Сборник задач по аналитической геометрии (946870), страница 15
Текст из файла (страница 15)
496. С . Составить уравнение эллипса, касающегося двух прямых Зх — 2д — 20 = О, х+ бд — 20 =О, при условии, что ега оси совпадают с осями координат. 497. Доказ . Д ать, что произведение расстояний от центра эллипса до точки пересечения любой его касательной 72 с фОкальнай Осью и да Основания псрпсидикуллре„апу- ;~,';:::,::' 1цеккого из точки касания ка фокальную ось, есть величина постоянная, равнал квадрату большой полуоси эллкпса. 498, Доказать, что произведение расстояний от фокусов до любой касательнок к эллипсу равно квадрату малан полуоси, 499. Прямая х — д — 5 =.0 касается эллипса, фокусы которого находится в точках Г,( — 3; 0) и Рс(3; О).
Составить уравнение этого зллкпса. 500. Составить уравнение эллипса, фокусы которого расположеяы на оси абе11ксс симметрично относительно начала координат, если известны уравнение касательн<1й к эллипсу Зх + 10д — 25 = 0 и его малая полуось (2 = 2. 501. Доказать, что прлмал, касаюшаясл эллипса в некатарои тачке М, составляет аавныс уГлы с факальнымн радиусами Р1М, г2М и проходит вне угла Р1Л!Г2 ,м) -,'у" 502. Из левого фокуса эллипса —, + — „= — 1 пад ту- ;к.;.'-, '!а'-' пым углом а к оси Ох направлен луч света. Известно, чта !и О = — 2.
Дойдя да эллипса, луч от него отразился. Составить уравнение прямой, на которой лежит отраженный луч. 503. Определить точки пересечения двух эллипсов: ха+ 9дз — 45 = О, хз+ 9дз — бх — 27 = О. 504. Убедившись, что два эллипса пзх'+т'д' — тзп2= = О, т'х'+ пзд' — тзпз = 0 (т чь и) пересекаются в четырех точках, лежащих на окружности с центром в начале координат, определить радиус !с этой окружности. 505.
Две плоскости м и 6 образуют угол 1р 30'. Определить полуоси эллипса, полученного проектированием на плоскость 6 окружности радиуса ге = 10, лежащей на плоскости с2. 506. Эллипс, малая полуось которого равна б, является проекцией окружности радиуса !с = 12. Определить угол 1р между плоскостями, в которых лежат эллипс и окружность, 507. Направляющей круглого цилиндра является окружность радиуса !е' = 8. Определить полуоси эллипса, полученного в сечении этого цилиндра плоскостью, наклоненной к его оси под углом 2р = 30" 508.
Направляющей круглого цилиндра является окружность радиуса !с= ~/3. Определить, под каким углом к оси цилиндра нужно его пересечь плоскостью, 73 ;у 7227 $19. Гипербола Ь"т' Рис. 16 Рис. 17 Рис. 18. х2 р2 — — — =- 1, а' Ьз чтобы в сечении почучнть эллипс с большой полуосью а ~ 2. 509. Равномерным сжатием (или равномерным растяжением) плоскости к оси абсцисс называется такое преобразование точек плоскости, прн котором произвольная точка М(х) у) перемещается в точку М'(х'1 у') (рис, 15) так, что х' = х, у' = ду, где д ~ 0 — постоянная, называемая коэффициентом равномерного сжатия.
Аналогична определяется равномерное сжатие плоскости к оси Оу при помощи уравнений х' = г)х, у' —.— у (рис. 17), Определить, в какую линию преобразуется окруж- ность х +у 25, если коэффициент равномерного сжа- ность хз тия плоскости к оси абсцисс 27 = — . 5' 510. Коэффициент равномерного сжатия плоскости к 3 осн Оу равен †, Определить уравнение линии, в кото. рую при таком сжатии преобразуется эллипс — +— 16 9 511. Найти уравнение линии, в которую преобрахз рз зуется эллипс — + — =1 при двух последовательных равномерных сжатиях плоскости к координатным осям, если коэффициенты равномерного сжатия плоскости к осям Ох и Оу равны соответственно — и —, 4 6 3 7' 512. Определить коэффициент д равномерного сжатия плоскости к осн Ох, при котором эллипс — "+ ~ = 1 36 9 х' уз преобразуется в эллипс — + —, =1.
36 16 74 515. Огредслить коэффициент с) равномерного сжатия плоскости к оси Оу, при котором эллипс — + = = 1 Хз рз 81 25 р преобразуется в эллипс — + — = = 1. 36 25 514. Определить коэффициенты дг и дз двух последовательных равномерных сжатий плоскости к осям Ох я Оу, прн которых эллипс —,+ — = 1 преобразуется в окружность ха+ уз = 15.
Гиперболой незьюается геоистряческо2 место точек, для которых разность расстояний от двух фиксированно точек плоскости, называемых фокусами, есть постояикая величква; указанная ра'- ность берется по абсолютному значенюо в овознячается оеызво через 2о. Фокусы гиперболы обоз.ючают буквамя Р~ я гт, расстояние между ними — чеоез 2с. По опрелелекию гипереолы 2а ~ 2с, илв о с. Пусть дана гипербола. Если осн декартовой прямоугольной ся. стемы координат выбраны так, что фокусы данной гиперболы располагаются на осн абсцисс симметрично относительно начала координат, то в втой системе координат уравнение гиперболы имеет внд где Ь = 1' сз — аз.
Уравнение вида (1) называется каноническим уравнением гипербольь Прн указанном вы6оре сястемы коордняат оси координат являются осями симметрии гиперболы, а начало координат — ее центром симметрии (рис. 18). Осн симметрии гиперболы называются просто ее осями, центр симметрии — центром гиперболы. Гипербола пересекает одну из своих осей, точки нересеченвя называются вершинами гвйерболы. На рвс. 18 всрпшяы гкпербсль. суть точка А' и А. Нрямо.тельник со сторонзмв 2о в 2Ь, оасположепный свмчет.
рпчко откосительяо осей гиперболы к касюощпйся се в всршивзт, кезылзется основным прямоуголыпжом гиперболы, Отрезки длиной 2а и 2Ь, соедкяяющне середины сторон осж.в. кого прямоугольника гппербольв также вазывз|от ее осями. Листовала осяозвого прямоугольника (неограниченно продолженные) являются асимптотами гиперболы; нх уравнения суть: Ь Ь у= — х, у= — х а а Уравнение хз у' — — + — '=! а' Ь' определяет гиперболу, симметричную откоснтелько координатных осей с фокусами на оси ординат; уравнение (2),как я уразясяке (!), называется каноническим уравнеяяем гиперболы; в зтои случае постоянная разность расстоянкй от произвольной точки гиперболы до фокусов равна 2Ь. Две гиперболы, которые определяются уравнениями х' у' хз у' — — 1, — + — ! а' Ь' аз ' Ье з олиой и той же системс координат, называются сопряженныкк.
!'яперболз с равными полуоясми (а = Ь) казывается равкосторовнев; ее каноническое уравнение имеет зил х' — у' = а' илн — хз + у' = а' с в= —, а' тле а — рзсстоякве от центра гиперболы до ее всршяны, называется зксцентрпснтетом гиперболы. Очевидно, для любой гиперболы е ) 1. Если М(х; у) — произвольная точка гиперболы„то отрезки Р~М в У М (см.
рнс, !8) называются фока,тьными радиусами точки М. Фекальные радиусы точек правой ветви гиперболы вычисляются по формулам г, ел+а, ге= ех — а, фокальные радиусы точек левой ветви — по формулам г, — ех — а, гт = — ах+ а. Если гипербола задана уразненвем (1), то прямые, определяемые уравнениями а а х х= —, е' в называются ее директрисами (см.
рис. !8). Если гипербола задана уравнением (2), то директрисы определшотся уравнениями Ь Ь У= У е а' 78 Кажт!зя директриса облзлзст слелующгсч свойствен; если г — рзсстою вс от и!)визвольной гочкн гнпербо-ы ло некоторого фа- :*::-,-:,';-.' кусз, а — рзсстояюй от -оя жс точки ло олвостороявея с этим ,:;;;;,!;,'с фокусом директрисы. то отношение а —.
есть постоянная чсллш:и, ';4!;!,„;. равная зксцевтрис ~тету ышероолы: 515. Составить )'равнение гиперболы, фок)сы которой расположены иа осн абсцисс си>!метрично относительно начала координат, зная, кроме того, что: 1) ее оси 2а = 10 и 2Ь = 8; 2) расстояние между фокусами 2с = 10 н ось 2Ь = 8„ 3) расстояние между фокусами 2с = 6 и эксцситриситет е= — '; 4) ось 2а =- 16 и зксцентриситет е = — 4 ', 5) уравнения асимптот у = -!- — х и расстояние меж. ду фокусами 2с = 20, 6) расстояние между директрисами равно 22 — и 3 расстояние между фокусами 2с = 26; 7) расстояние между директрисами равно — и ось 1 2Ь = 6; 8 8) расстояние между директрисами равно —.
и зкс- 3. центриситет е = —; е":;-:::, 9) уравнения асимптот у= -+ — х и расстояние ме- 3 4 'у"'.;: жду директрисами равно 12 — . б ' 5."-,: 516. Составить уравнение гиперболы, фокусы которой расположены на оси ординат симметрично относительно начала координат, зная, кроме того, что: 1) ее полуоси а = 6, Ь = 18 (буквой а мы обозначаем полуось гиперболы, расположенную на оси абсцисс); 2) расстояние между фокусами 2с = 10 и зксцентри- 8, ситет е = —; 12 3) уравнения асимптот у = ь =х и расстояние между вершинами равно 48; 77 4 ) расстояние между директрисами равно 7 — и экс.
! 7, 7 центриситет з = —; а' 5) уравнения аснмптот у=~ — х и расстояние ме- 4 = — 3 жду директрисами равно 6 —. 5' 517. Определить полуоси а и 9 каждой из следующих гипербол: х2 у2 х2 1) — — — 1; 2) — — уз= 1; 3) хз — 4у'=16; !) х' — у'=1; 5) 4х' — 9у' 25; 6) 25ха — 16у"=11 7) 9х' — 64у'=1. 5!8. Дана гипербола 16хз — 9уз = 144. Найти: 1) полуоси а и 51 2) фокусы; 3) эксцентриситет1 4) уравнения асямптот; Б) уравнения директрис.
519. Дана гипербола 16хз — 9у' = †1. Найти: 1) полуоси а и Ь! 2) фокусы, 3) эксцентриситетз 4) уравнения асимптот; 5) уравнения директрис. 520. Вычислить площадь треугольника, образованного а х2 2 сяз1птотами гиперболы — — л- =1 и прямой 9х+ 4 9 ~+ 2у — 24 О. 521. Установить, какие линии определяются следующямя уравнениями: 1) у=+ 3 )/х' — 9; 2) у — 3)/х'+Г; 3) х= — = )/уз+ 9; 4) у=+ — )/х'+ 25, Изобразить эти линии на чертеже. 522, Дана точка М,(10; — у'5) на гиперболе —— 'е во 1.
Составить уравнения прямых, на которых лежат фокальные радиусы точки Мь 523. Убедившись, что точка М~( — 5; 4) лежит на гипербо..е — — — =!, определить фокальные радиусы точки Мь 7З 524. Зксцентриситет гиперболы з =2, фокзльный ра. диус ее точки М, проведенный яз ясяоторога фокусз, ':;~!"::":,. равен 16.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
