Сборник задач по аналитической геометрии (946870), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Вычислить расстояние от точки М до одяосто. „,'..'!';: ронней с этим фокусом директрисы. 525. Зксяентриснтет гиперболы е =- 3, расстояяие от точки.М гиперболы до директрисы. равно 4. Вычяслять расстояние от точки М до фокуса, односторш;него с этой директрисой, 526, Зксцеятрясятет гяпсрбошы е = — 2, центр ее лежит в начале координат, один яз фокусов Р(12; О). Вь1чяслить расстояние от точки М, гя11ербол1я с ябсцяссой, равной 13, до директрисы, соответству1О1цей ЗаязаяоМУ фокусу, =3 527. Зксцентрисптет гиперболы е = -'„-, центр ее ле- ~,а',: жит в начале координат, одна из директрис дана уравнением х = — 8. Вычислить расстояние от точки М~ ф;Я гиперболы с абсцнссой, равной 10, до фокуса, соответствующего заданной директрисе, 528.
Определить точки гиперболы — — — =1, расх- у'' зв стояние которых до правого фокуса равно 4,5. 529. Определить точки гиперболы — — †, = 1, рас. $ .'Ф-.' стояние которых до левого фокуса равно 7, 530. Через левый фокус гиперболы —, — —, =-1 про- г 144 ЭВ веден перпендикуляр к ее оси, содержащей вершины. Определить расстояния от фокусов до точек пересечения этого перпендикуляра с гиперболой.
531. Пользуясь одним циркулем, построить фокусы х' у' 16 25 гиперболы — — — = 1 (считая, что оси координат изображены и масштабная единица задана). 532. Составить уравнение гиперболы, фокусы которой лежат на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, если даны: 1) точки М1(6; — 1) и Мз( — 8; 2 7 2) гиперболы; 2) точка М, ( — 5; 3) гиперболы и эксцентриситет з=)! 2; 3) точка М1( —; -1) гиперболы и уравнения асим- 2 3 Б~ 4) точка М, ~ — 3; —,) гиперболы и уравнения лярек = — 3~ 4 5) уравнения асимптот у=--- — х и уравнения ди 3 4 ректрис х 5 533.
Определить эксцентриситет равносторонней ги перболы. 534. Определить эксцентриситет гиперболы, если от- резок между ее вершинами виден нз фокусов сопря- женной гиперболы под углом в 60'. 535. Фокусы гиперболы совпадают с фокусами элх'- э' са 25 + -э = 1. Составить уравнение гиперболы, если ее эксцентриситет а = 2. 536. Составить уравнение гиперболы, фокусы кото- рой лежат в вершинах эллиг са — + ~ = 1 а ди!ше я ректрисы проходят через фокусы этого эллипса. 537. Доказать, что расстояние от фокуса гиперболы — „, — —,, = 1 до ее асимптоты равно Ь, 538. Доказать что произведение расстояний от люх' у." бой точки гиперболы —, — —, = 1 до двух ее асимптот аг ы есть величина постоянная„равная —.
а~+ Ь- "' 539. Доказать, что площадь параллелограмма, огра- ниченного аснмптотами гиперболы — — ~,, = 1 и пряа' Ь'-' мыми, проведенными через любую ее точку параллель- но асимптотам, есть величина постоянная, равная 540. С . Составить уравнение гиперболы, если известны ее полуоси а и Ь, центр С(хек уз) и фокусы располо- жены на прямой: 1) параллельной оси Ох, 2) парал- лельной осн Оу. 541. У т . Установить, что наждое из следующих уравне- ний определяет гиперболу, н найти координаты ее центра С, полуоси, эксцентриситет, уравнения асимп- тот и уравнения директрис: 1) 16хз — 9уз — 64х — 54у — 161 = 0; 2) Охз — 1буз + 90х + 32у — 367 = О; 3) 16хз — 9у'- 64х — 18у+ 199 =0. 542.
Установить, какие линии определяются следующими уравнениями 1) я=в з „, 2) у=7 — — !/хз — бх- 13; з 3) х.— --9 — 2)/уз+ 4у+ 8!' з 4 4) х==-5 — — (/уз+ 4у — 12. Изобразить эти линии на чертеже. 543. Составить уравнение гиперболы, зная, что: 1) расстояние между ее вершинами равно 24 и фокусы суть Е; ( — 1О; 2), Гэ(! 6; 2); 2) фокусы суть Е (3;4), Рз( — 3; — 4) и расстояние !~!;: между директрисами равно 3,6; !$;" 3) утол между асимптотами равен 90' и фокусы суть Р,(4; — 4), Ез( — 2; 2). :,'$' 544.
Составигь уравнение гиперболы, если известны ее эксцептриситет з = †', фокус г (5;О) и уравнение соответствующей директрисы бх — !6 = О. 545. Составить уравнение гиперболы, если известны !з ее зксцентриситет в= — „, фокус Е(0;13) и уравнение соответствующел директрисы 13у — 144 = О. 546. Точка А ( — 3; — 5) лежит на гиперболе, фокус которой г" ( — 2; — 3), а соответствующая директриса 1:::.. дана уравнением х+ ! = О. Составить уравнение этой ~иперботы 547. Составить уравнение гиперболы, если известны ее зксцентриситет э = )гб, фокус г"(2; — 3) и уравнение соответствующей директрисы Зх — у+ 3 = О. 548.
Точка М~ (1; — 2) лежит на гиперболе, фокус которой Е( — 2;2), а соответствующая директриса дана уравнением 2х — у — 1= О. Составить уравнение чтой гиперболы. 549. Дано уравнение равносторонней гиперболы х' — у'= а'. Найти ее уравнение в новой системе, приняв за оси координат ее асимптоты. 550. Установив, что каждое из следующих уравнений определяет гиперболу, найти для каждой из них центр, полуоси, уравнения асимптот и построить их на чертеже: 1) ху = 18; 2) 2ху — 9 = 0; 3) 2хч+ 25 = О. в! 551. Найти точки пересечения прямой 2х — у -10 = 0 и гиперболы х — — ". =!. 99 5 552, Найти точки пересечения прямой 4х — Зу — !6 = 0 л гипераолы — — — '".
=1. , Найти тачки пересечения примоя 2х — у '1 —. +. +1 =-0 и гиперболы = — —., =1, 554. В 9 4 . В следующих случаях определить, как расположена прлмал относительно гиперболы; пересекает ли, касается нли проходит и е ее: Х2 л2 19 1)х †у †, 2) х — 2у-1- 1 = 0 3) 7х — 5у= О, у2 16 9 х у" "25 16 555. О Определить, при каких значениях пг прямая У= —,, Х+П2 1) пересекает гиперболу х — —" 1; 2) касается ее' 9 36 3) проходит вне этой гиперболы. 556.
В . Вывести условие, при котором прямая у = йх+лт касается гиперболы — ', — Уу, 1. 557. Со т 5 . Составить уравнение касательной к гиперболе — — — ! в ее точке М, (х,; у,). ве енн 558. Доказать, что касательные к гиперболе прод нные в каннах одного и того же диаметра, парал- лельны. 559. С х' у' . Составить уравнения касательных к гиперболе — — — перпендикулярных к прямой 4х+ Зу— — 7 = О. 560. Составить уравнения касательных к гиперболе — — — 4 —— , параллельных прямой 10х — Зу+9 = О, 561.
Провести касательные к гиперболе — —— 16 8 =- — 1 параллельно прямой 2х+4у — 5 =0 и вычис- лить расстояние г( между ними, 82 562, На гиперболе —" — — ' = 1 нзйти точку М1 у' 24 18 2 ближайшую к прямой Зх+ 2у+ 1 = О, и вычислить расстояние д от точки М2 до этой прямой. 563, Составить уравнение касательных к гиперболе х' — у' = 16, проведенных из точки А( — 1; — 7). 564, Из тачки С(1; — 10) проведены касательные х2 у2 к гиперболе — — — -=1, Составить уравнение хорды, 82 соединяющей тачки касания. 565.
Бз тачки Р(1; -5) проведены касательные х' у2 к гиперболе — — — =- 1. Вьщислнть расстояние 3 5 от тачки Р до хорды гиперболы, соединя1ащей точки касания. 566. Гипербола проходит через точку А()2'6; 3) и касается прямой 9х+ 2у — 15 = О. Составить уравнение этой гиперболы яри условии, что ее оси совпадают с ося ми ко ардин а т.
567. Составить уравнение гиперболы, касающейсл двух прямых: Бх — бу — 16 О, 13х — 10у — 48 = О, при условии, что ее оси совпадают с осями координат. 568. Убедившись, что точки пересечения эллипса х2 х2 уг —,+ — =1 и гиперболы —, — — = 1 являются вер- 29 5 12 3 шинами прямоугольника, составить уравнения его сторон.
х2 у2 569. Даны гиперболы †, — †, = 1 и какая-нибудь ее касательная: Р— точка пересечения касательной с осью Ох, Π— проекпия точки касания на ту же ось. Доказать, что ОР ° ОЯ = а2. 570. Доказать, что фокусы гиперболы расположены по разные стороны от любой ее касательной. 571. Доказать, что произведение расстояний от фох" 1~' кусов до любой касательной к гиперболе —, — —,= 1 а2 есть величина постоянная, равная 82. 572. Прямая 2х — у — 4 = 0 касается гиперболы, фокусы которой находятся в точках Р, ( — 3; 0) и Рз(3;0).
Составить уравнение этой гиперболы. 573, Составить уравнение гиперболы, фокусы которой расположены на аси абсписс симметрично относительно начала координат, если известны уравнение 8З касательной к гиперболе 15х+ !ба — 36 = 0 и расстояние между се вершинами 2а = 8. 574. Д . Доказать, что прямая, касаюцзаяся гиперболы в некого ой т р 6 точке М, составляет равные углы с фокзльными радиусами г;М, Г2М и проходит внутри угла 575. Из правого фокуса гнперболь х- — + =- ! 5 4 под углом я 22 < а < -.— сс~ к оси Ох направлен луч йдя до "1пероольн луч от нее отразился.
Составить урзвнегие прямой, на которой лежит отраженный луч. 567. До обшие ок . Д казать, что эллипс и гигсрбола, имеют ел, Б.1' ИС ф усы, пересекаются под прямым углом. 577. Коэфю,' '. ч ., 'фзицнент равномерного сжатия плоскости коси Ох з р вен — . Определить уравнение липин, ь которую п и ру р этом сжатии преобразуется гипероола х' уз 16 9 У к а з а и к е. С22, задачу 509. 578. Коэффи фф циент равномерного сжатия плоскос-и 4 к оси О у равен †, . Определить уравнение линии, в которую при этом сжатии преобразуется пшербола хе у' — — — =1 26 9 579.
Найти ти уравнение линии, в которую преобразуется гипе оола х'— у роола х — уз = 9 при двух последовательных равномерных сжатиях плоскости к координатным осям, если коэффициенты равномерного сжатия плоскости к осям Ох н Оу соответственно равны — и —. 580. Оп е р делить коэффициент д равномерного сжа- 3" 3' тия плоскости к оси Ох, при котором гипербола —" 2 25 — $ = 1 преобразуется в гиперболу — — У = 1.
581. Оп е 25 16 пределить коэффициент д равномерного сжатия плоскости к оси Оу, при котором гипербола уе 4 — — = 1преобразуется в гиперболу — — — "=1, 16 9 84 Ряс. 19. Рис. 20, фокус данной параболы перпендикулярно к директрисе и была направлена от директрисы к фокусу; начало координат расположим посредине между фокусом и директрисой (рис. !9). В втой система координат данная парабола будет определяться уравнением уе = 2рх. Ураанеяие (1) называется каноническим В атой же системе координат директриса уравнение Р х 2' уравкснием параболы. данной параболы имеет Фокальный радиус произвольной точкк М(х; у) параболы (т, е. длина отрезка гМ) может быть вычислен по формуле г х+ —. Р 2' 582. Определить коэффициенты 61 н дз двух после;.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
