Сборник задач по аналитической геометрии (946870), страница 14
Текст из файла (страница 14)
4~:: 448. Вычислить площадь четырехугольника, две вер- !::;.,"'-",;-';::;, шины которого лежат в фокусах эллипса х' + 5да = 20, а две другие совпадают с концами его малой оси. 449. Даи эллипс 9хв+ 5дв= 45. Найтги 1) его полуоси; 2) фокусы; 3) эксцентриситет; 4) уравнения директрис. 450. Вычислить площадь четырехугольника, две вершины которого лежат в фокусах эллипса 9ха + 5д' = 1, две другие совпадагот с концами его малой оси. 451.
Вычислить расстояние от фокуса Р(с; 0) эллипса х' рэ — + — =1 ав Ьв до одностороняей с этим фокусом директрисы, 452. Пользуясь одним циркулем, построить фокусы х' дэ эллипса — + — = 1 (считая, что изображены оси коорГв динат и задана масштабная единица). х" дэ 453. На эллипсе — + — = 1 найти точки абсцисса 26 4 в которых равна — 3.
3* 67 454, Определять, какие ич точек А ( — 2', 3), А:(2; — 2), А;(2 — 4) А,( — 1; 3), Аз( — 4; — 3), Аз(31 — 1), Ат(3: — 2), А;(2; 1), А.(0; 15) и Ам(0; — 16) лежат на эллипсе 8х" + 5у' =- 77, какие внутри и какие пне его. 455. Установить, какие линии определяются сле- дующими уравнениями: 1) у — — — + —,$'16 — х:; 2) у=- 5 2 —. 1/9 — х-; 3) х = — 3 $~9-уь, 4) х=+ — $'49 — й 3 ' 3 У Изобразить эти линии на чертеже. 2 456. Эксцептриситст эллипса е = — —, фокальный ра- 3' диус точки М эллипса равен !О. Вычислить расстояние от точки М до односторонней с этим фокусом дирек- трисы, 2 457. Эксцентриситет эллипса а=- —, расстояние от 5' точки М эллипса до директрисы равно 20.
Вычислить расстояние от точки М до фокуса, одностороннего с этой директрисой, 51 х2 з2 458. Дана точка М, (21 — — ) на эллипсе — +==1; составить уравнения прямых, на которых лежат фокаль- ные радиусы точки Мь 459. Убедившись, что точка М~( — 4; 2,4) лежит на эллипсе — + —,=1, определить фокальные радиусы тс чки Мь 1 460. Эксцентриситет эллипса а = †, центр его совпа- дает с началом координат, один из фокусов (- 2; О). Вычнелить расстояние от точки М1 эллипса с абсциссой, равной 2, до директрисы, односторонней с данным фо- кусом. 1 461. Вксцентриситет эл.чипса е = —, центр его совпа- дает с началом координат„одна из директрис дана урав- нением х =!6.
Вычислить расстояние от точки М~ эл- липса с абсциссой, равной — 4, до фокуса, односторон- него с данной директрисой. х' и~ 462. Определить точки эллипса — +==1, рас- 100 36 = стояние которых до правого фокуса равно 14. х2 «2 463. Определить точки эллипса —,+ — =1, рас- стояние которых до левого фокуса равно 2,5. 65 Рис, !5 хз ч' 464. Через фокус эллипса — „.
+ ~ = 1 проведен пер- пендикуляр к его большой оси. Определить расстояния , от точек пересечения этого перпендикуляра с эллипсом .! до фокусов 465. Составить уравнение эллипса, фокусы которого расположены на осн абсцисс, симметрично относительно начала координат, если даны: 1) точка М,( — 2 1'5! 2) эллипса и его малая полуось Ь = 3; 2) точка М~(2; — 2) эллипса н его большая полуось Я) 0=4; Ф 3) точки М,(4; — у 3) и Мз(2 $~2; 3) эллипса; 4) точка М,()~15! — 1) эллипса и расстояние между его фокусами 2с=8; 5) точка М1!2; — — ) эллипса и его эксцентриситет 31 2, г 5) точка М~(8; 12) эллипса и расстояние г~ = 20 от нее до левого фокуса; 7) точка М1( — $~51 2) В эллипса и расстояние ме- В жду его директрисами равно 10 466. Определить зксь,- центриситет а эллипса, з д ,Г,Т !) его малая ось видна из фокусов под углом з 60'! 2) отрезок между фоку сами виден из вершин малой оси под прямым углом; н аза боль- 3) расстояние между директрисами в трн раза ольше расстояния между фокусами; 4) от езок перпендикуляра, опущенного нз центра эллипса на его директрису, делится р отре ве шиной эллипса пополам.
467. Через фокус Р эллипса проведен перпендикуляр к его большой оси (рис. !5). Определить, при каком значении эксцентриситета эллипса отрезки АВ и ОС будут параллельны. 69 468. С . Составить уравнение эллипса с полуосями а, (2 . цент ом С(хм и. .гс р С(х.,; дя), если известно, что оси симметрки эл- липса параллельйы осям координат. 469. Эллипс касается оси абсцисс в точке А(3; О) и оси ординат в точке В(0; — 4). Составить уравнение этого эллипса, зна, т ... я, зная, что его оси симметрии параллсльнь2 координатным осям.
470. Точка С— . То ка С(-- 3', 2) является центром эллипса, ка- саюшсгося обеих координатных осей. Составить " я: к ..то о эллипса, знал, что его оси скмметрнк парал- лельны координатным осям. 471. У ! . Устаяовкть, что каждое из следукицих а . р.' -.г . эллипс, и найти координаты гго центра С, полуоси, зксцецтрисктет и уравнения дкрсктркс: 2) 16х + 25уз + 32х — 100у — 284 = О; 3) 4хг + Зуз — 8х + 12у — 32 = О.
472. Установи овить, какие линии определяются следую. 1цимя уравнеяиямн; Г ° 1) у =- — 7+ —, )2'16 + бх — х'; 2 222 !— 4 3 3) ': =-- — 2 )/ — 5 — бу — уз. 4) х= — 5+ — )2'8.+2д— 2 3 у . Изобразить зги линки на чертеже. 473. Со 1) его большая . Составить уравнение эллипса зна, я, что: лысая ось равна 26 и фокусы суть '2( — 10: О), Рх(!4; 0); Р2(1; 1); 2) его малая ось равна 2 и фокусы суть Р ( — !; — 1), 3) его фокусы суть Р ( — 2 — ) Р ',2; — — ) 2 ' 2', ' — — Н ЭКСЦЕН триситет е =— 2 4) его фокусы суть Р2(1; 3), Рх(З' 1) и расстояние между директрисами равно 12 )/2.
474. Составит ить уравнение эллипса, если известны его эксцентриситет е = †, фокус Р(2 1) 3 ' ) и уравнение соот- ветствующей директрисы х — 5 = О. 70 475. Составить уравнение эллипса, если известны его ;-'вксцентрисктет е = †, фокус Р( — 4; 1) и уравнение гсгоответствующей директрисы у+ 3 = 0 476. Точка Л( — 3; — 5) лежит ня эллипсе, фокус кодгорого Р( — 1; — 4), а соответствуюгцая директриса дана , уравнением х — 2 = О.
Составить уравнение этого эллипса. 477, Составить уравнекие эллипса, если известны его :;-эксцентркситет е=..--,-, фокус Р(3; О) и уравнение соот- ! ;:Х ветстоу|ощей директрисы х+ у — 1 =- 0 478. Точка Л12(2; — 1) лежит на эллипсе, фокус кото- рого Р(1; 0), а соответствуюшая директриса дана урав::: нением '2х — у — 10 = О. Составить уравнение этого эллипса. 479. Точка М2(3; — 1) является концом малой осн эллипса, фокусы которого лежат на прямой у + 6 = О. Составить уравнение этого эллипса, зная его зксцентри- Р2 ситет а ==*— 2 480.
Найти точки пересечения прямой х+'2у — 7 = 0 и эллипса х'+ 4у' = 25 481. Найти точки пересечения прямой Зх+10д — 25=0 и эллипса — + — =1. 26 4 482. Найти точки пересечения прямой Зх — 4д-40=0 х2 у' н эл~~~са — + 9 — — 1. 16 ;:1(г 483. Определить, как расположена прямая относи- ,:' цельно эллипса; пересекает ли, касается нли проходит вне его, если прямая и эллипс заданы следующими уравнениями: 1) 2х — у — 3 = 0 2) 2х -"- у — 10 = 0 х2 у' х' у' '4; — + —.
=1 ]6 9 — + — =1' 9 4 В'-' 3) Зх+ 2у — 20 = О, х2 у' 2). — + — =1 40 Ю 484. Определить, при каких значениях лт прямая д = '1::: — х — 'гл х' у2 1) пересекает эллипс — + — = 1; 2) касается его! 29 6 3) проходит вне этого эллипса, 7! 485. Вьтестн условие, при котором прямая д —.— Йхы т Х' 2' касается эллипса -'" — + —" == 1. а2 62 486, Сас С тавкть уравнение касательной к зл к у „,л псу —, + —;, — --! в сга тачке М;(х,; д,). 487.
и 87. Доказать, что касательные к эллипсу —., + — ', = — па —, Овелезныс в концах адк11ГО к ТОГО же днамст *а э2 параллелькы. (Д. .р л, ° . (Дкаметром эллипса казывастсл ега хорда, проходл1цал через .ентр.) 488. Са Составить уравнения касательных к зллш1су — + + =- 1, параллельных прямой Зх+ 2д+ 7 =-.. О. 489. С -а . Сост,:вкть уравнения касательных к эллипсу хз+ дз = 20, перпендикулярных к прлмай 2х — 2д — 13=— 490.
Провести касательные к эллипсу — + :~ = 1 За' параллельно прямой 4х — 2д+ 23 = О и вычислкть расстояние Ы между нимв. . На эллипсе — + — '= ! найти точку М, ближайшую к прямой 2х — Зд+ 25 = О, и вычислить расстояние 2! ат точки М1 до этой прямой. И. точки А 1 — ', з ) проведены касательные х2 д2 эллипсу — а+ з — — 1. Составить их уравнения. 493. Из т очки С(!О; — 8) проведены касательные к эллипс ~ + — " У ;В + 1а = 1 Составить УРавнение КОРДЬ!, соединяющей точки касания.
494. И . Из то1ки Р( — 1б; 9) проведены касательные к д~ эллипсу 4 + з 1. Вычислить расстояние 2( от точки Р до хорды эллипса, соединяющей точки касания. 495. Эллипс проходит через точку А(4; — !) и ка- ЭТОГО Э. сеется прямой х+ 4д — 10 = О. Составить ур ллипса при условии, что его оси совпадают с осями координат.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
