Сборник задач по аналитической геометрии (946870), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Опреаелить выражение этой функции, сслн за оси координат приняты диагонали квадрата (прич м огь Ох направлена по отрезку ЛС, ось Оу — п:г отрезку ВР). 149. При условиях задачи 148 определнть выражение для ((М) (непосредственно и при помощи преобразования координат, используя результат задачи 148), если начало координат выбрано в точке А, а оси координат направлены по его сторонам (ось Ох — по отрезку АВ, ось Оу — по отрезку АР). 150. Дана функция Г(х,у) = х'+у' — бх+ 8у. Определить выражение этой функции в новой координатной системе, если начало координат перенесено (без изменения направления осей) в точку О'(3; — 4).
151, Дана функция 7(х, у) = х- '— у' — 16. Определить выражение этой функции в новой координатной системе, если оси координат повернуты на угол — 45'. 152. Дана функция 1(х,у) = х'+у'. Определить выражение этой функции в новой координатной системе, если оси координат повернуты на некоторый угол а. 153. Найти такую точку, чтобы при переносе в нее начала координат выражение функции 7(х, у) = х'— — 4у" — Бх+ Бу+ 3 после преобразования не содержало членов первой степени относительно новых переменных. 154.
Найти такую точку, чтобы при переносе в нее начала координат выражение функции ) (х, у) = х'— — 4ху+ 4уз+ 2х,'+у — 7 не содержало членов первой степени относительно новых переменных. 155. Нз какой угол нужно повернуть оси координат, чтобы выражение функции ((х, у) = х' — 2ху+ де— — бх + 3 после преобразования не содергкало члена с произведением новых переменных? 156. На какой угол нужно повернуть оси координат, чтобы выражение функции )(х, у) =Зхе+ 2 )г 3 ху+у' после преобразования не содержало члена с произведением нбвых переменйых? хэ 9 9. Понятие уравнения линии.
Задание линии при помощи уравнения равенство виль Е(х, д) =О называется урзьиснчсм с двумя пернмвяиымн х, Го если оно спозведливо не для всякчх пхр чйсел х,,у. Годврнт, что дьа числа х.=- хз, у дз удозлстворякгт нгкогс.,'рому уравнению вида Е(г,д! = О, если прй подсхэкоты этих чясел вместо переменных х и д в узззненис его левая часть обращается ди нуль, зравнением анной липин (в ~ззначьлной с:стем. чповлннаг) навывается такое уравнение с двумя перез иными. котойочг уло влвгворяют коойды~зты кзгь.;оа точкгч лежзыей нз эгон ллпн(ь я не. удовлство?нюе коогдььаты кзждоя то жп, не лс;кзжсч сз ней.
В дальи~йшеье зместс вьражсчня едано урзьнечае линии х(х, У) = Оь мы чэстз будем гочор,ль короче лаял линия Р((х', 1 О г. ели даны урзвнегня двух линий Г(х, д)- —. О а Ф(х, Н) == О, го совместное реыение системы д (х. д) = О, Ф (х, у) =- О дает.все точки нх пересечения.
Тоюсе, каждая в ра гисел, явля~п- аз)гляся совьгесхным Оеженнем этой сисгем:, опгедсляьт одну нз : точек пересечения, 157. Даны тонких) Мг(2; — 2), Мз(2; 2), Мз(2; — 1), Мь(З;; -3), Мь(5; -5), Мь(3; — 2). Установить, кзкчс из , -дьа9ных точек лежат на линии„определенной уравнением ,ьХ+у =-- О, и какие не лежат иа ней. Какая линия апре- :,99лена данным уразнсиггем? (Изобразить ее на чер- увй(де.) 168. На линии, определенной уравнением хв+ да = г Ль' '9мь25, найти точки, абсциссы которых равнгя следуюгцнч Чнслаьи 1) О, 2) — 3, 3) 5, 4) 7; на этой же линии найпг трчлки, ординаты которых равны следующим числа ч.
5) 3, 61':;- —,,5, 7) — 8. Какая линия определена данным урзв- Йением? (Изобразить ес иа чертеже.) 159. Установить, какие линии определяются слегую- ЩИМи уравнениями (построить их на чертеже): 1) х — у= 0; Щх+у= — 0; 3) х — 2=0; 4) х+3=0; 5) у — 5=-0; 6) у+ 2 =0; 7) х= — 0; 8) д.= 0; 9) х' — хд =О; 10) ху-(- +чуя=О; 11) хз — уз=О; 12) ху= — 0; 13) уг — 9=0; 14) хз — 8х+ 15 = 0; 15) дз+ 5д+ 4 =0; 16) хлу — 7хд-- (ь.10у=-О; 17) у= — --,'х!; 18) х= — (у(; Рй) у+!х(=-0; .20) х+(д'! =-0; 21) у =-',х — 1; 22) д= — (х--', 2'; 23) ха+уз==-!6; 24! (х — 2)з+(д — 1)з-=-16; 25 (х+5)з+ ;,' ь) В гех случаях. ногль снеге:з ксо?дннат пе назван::, нсд?аагМеваетс ь ч:о онз — -сьзрговз п! яьк.
тг..ьная. й +(у — 1)з=-'9; 26) (т — 1)в+ у'=4; 27) х'+ (у ' 3)я=11 25) ( 3) +у Зз ..) +2У О, 30) 2х +Зу + + 5 = О; 31) (х — 2)! + (у + 3)з.+ 1 =- О. 160. Даны линии: 1) х+У =О; 2) х — У=О 3) хв-! -)-уз — 36=0; 4) х'+ уз — 2х+ у= — -О; 5) ха+ у'+ 1х— бу — 1=О. Определить, какие из них проходят через начало каор. дни ат. 161. Даны линии: 1) ха+ у' . 49; 2) (х — 3)т+ +(у+ 4)'=-25; 3) (х+ 6)з+(у — 3)е =25; 4) (х+ 5)Я+ +(у — 4)т= — 9; 5) хе+уз — 12х+ (бу= — О; 6) хе+уев — 2х+ 8у+ 7=0; 7) х'+ уа — бх+4у+ 12=-О. Найти точки их пересечения: а) с осью Ох; б) с осью Оу.
162. Найти точки пересечения двух линий: 1) х' + у' = 8; х — у = О; 2) ха + уз — 1бх + 4У + 18 = О; х + у .= О; 3) х'+ уз — 2х+ 4У вЂ” 3 =0; хв-1- у'=25; 4) ха+ уз — 8х+ 10у+ 40 =-О; ха+ уз=4. 163. В полярной системе координат даны точки М111; з),Ме(2; О),Мз(2; 4)' М4~)УЗ' 0)иМ (!' 3 и) Установить, какие из этих точек лежат на линии, определенной в полярных координатах уравнением р = = 2созО, и какие не лежат на ней. Какая линия определяется данным уравнением? (Изобразить ее на чертеже,) 164.
На линии, определеннои уравнением р =- — ' савв ' найти точки, полярные углы которых равны следующим числам: а) —, б) — —, в) О, г) — '. Какая линия определена данным уравнением? (Построить ее на чертеже.) 165. На линии; определенной уравнением р= —.. 1 Мп'0 ' найти точки, полярные радиусы которых равньг следующим числам: а) 1, б) 2, в) У2. Какая линия определена данным уравнением? (Построить ее на чертеже,)" 166. Установить, какие линии определяются в "полярных координатах следующими уравнениями (построить их на чертеже): 1) р=-5; 2) О = —; 3) О = — 4) 4) рсоз0=2; 5) рз!п0=1; 6) р=бсозб; 7) о=100(пб; 8) з!пО=--; 9) з!пр.= —,. 28 :; "167.
Построить на черте)ке следующие спирали Арки. щфда) 1) р =20; 2) р =50; 3) р= —,; 4) р = — —, О, 0 468. Построить на чертеже следующис гиперболиче'Отншиеч С Пир а Лн: 1) р = -0 1 2) р = 0 ', 3) Р = -0- ', 4) р = — К. 100. Построить на чертехсе следующие логарифми- )1;в 'вйокие спирали: 1) р — — 2"; 2) р=( — ) . ~-':;:1170. Определить длины отрезков, на которые рассе:кйеет.".:спираль Архимеда р = 30 луч, выходящий из по,т))(гьеаг и наклоненный к полярной оси под углом 0 =-'— . ~уделать чертеж. †:',.
$71. На спирали Архимеда р=- †' 0 взята точка С, ПтМярный радиус которои равен 47. Опрелелить, на .~илько частей эта спираль рассекает полярный радиус "."'г)ватин С, Сделать чертеж. 0 („-' 172. На гиперболической спирали о =- — найти точ- ку~„;:Р, полярный радиус которой равен 12. Сделагь .;йвптеж. -;: 173. На логарифмической спирали р = 3' найтиточ'~у:;"г Я, полярный радиус которой равен 81. Сделать :ян(вне ж 9 10. Вывод уравнений заранее данных линий В задачах предыдушего параграфа линия определялась при поМой)и данного уравнейия. Здесь мы будем кисть задачи протяво- ИО)й!жного характера: в каждой кз них лияия опредетяется чисто Гй))етрическя, а уравнение ее требуется нзнти ,:Пример 1. В декартовой пряиоугольнок системе коордяна Нйяеети уравнение геометрического места точек, сумма квадратов расстояний которых да двух данных точек А ( — а; О) и А,(а; О) еч!турвеличина постоянная, равная 4о' ''3'еш ение. Обозначим буквой М произвол ную точку липки, бу(й)ами х и у обозначим координаты атой точки.
Так как точка М мёагет занимать на линли любое положение, то х я у являются Иейй)твннымя величинами; нх называют текущими координатами. .чзапишем геометрическое свойства линии сямвалическ| (МА,)'+ (МА,)' -= 4ат (1) . В атом соотпоп ения пря движения тачки М могут меняться .:)ьтиавт МА, и Млт. ВыРазим Ях чсРез текУШке кооРлннаты темка М: М4~='т(х+ а!'+у-', МАз==. т(х — а)'+у'. Г!счета:пз полученные вырзжсияя в равенство (!), найдем ураз~ -.
:ге. -, ызающес координаты х, у точки М гх+ а)'+ у'+ (х — о,'з+ уз =4аз. (7) Это и сть урззиеияе данной линии. Дейстщлтелыю, для каждой точки М, лежащей яз этой лини:., выпочняется условие (!) н, следовательно, коордщшты точки М будут удовлетворять уравнению (2); для каждая точки М, , не оулст вьтолняться условие (!) и, следовательно, ее коо;ликаты не будут удовлетворять урзвиеяяю ',2). Таким образам, зздача реп:еиа.
Однако уравнение (2) можко упростить; раскрывак скобки и приводя подобные члеяьь получки уравяекие данной линии в виде м хт + ух — от г Теперь легко понять, что данная ли- 22 У ния есть окру>кность с центром в пах чзле координат и радиусом, равным а Прим ер 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
