Сборник задач по аналитической геометрии (946870), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Определить точки пересечения этой прямоя :;~:,':а~ми координат. '-:;:-::.'240. Доказать, что условие, при котором три точки ':)~9(Х9 У,), Ме(х~, У..) и М,(х„:; Уз) лежат ка одной пРк:мйй;,;может быть записано в следующем виде, 24!. Доказать, что уравнение прямой, проходящск чьермез две данные точки М,(х;; у~) и Ма(хе, уе), может 9н(тьЬ загисако Б следчищем виде 249.
На оси абсцисс найти такую точку Р, чтобы сумма ее расстояний до точек М(1; 2) н тт'(3; 4) была наименьшей. 250. На оси ординат найти такую точку Р, чтобы разность расстояний ее до точек М( — 3; 2) и Ж(2; 5) была наибольшей. 251. На прямой 2х — у — 5 = 0 найти такую точку Р, сумма расстояний которой до точек А( — 7; 1), В( — 5; 5) была бы наименьшей.- 252. На прямой Зх — у — ! = 0 найти такую точку Р, разность расстояний которой до точек А (4; 1) и В(0; 4) была бы наиболыпей. 253.
Определить угол ф между двумя прямыми; 1) 5х — у+ 7 = О, Зх+ 2у = 0; 2) Зх — 2у+ 7 = О, 2х+ Зу — 3 =- О; 3) х — 2у — 4=0, 2х — 4у+3=0; 4) Зх+2у — 1=0, 5х — 2у+ 3=0. 254. Дана прямая 2х+ Зу+4 = О. Составить уравнение прямой, проходящей через точку Мс(2; !) под углом 45' к данной прямой. 255. Точка А( — 4; 5) является вершиной квадрата, диагональ которого лежит на прямой 7х — у+8 = О. Составить уравнения сторон и второй диагонали этого квадрата.
256. Даная две противоположные вершины квадрата А( — 1; 3) и С(6; 2). Составить уравнения его сторон. 257. Точка Е(1; — !) является центром квадрата, одна из сторон которого лежит на -прямой х — 2у — ',, ,+ 12 =- О. Составить уравнения прямых, на которых лежат остальные стороны этого квадрата. 258. Из точки Ма( — 2; 3) под углом се к оси Ох направлен луч света. Известно, что 16я = 3. Дойдя до оси Ох, луч от нее отразился. Составить уравнения прямых, на !Вторых лежзт лучи падающий и отраженный, 259. Луч света направлен по прямой х — 2д+ 5 = О, Дойдя до прямой Зх — 2у+ 7 = О, луч от нее отразился. Составить уравнение прямой, на которой лежит отраженный луч.
260. Даны уравнения сторон треугольника Зх+,4у— — 1 = О, х — 7у — 17 =О, 7х+у+3! =О. Доказать, что этот треугольник равнобедренный. Решить задачу при помощи сравнения углов треугольника, 49 — ' 261. Доказать, что уравнение прямой, проходящей )з'йвз ез 'точку М,(х,; у;) параллельно прямой Ах+ Ву+ ь(. С =- О, может быть записана в виде А (х — х,) + '! через '::: ~~В(у — ',) =-0 - ' ~в.
262. Составить уравнение прямой, проходящей через тг'-тачку М, (2; — 3) параллельна прямой: 1) Зх — 7у+ 3 = :.. м=О; 2) х+Оу — 11=0; 3) 16х — 24у — -7= — -0; 4) 2х+ '- '+,3=0; 5) Зу — 1=0 Решить задачу, не вычисляя угловых коэффициентов '.'данных прямых У к а з а п н е. Воспользоваться результатом предыдЗздсй задаг ь 263. Доказать, что условие перпендикулярности прямых А,х+ В1у+ С1 — —.
О, Азх+ Вту+ Ст = 0 может 'быть записано в следующеьт виде: А|Аз+ В,Вз = О. 264. Установить, какие из следующих пар прямых '-'";::;:",:;перпендикулярны: 1) Зх — у + 5 = — О, 2) Зх — 4у + 1 = О, х+ Зд — 1= — О; 4х — Зу-!.7=-0; 3) бх — 15у+ 7==0, 4) 9х — 12у+5 =0, 10х+4у — 3= — 0; 8х+бд — !3=0; 5) 7х — 2у+1=-0, 6) 5х — 7у+ 3=0, 4х+6у-) 17=-0; Зх+2у — 5=0. Решить задачу, не вызисляя угловых коэффициентов данных прямых У к а з а н н е. Воспользоваться условнем перпендпкулярноств прямых, выведенных в задаяе 26З 265. Доказать, что формула для определения угла тр между прямыми А;х+ В~у+ С,=-О, Азх+ Вяу -!- Ся= 0 может быть записана в следующем виде: Л,Ва — АаВ, Л,Аа+ В,В 266. Определить угол «р, образованный двумя пря- ":;-',::;,:" мыми: 1) Зх — у+5= — О, 2х )- д — 7 =- 0; 2) х 1т 2 — у)т 3 — 5=0, (3 + )I 2) х + (Р 6 — )ГЗ) у + 7 = О! 3) х )т' 3 + у рт 2 — 2 = О, х д'6 — Зу+ 3 =0.
Решить задачу, не вычисляя угловых козффипнентов данных прямых. Указание. Воспользоваться формулой для определения угла между двумя прямыми, полученной в задаче 266. 267. Даны две вершины треугольника Ме(-!01 2) и Ма(6; 4),' его высоты пересекаются в точке Л((5; 2). Определить координаты третьей вершины М . 268. Даны две вершины А(31 1) и В(5; 7) трез. угольника АВС и точка Л((4! -1) пересечения его высот.
Составить уравнения сторон этого треуголь- ника. 269. В треугольнике АВС даньг уравнение стороны АВ 5х — Зу -(-2 = О, уравнения высот АМ 4х — 3 (-' ,+ 1 = 0 и ВЛе 7х+2у — 22= О. Составить уравнения у двух других сторон и третьей высоты этого треуголь- ника. 270. Составить уравнения сторон треутольника АВС, ес.ш даны одна из его вершин А (11 3) и уравнения двух 271.
Составить уравнения сторон треугольника, если даны одна из его вершин В( — 4; — 5) и уравнения двух вь сот 5х+Зу--4 = 0 и Зх+8у+ 13 =-О. 272. Со . Сгстави-;ь уравнения сторон треугольника, зная одну из его вершин А(4; — 1) и уравнения двух биссек- трис х--1 = 0 и х — у--1 =-О. 273. С . Составить уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину В(2; 6), а также уравнения высоты х — 7у+„'15 = 0 и биссектрисы 7х+у+5 = О, прове- денных ~р одной вершины, 274. о 4. Составить уррвнеиия сторон треугольника, зная одну его вершину В(2; — 1), а также уравнения высоты Зх — 4у+'27 = 0 н биссектрисы х+2у — 5 = О, прове- денных из различных вершин.
276. 76. Составить уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину С(4; --!), а также уравнения высоты 2х — Зу+ 2 ==. 0 и медианы 2х+Зу = О, проведенных из одной вершины. 276. Составизь уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину (т(2; — 7), а также уравнения высоты Зх+у —,' 11 =-0 н медианы х+2у+? = О, проведен- ных из различных вершин. оставить уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину С(4; 3), а также уравнения биссек!о ' рисы х+ 2у — 5 = 0 н медианы 4х+ 13у — 1О = О. проведенных из одной вершины 278. Составить уравнения сторон треугольника„зная 'одну его вершину А(З, — 1), а также уравнения биссектрисы х — 4у+10 = 0 и медианы бх+ 10у — 59 = О, проведенных из различных вершин.
279. Составить уравнение прямой, которая проходит ,,','.-:через начало координат и вместе с прявеыми х — у+ '+ 12 = О, 2х+у+ 9 =-0 образует треугольник с плотдадыо, равной 1„5 кв. ед 280. Среди прямых, проходящих через точку Р(3; 0), найти такую, отрезок которой, заключенный между прямыми 2х — 'у — 2 =-О, х+ у+ 3 = О, делится в -.очке Р пополам 281. Через точку Р( — 3; — !) проведены всевозможные прямыс. Доказать, что отрезок каждой из ннх, заключенный между прямыми х — 2у — 3=0, х — 2у+ (+ 5 =-О, делится в точке Р пополам.
282. Через точку Р(0; 1) проведены всевозможные прямые. Доказать, что среди них нет прямой, отрезок которой, заключенный между прямыми х--2у — 3 =О, х — 2у+ 17 = О, делился бы в точке Р пополам. 283. Составить уравнение прямой, проходящей через начало координат, зная, что длина ее отрезка, заключенного между прямыми 2х — у+5 = О, 2х — у+ 10 = „= О, равна )/ 10.
284. Составить уравнение прямой, проходящей через точку С( — 5; 4), зная что длина ее отрезка, заключенного между прямыми х+ 2у+ 1 = О, х+ 2у — 1 = О, равна 5. 9 13. Неполные уравнения прямой. Совместное исследование уравнений двух и трех прямых. Уравнение прямой «в отрезкахв Если в общем уравнении прямой Ах+ Ву+ С = О (!) один ила двз из трех коэффициентов (считая н свободный:лен) обращаются в нуль, то уравнение называется неполным. Возможны следующие случаи; !) С = — О; уравнены имеет вид Ах+ Ву = О и определяет прямую, проходящую через начало координат. 2) В = О (А Ф О); уравнение имеет вид Ах+ С =я О 5 определяет прямую, перпендикулярную к оси Ох.
Это уравнение может 43 — + — '= 1 х у а Ь (2) С где а =- — — и Ь = — — суть величины отрезков, которые отсе А В кает прямая иа координзтных осях. Уравнение (2) называется уравнением прямой «в отрезкаха. Если две прямые даны уравнениями А~к+ В у+ С~ =0 н Азх+ В«у+ Сз =О, то могут представиться трн случая: А, В; а) — тз — ' - прямые имеют одну обгдую точку; А, В, А, В, С, б) — =. — Ф вЂ” — прямые параллельны; Аз Вз Сз А В1 С~ в) — — = — — прямые сливаются, т. е. оба уравнения Аз Вз Сз определяют одну и ту же прямую. 285. Определить, при каком значении а прямая (а + 2) х + (аз — 9) у + Заа — 8а + 5 = 0 1) параллельна оси абсцисс; 2) параллельна оси ординат,' 3) проходит через начало координат..
В каждом случае написать уравнение прямой, 286. Определить, при каких значениях т н а прямая (т+ 2а — 3) х+ (2т — а+ 1) у+ бт + 9 = 0 параллелыиа осн абсцисс и отсекает на оси ординат от- резок, равный — 3 (считая от начала координат). Напи- сать уравнение этой прямой, 44 с быть записано в виде х = а, где а= — — является величиной А отрезка, который отсекает прямая нз оси Ох, считая от начала ко. ординат 3) В О, С = — 0 (А Ф 0); уравнение может бить записано в виде х 0 н определяет ось ординат, 4) А 0 (В Ф 0); уравнение имеет вид Ву + С = 0 и опреде- ляет прямую, перпендикулярную к осн Ор. Это уравнение может С быть ззпнсано а виде У=Ь, где Ь= — — является велвчкнол В отрезка, который отсекает прямая на оси Оу, считая от начала ко.
ордьпат. б) А = О, С = 0 (В Ф 0)1 уравнение может быть записано в виде а =- 0 и определяет ось абсцисс. Если нк одни из коэффициентов уравнения (1) не равен нул:о, то сто можно преобразовать к виду Определить, прн а+5)х+(т+ льна оси ординат явный +5 (счит у авнение этой пр оказать что в пересекаются, и +5у — 35 О, 4х — 9У вЂ” 24 =О, 2х (- 15у — 8 = О, ЗЗу — 19 =О, Зх.+5=0, Доказать, что параллельны: х+ бу — 4=-О, 2х — 4у+ 3=0, 2х — 1 О, У+8=0, Доказать что е совпадают: Зх+ бд — 4 =О, х — уУ2 =О, х)/'3 — 1=0 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
