 54х — 178у+ 181 = 0; 3) х' — 2ху+ уз+ бх — 14у+ 29 =0; 4) 9х' — бху+ д' — 50х+ 50у — 275 = О. 698. Доказать, что уравнение второй степени является уравнением вырожденной линии в том и только в том случае, когда Л = 0 699. Не проводя преобразования координат, установить, что каждое из следующих уравнении определяет ',:: пару параллельных прямых, и найти нх уравнения: 1) 4х'+4ху+ у' — !2х — бу+ 5=0; 2) 4хе — 12ху + 9уе + 20х — 30у — 11 =.
О; 3) 25х' — 10ху+ у'+ 10х — 2у — !5 =О. 700. Не проводя преобразования координат, установить, что каждое из следующих уравнений определяет одну прямую (пару слившихся прямых), и найти уравнение этой прямой: 1) хз — бхд + 9уз + 4х — 12у -1- 4 = О, 2) 9х' + ЗОху + 25у' + 42х -(- 70у -1- 49 = О; 3) 16х' — 16ху '+ 4у' — 72х + Збу -1- 81 = О. Такое геометрическое место точек называется о в а л о м К а с с и н и (рис. 23).
702. Составить уравнение геометрического места точек, произведение расстояний которых до двух данных точек Р,( — а; 0) и Ра(а; 0) есть постоянная величина аа. Такое геометрическое место точек называется лемнискатой (рис. 24). (Уравнение лемнискаты сначала найти непосредственно, потом — рассматривая ее как частный вид овала Кассини.) Составить также уравнение данную окружность в точке В и данную прямую в точке С, иа котором отложен отрезок ОМ = ВС (рис. 26). При вращении' луча длина отрезка ОМ меняется и точка М описывает кривую, называемую ц и с с о и д о й, Составить уравнение циссоиды, '::";'ъ:::.,~:: 707. Даны прямая х= а (а) 0) и окружность диаметра а, проходяшая через начало координат 0 и кз.
саюшаяся данкой прямой. Из точки О проведен луч, пересекающий окружность в точке А и данную прям1ю в точке В, Из точек А и В проведечы прямые, параллельные соответственно осям Оу к Ох (ркс. 27). Точка 3( Ряс. 23. Рнс. 24, лемпискаты в полярных координатах, совмещая полярную ось с положктельной полуосью Ох и полюс с началом координат. 703.
Составить уравнение геометрического места оснований перпендикуляров, опушенных из начала координат на прямые, отсекающие от координатного угла треугольники постоянной площади Я. Уха ванне. Сосгаввгь уравнение сначала в полярных координатах, совмещая полюс с началом ноордннат н полярную ось с положнгельной полуосью Ох. 704. Доказать, что геометрическое место точек задачи 703 есть лемниската (см. задачу?02), Ун анан не. Повернуть координаты осн на угол в 45'. 705. Луч а, в начальном положении совпадающий с полярной осью, вращается вокруг полюса 0 с постоянной утловой скоростью ю.
Составить в данной системе полярных координат уравнение траектории точки М, которая, имея начальное положение в О, движется по лучу а равномерно со скоростью н (с п и р а л ь А р х и м е д а, рис. 25) . 706. Даны прямая х = 2г и окружность радиуса г, которая проходит через начало координат 0 и касается данной прямой, Из точки 0 проведен луч, пересекающий 100 -Л / Ря:. 27. Ряс.
25, пересечения этих прямых прн врашеикк туча оиисыза. 'т крик) ю, называемую в е р и и е р о Й. Составить сс уравнение. 708. Из точки А( — а; О), где а "> О, пров;: ек лу; ЛВ (рис. 28),. на котором по обе сторокы от тоник В отложены отрезки ВМ к ВФ одинаковой длины б (О-.=.соиз(). При вращении луча точки М к А' опись'вкют кривую, называемую к о и х о к д о й, Составить ее уравнение сначала в полярных коордикатах, помещая полюс в точку Л и направляя полярную ось в положительною направлении оси Ох, а затем персйтк к даккой системе декартгвых прямоугольных координат. 709. Из точки А( — а-, О), где а > О, проведея луч ЛБ' (рис.
29), на котором по обе стороны от точкк В отложены гпрсзкк ВМ к В(у, равные ОВ. Прк вращении лу.а юг "~~е,',:,",„"-';.'ке Р. Составить у "$;":; пендикуляра, опу !е-.:„',.: траектория назыв "~)'~~~." Рис. 3! Рис. 32. Рнс. 2Э, Рис. 28, Рнс, 30 Рис, ЗЗ. Рнс 34. точки М н тУ описывают кривую, называемую ст р о ф он л а й. Составить ее уравнение сначала в полярных координатах, помещая полюс в точке А и направляя полярную ось в положительном направлении оси Ох, а затем перейти к данной системе декартовых прягиоугольных координат, 710. Из начала координат проведен луч, пересекающий данную окружность х'+ уз =- 2ах (а -ь О) в точке В (рис. 30); на луче по обе стороны от точки В отложены равные между собои отрезки ВМ и ВзУ постоянной длины Ь. При вращении луча точки М и Ж описывают кривую„называемую у л и т к о й П а с к а л я (рис.
30). Составить ее уравнение сначала в полярных координатах, совмещая полюс с началом координа,* и полярную ось с положительной полуосью Ох, а затем перейти к данной системе декартовых прямоугольных координат. 711. Отрезок длины 2п движется так, что его конпы все время находятся нз коордипзтных осях. Составить уравнение траектории основания М пертендикуляра, опущенного из начала координат нз отрезок (рис. 3!), сначала з полярных координатах. совмещая полюс с началом координат и полярную ось с положительной полуосью Ох, а затем перейти к данной системе декартовых прямоугольных координат.
Точка М описывает кривую, называемую четы рехлепестко в ой роз ой. 712, Отрезок длины а дини.ется тзк, что его кояцы все время находятся на координатных осях (рис. 32). Через ионны отрезка проведены прямые, параллельные координатным осям, до их взаимного пересечения в точ- 108 равнение траектории основания М пер- щенного из точки Р на отрезок. Эта ае гся а с т р о и д о н.
Ук а з а н н е. Состав ~ть сначала параметрические уравнения астроиды, выонрая параметр 0 как указано на рнс. 32 (затем исклю ":, --'-' чить параметр т] 713. Из точки В пересечения луча ОВ с окружностью ха+уз = ах опущен перпендикуляр ВС на ось Ох, Из точки С на луч ОВ опушен перпендикуляр СМ. Вывести уравнение траектории точки М сначала в полярных координатах, совмещая полюс с началом координат и полярную ось с ';; положительной полуосью Ох, а затем пеоейти к данной ;:--:, системе декартовых прямоугольных координат.
714. Нить, намотанная иа окружность хе+ у" = у-', разматывается так, что в точке В, где нить отделяется от : окружноси, она остается касательной к ней (рис, 331, Ив Найти параметрические уравнения линии, описываемой концом нити, если начальным положением конца является точка А(а1 О), где а ~ О. Линия, о которой идет речь, называется эвольвентой круга. 715. Круг радиуса а катится без скольжения по оси Ох. Траектория некоторой точки М окружности этого круга называется циклоидой (рис. 34).
Вывести параметрические уравнения циклоиды, принимая в качестве параметра 1 угол, на который повораь,, чивается катящаяся окружность вокруг своего центра; считать при этом, что в начальный мод- мент (1 = О) точка М нанодится в начале координат. Исключить параметр г' из полученных уравнений, М 716. Круг радиуса а катится РК" 35 без скольжения по окружности х'+ у' = аз, оставаясь вне ее, Траектория некоторой точки М окружности катящегося круга называется к а р д и о и д о й (рис. 35).
Вывести параметрические уравнения кардионды, выбирая в качестве параметра Г угол наклона к оси Ох радиуса неподвижной окружности, проведенного в точку касания с подвижной. Считать при этом, что в начальный момент (1 = О) точка М находится справа на оси Ох. Перейти к полярным координатам при условии, что направление полярной оси совпадает с положительнь:и направлением оси абсцисс, а полюс находится в точке А. Доказать, что кардвоида есть частный вид улитки Паскаля (см, аадачу 710).
717. Круг радиуса а катится без скольжения по окружности х' + у' = Й, оставаясь вне ее. Траектория некоторой точки М окружности катящегося круга называется эпициклоидой (рис. 36). Вывести параметрические уравнения эпициклоиды, выбирая в качестве параметра 1 угол наклона к осн Ох радиуса неподвижной окружности, проведенного в точку касания с подвижной1 считать при этом, что в начальный момент (Г = О) точка М находится справа на осн Ох. Доказать, что кардиоида (см. задачу 716) есть частный зид эпициклоиды.
718. Круг радиуса а катится без скольжения по окружности хз + у' = Ь', оставаясь внутри нее, Траектория ыо 'В'':.':: -Ф':;,::::: некоторой точк "„,Ж!: , 'вается г и и о ц рические уравн и М окружности катящегося круга пазы. иклоидой (рис. 37). Вывестн пзраметения гипоциклоиды, выбирая в качестве Ркс, ЗЗ параметра г угол наклона к О и Ох радиуса неподвижной Окружности, проведенного з точку касатик с подвижной'. считать Орн эт~ и, что з яачзльнь й момент (1= О) точка М находится справа на ООО Ох, Докзззгь, *.то встроила (см, задачу 71О) есть частный зкд гипоцпклоиды, ЧАСТЬ ВТОРАЯ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ ГЛАВА 6 НЕКОТОРЫЕ ПРОСТЕИШИЕ ЗАДАЧИ АНАЛИТИЧЕСКОИ ГЕОМЕТРИИ В ПРОСТРАНСТВЕ я 27. Декартовы прямоугольные координаты в пространстве Декартова прямоугольная система координат в пространстве определяется заданием линейной единицы для измерения длин и трех пересекз|опгихся в одной точке взаимно перпендикулярных осей, азнумерованных в какольлибо порядке.
Точка пересечения осей называется началом координат, а сами осн — осанн координат, Первая коордкнатная ось называется осью абсцисс, вторая — осью ординат, грег гья — осью аплпкат. Начало координат обозначается буквой О, оси коордянат обозначаются соответственно сямволамн Ох, Оу, Ог. Пусть М вЂ” произвольная точка про. стрзнстаа, М„ Ма и М, — ее проекции на коорд(пнатные оск (рис.
38). Коордннатамя точки М в заданной о ла системе называются числа.' У х=ОМ„-, у ОМ„, г=ОМ, М' 1 (рис. 38), гле ОМ„ ссгь величкна отрез. .т ка ОМ, оси або.шсс, ОМ, — величина отРпо. 38. резка ОМ„ося ордиязт, ОМ, — величгг- иа отоезкз ОМ, осн аплккат. Число х называется або гиссой, у — ордннатой, г — аплпкатой точка М. Сим. вол М(х, у;г) обозначает, что точка М имеет координаты к, у, г. Плоскость Оуа разделяет все простракстзо на два полупространстнз; го вз нях, которое расположено ь положительном напоавлешв осн Ох, называется ближним, другое — дальним. Пло. скость Окг также разделяет пространство на дзз нолупростракства; то из нях, которое расположено в положительном направлений осн Оу, называется правым.
другое — левым, Накокец, и плоскость Оку рззделяет простраяство на даа полупространства; то из инх, которое расположено в положительном направлении оси Ог, казы. взется верхним, другое — нижним. 112 у с Г ь г Тря плоскости Оху, Окг н Оуг вместе разделяют пространство ва восемь частей; их иазывюот координатными октаятами я нумеруют тзк, как показано иа ркс. 39 710.
Построить (в аксонометрической проекции) следующие точки по их декартовым координатам; А (3;4;6), В( — 5; 3; 1), С(1; — 3; — 5), Г>(0; — 3; 5), В(-3; -51 0) и Р( — 1; — 5; — 3). лу 720. НИти координатгя гт г" проекций точек А(4; 3; 5), В( — 3;2;1),С(2; — 3;О) и Р(0; 0; — 3): 1) на плоскость Оху; 2) на плоскость у Охг; 3) на плоскость Оуг; Уу Ггг г 1Г 4) на ось абсцисс; 5) на ось ординат; 6) на ось апликат. 721.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
