Сборник задач по аналитической геометрии (946870), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Определить координаты ее центра тя' жести, 122. Плошадь треугольника 5 = 3, две его вершины суть точки А(3; 1) и В(1; — 3), а третья вершина С лежит на оси Оу. Определить координаты вершины С. 123. Площадь треугольника 5 = 4, две его вершины суть точки А(2; 1) и В(З; — 2), а третья вершина С лежит на оси Ох. Определить координаты вершины С. 124. Площадь треугольника 5 = 3, две его вершины суть точки А (3; 1) и В(1; -3), центр тяжести этого тре. угольника лежит иа оси Ох. Определить координаты третьей вершины С, 126.
Площадь параллелограмма 5 = 12 кв. ед,; две его вершины суть точки А( — 1; 3) н В( — 2; 4), Найти две другие вершины этого параллелограмма при усло-' вии, что точка пересечения его диагоналей лежит на оси абсцисс. 20 126. Плошадь параллелограмма 5 = 17 кв, ед4 две :''его вершины суть точки А(2,' 1) н В(5; — 3). Найти две : другие вершины этого параллелограмма при условии, что точка пересечения его диагоналей лежит на оси ординат.
3 7. Преобразование координат Преобразование декарта»ых прямзугальзых каордкяаг прс параллельном сдвиге осей айредглясгс(я Форззу; зьлз х.= х'.+ и, у =-=у" + Ь ',Здесь х, у суть кг,'»рдпяз ы крон:зал-ноя гсыкз М плоское я атноСитеаьяо ст:;рых соси, х', у' — коорляяззы тав .;: топка от: ' твдьио яавых асей..., б — кл,ордлпзгз~ яазого яз.ылз О' огялся"ель—,ззогстарьгх .
сей (говорят ззк,ке, .то и егть ве:пыяна сдвиг» в нз- , И!1ввпсяяя а-я злг'-гкг„ь — веляккиз сдвига в направления асн ординат! П!зсобрззосзяяс декартовых лрямоуголызых коардяяах грл подарате гсеы кз угол и (который п)здг лаяллззь, к:,и в тряс;пакпг1у!пз) опр"Зезссзся бь-яу:зз и х — "-х соха — и за, ь' '= х' з м о, иб с * ». Здесь х, у суть коордяязты прая»;ыльяои ггягкп М плоскости атно. , ительяо ст;,рых осел, х'. »'-- коардппзгы той ыи ~аз а. атн к ° едЫо яа|зых осек Фармуяь| :Ф х=.х сс;а — у па--а л =- х' ~п и + у' саз а + Ь ОВРедвзя~ат прсобрззазаяяс косрдж;зт пря парзялел;яам сдвиге .
сззстсмы асей яз ягляяяьх о я папрзллс ',лл бил яз асляяяяк Ь й Вапревс".я. л Ор к пос,йд,я»гпея лазарете огай в, угол сь Все 1ьвазвнные сйормз.зы соог»сгств! юг л»-облз авзлга хо ~рляязт прк ивизмеяпоя мзсыззбг. 1г!ся ~меяяос-ь мзсп,гзбз лрадлолз. загса тзк. ,; 127, Написать Формулы пргобразопш'ня координат, ффн,начало координат (без изменения направления вбей) лсрснесгяо в -очку: !) А (3; 4), 2) В ( †-2; 1), 3); С(--3;:,) " 128. Нз- сло коорд«иат перенесено (без изменения нл,зп,"''ввлеияя огай) — толк" О'('; — 4).
Координгзты точек (1: 3), В( — 3; О) я С( — 1; 4) определены в иовоп с.- .аймс. Вычислить коард!ш: гы этих жг зочгк и сз агой цвейеме кобр;.:„шит 129. Даны точки А(2; 1), В( — 1; 3) и С( — 2; 5). Найти их координаты в новой системе, если начало координат перенесено (без изменения направления, осей): 1) в точку А; 2) в тачку В, 3) в точку С. 130, Определить старые координаты начала О' новой системы, если формулы преобразования координат заданы следующими равенствами: 1) х=х'+ 3, у=у'+ +5; 2) х=х' — 2, у=у'+ 1; 3) х= — х', у=-у' — 1; 4) х=х' — 5, у= у'. 131.
Написать формулы преобразования координат, если оси координат повернуты на один из следующих углов: 1) 60', 2) — 45"; 3) 90', 4) — 90', 5) 180'. 132. Оси координат повернуты иа угол а = 60'. Координаты точек А(2)гЗ; — 4), В()/3; О) и С(0: — 2 )/3) определены в новой системе. Вычислить координаты этих же точек в старой системе координат. ' 133. Даны точки М (3; 1), й!(- 1; 5) и Р( — 3; — 1). Найти их координаты в новой системе, если оси координат повернуты на угол: 1) — 45', 2) 90', 3) — 90'! 4) 180'. И4.
Определить угол и, на который повернуты оси, если формулы преобразования координат' заданы следующими равенствами: 1)х = — х' — — у', у= — 'х + ~Гз, 1У 3 2 ' 2 ! . Г'3 1 ! 'г'3 +2У 2) х= 2 х+2У У= х+ У 2 ' 2 !35. Определить координаты точки О' нового начала координат, если точка А(3; — 4) лежит на новой аси абсписс, а точка В(2; 3) лежит на новой оси ординат, при-: чем оси старой и новой систем координат имеют соотй ветственно одинаковые направления.
136. Написать формулы преобразования координат, если точка М!(2; — 3) лежит на новой осп абсцисс, а точка Мл(11 — 7) лежит на новой оси ординат, причем оси старой и новой систем координат имеют соответственно одинаковые направления. 137. Две системы координатных осей Ох, Оу и Ох',„ Оу' имеют общее начало О и преобразуются одна в другую поворотом на некоторый угол.
Координаты тачки А(З; — 4) определены относительно первой из них, Вывести формулы преобразования координат, зная, чта положительное направление оси Ох' определено отрезком ОА, 22 138. Начало каордияат перенесено в та~ку О'( — 1; 2), 'аси координат погернуть! на угол а = агс1д —,' . Коорди- : наты пачек М1(3; 2), Мл(2*, — 3) и Мл(13; — 13) опреде- , лены в новой системе, Вычислить координаты этих же ,хо!еи в старой системе координат. 139.
Даны три точки: А(5; 5), В(2; — 1) и С(12; — 6). -Найти их координаты в новой системе, если начало координат перенесено в точку В, а оси координат поверз йу7ы на угол а=агс1д —. 4' 140. Определить старые координаты нового начала й угол я, на который повернуты оси, если формулы преобразования координат заданы следующими равенства- МИ! 1) х = — у'+3, у=-х' — 2; 2) х= — х — 1, у= .' ' — у'+3; 3) х= — х'+ — у'+ 5, у= — — х'+ У2, 12, У2 2 2 .+ — у — 3, Л' 2 2 141.
Даны две точки; М!(9; — 3) н Мл( — 6; 5). Нача- ," ло координат перенесено в точку Мь а оси координат по- , .,'1)вриуты так, что положительное направление новой оси абсцисс совпадает с направлением отрезка М~М~. ВывегФи формулы преобразования координат. 142. Полярная ось полярной системы координат па'рйллельна оси абсцисс декартовой прямоугольной си-стемы и направлена одинаково с нею, Даны декартовы 1(рямоугольные координаты полюса О(1; 2) и полярные ЮРрдинаты тачек М,(7; 2), Мз(3; 0), Мз(5; — 2), 2 и! 'М„'(2; — и) и М,(2; — — ). Определить координаты этих :,:тОчек в декартовой прямоугольной системе.
143. Полюс поляриои системы координат совпадает р::,началол! декартовых прямоугольных координат, а по'лярная ось направлена по биссектрисе первого коордийатного угла. Даны полярные координаты точек М! (5; —,!), Мл(3; 4), Мл (1; 4 я), Мл(6; — 4 п) ,')4: М,(2; — — ). Определить декартовы прямоугольнь:с ардинать! этих точек. 144. Полярная ось полярной системы координат паРиллельна оси абсцисс декартовой прямоугольной си- 23 стены и одинаково с нею направлена, Даны декартовы прямоугольные координаты полюса 0(3; 2) и точек А1~(5; 2), Ма(3; 1), Мз(3; 5), М,(3+ )/2; 2 — )/2) н М,(3+ )/3 1 3).Определить полярные координаты этих точек. 145, Полюс полярной системы координат совпадает с началом декартовых прямоугольнь.х координат, полярная ось направлена по биссектрисе первого координатного угла, Даны декартовы прямоугольные коордннатьг точек М,( — 1; 1),Мз()/2; — )/2), Мз(1; )/3), М,( — 1/3; 1) н М;(2 з/3; — 2). Определить полярные координаты этих точек.
ГЛАВА 2 УРАВНЕНИЕ ЛИКИИ В 8. Функция двух переменных Если указаяо правило, согласно которому с каждой тачкой М ~:(п)оскбсти (илн какой-нибудь части плоскости) сопоставляется неко:;„'фарое число и, то говорят, что на плоскости (или на части плоско. --жтвк.«задана фуикщзя точкиь; задание функции символически выра.;йквюьт равенством вида и =- 1(м). чнсло и, сопоставляемое с . рмкой М, называется значением данной функцив в точке М. Напри:;)йрр„если А — фиксированная точка плоскости, М вЂ” пронзвольная „- Гочка, то расстояние от А до М есть функпия точки М. В данном ", с(гучае 1(М) = АМ.
Пусть дана некоторая функция и = 1(М) и вместе с тем вве'дена система координат. Тогда произвольная точка М определяетсн ;::цфррдинатами х, р, Соответствеяио этому и значенке данной функ. '))йи. в точке М определяется коордииатамв х, р, или, как еще ,:~~нзорят, и = 1(м) есть функция двух перемсянык х и у. Функция '::,'дауд переменных х, р обозначается символом )'(х, р); есле 1(м) 1йй)(х, р), то формула и 1(х, у) называется выражением данной 'функции в выбранной системе координат. Так, в предыдущем при.
' жаре- 1(М) АМ; если ввести декартову прямоугольную систему 'дбординат с началом в точке А, то получим выражение этой '.функции." и=-)/хе+аз 146. Даны две точки Р и Я, расстояние между ко- т1)рыми равно а, и функция 1(М) =й — г(з, где А = МР и;:;,с(А =МЯ, Определить выражение этой функции, если , и';качестве начала координат принята точка Р, а ось Ох ".нацравлена по отрезку Р(~. '':::147.
При условиях задачи 146 определить выражение функции ((М) (непосредственно и при помощи преобра- З()й)анин координат, используя результат аадачи 146), есин' . !! начало координат ныбрггио н середине отрезка РО, ось Ох направлена ио от!загну Р(,г 2) начало кос!гдинчт ныб(гзно в точке Р, я ось Ох направлена по отрез~ у ЦР. 148. Даны, квзлрзт х(ВСР со стороной а и функция 7 1М) = с(!+ г((+ аз+ сгг, где г!е = МЛ, с(з = МВ, с(з = =--,'((С и с(; = МР.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
