Сборник задач по аналитической геометрии (946870), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Определить, п ах — 2У-1 имеют одну об ют. 2. Определить; ые тх -1- 8у+ ) параллельны; 93. Определить, -1)х+ тд — 5 секаются в точк :.т),«~'' '",987. :,'~:")(~(рьвлле ~Ф::,:-~т,'::::::-:.14) 8 жж...::,-,.",,;:,:, 5) ~~~~)~ямые .,:,'-'.~"=.;.'::.-': 1) 3 ':::,~,;:."' .290 "- ~~';„.,'йрзямы '1:::-'::."- 1) „1 1) ,*,,/"":Йадй 29 прим (т Ьтере каких значениях т и а прямая За — 2) д+ 2т+ 7а+ 19 0 и отсекает на оси абсцисс отая от начала координат). Наямой. следую узощих случаях две данные я) найти точку нх пересечения Зх+2У вЂ” 27=0; 7х — 2у — 17- "0; 16хм; 9у — 7=0; 12х+ 55д — 19 =0; у — 2 О. в следующих случаях две данные бх+ 10У + 7 = 01 х — 2У=О' х+ 3 = 01 бу — 7 =О. В СЛЕДУ1ОЩИХ СЛУЧаЯХ ДВЕ Даниые бх+ 10У вЂ” 8 =0; хУ2 2У=О; Зх — )~3 =О.
ри каких значениях а и Ь две пр" О, бх — 4У вЂ” Ь= — О щую точку;2) паРаллельны! 3) сов при каких значениях т и а а=О,. 2х+ту — 1 2) совпадают; 3) пеРпенд~кУл~Рнь' при каком значении т два прямые О, тх+(2т — 1) у+7 О е, лежащей на оси абсцисс. 45 294. Оп е ели р д ть, при каком значении т две прямые тх + (йт + 3) у + т + 6 = О, (2т + 1) х + (т — 1) у + т — 2 = О пересекаются в точке, лежащей на оси ординат. 295. У . Установить, пересекаются ли в одной точке т и прямые в следующих случаях: й точке три 1) 2х+Зу — 1= О, 4х — Бу+5=0, Зх — у+2=0; 2) Зх — у+ 3=О, бх+ Зу — 7 = — О, х — 2у — 4=01 3) 2х — у+1 =О, х+2У вЂ” 17=0, х+ 2У вЂ” 3 =0.
296. Д . Доказать, что если три прямые А~х + В1У+; '+ С~ = 0 Агх+ Вгу+'Сг = О, Азх+ Взу+ Сз= 0 пе,е. секшотся в одной точке, то Аз В, С, Аг В, Сг =0 Сз 297. Доказать, что если А, В, С, А В С Аз В, С, то тря ~ря~ь~е А,хс)- В1У+ Сг О, Агх+ В У ~-'С = 0 Азх+ Взу+ Сз 0 пересекаются в параллельны„"я в одной точке или ' ' 298. Определить, и и како р .
, р каком значении а три прямые х — у+ вы О, хну+3 =*О, ах-)-у — 13 = 0 б пересекаться в одной точке. 2 =О' 5х,: у в 1 = О. Составить для иих уравнения «в отрезках: и построить эти прямые на чертеже. 300. Вычислить площадь т е р угольника, отсекаемого х — у — = 0 от координатного угла. оставить уравнение прямой кото "с 1(, — з) и отсекает иа координатных осях отличьые от иуля отрезки одинаковой величин ( яы (считая р; правленным от начала координат). оставить уравнение и ямой, к р , отор гя проходит ) в отсекает иа координатных осях 46 ::::."Отрезки равной длины, считая каждый отрезок от яа- ':,„'.мзала координат. ,;::-:':::,303. Составить уравнение прямой, которая проходит ;",':.~,'':Члерез точку С(1; 1) и отсекает от коордияатиого угла ::';:треугольяях с площадью, рашюй 2 кв.
ед ., "!':,~~'. 304, Составить уравнение прямой, которая проходят ": (через точку В(5; — 5) и отсекает от координатно;о угла „'-:;::'треугольник: плошашю, равной 50 кв, ет. 305. Составить уразясяяг прямои, которая проходит ,;:: 'через точку Р(8, 6) л отсекает от координатного угла ,.!';;„'треугольпззк с пло.'~ здью, равной !2 кг, сл, 306. Составить ) рависяяе примоя, которая проходит :!,"-ялерез то зку Р(12; 6) и отсекает от координатного угла :.", '1зтьРеУгольнык с плгзжадью, Равной 150 кв. ед 307. Через точку М(4; 3) проведена прямая, отсе- '.",.::'Кающая от коордянатпого угла треугольник, площадь ; "-которого равна 3 кв. ед. Определить точки пересечения ,';~,',этой прямой с осзхкч координа. 308.
Через точку М,(х;; ц,), где х:у, ) О, проведена -".: прямая -'+--=1, и а Ь ,"','отсекающая от координатного угла треугольник, пло:;,::!''щадь которого равна 3. Определить, при каком соот-,'-: ношении между величинами хь уз и Я отрезки а и Ь будут иметь одинаковые знаки. ф 14. Нормальное уравнение прямой. Задача определения расстояния от точки до прямой ': Пусть кв плоскости хОу дана прямая.
Проведем через начало -' з.'координат яервеядикуляр к двяяои врямой и назовем его кормальзо, Обозначим через Р точку пересечения нормали с двиной прямой $Д уствяовям положительное язпрввлеике нормали от то вги И очке Р. Ёсля а есть полярный угол кормзпи, р — длякв отрезке ОР (рис. 10), то уравнение дзквой прямой может бь.ть зепясзко в виде я сова+у з!па — р О; урввяекве етого вяля называется нормальным, Пусть дана кзкзя-якбудь прямая я проязвольчзя точка М; йгигзкачим через зг расстояние точкк м' от дзяяой пвямок. Отклойенййм 8 точки М' от прямой явзыввется число +ос если лыгазя трчз1И я начало коордвквт лежат ло резвые сторовы от дзкеой прямой, и -а, если д;-,яязя точка и иечвло координат рзсволожеяьз 47 по одну сторону от данной прямой.
(Для точек, лежащих на самой прямой, 6 О.) Если даны коордн«аты х', у" точки М* и иор. мальное уравнение прямой х соз и + у з1п а — р = О, то отклоненне 6 точки М' от етой прямой может быть вычислено по формуле 6 = х' соз а+ у* ми а — р. Таким образом, чтобы найти отклонение какой-нибудь точки М' от азиной ппвмо-"~, яужно в левую часть нормального уравнения втой прямой вместо текущих координат подставить координаты точки М». Полученное число будет равно псково. му отклонению. с!тобы найти расстояние а' от точки до прямой, достаточно вычислить от. клонение н взять его модул!я о =!6!.
Если дано общее уравнение прямой Рис. 1О. Ах+Ву+С = О, то, чтобы привести его к нормальному виду, нужно все чле. ны етого уравнения умножитв на иор. мнрующвй множитель р, определяемый формулой ! рсдрп з ' Знак вормиоующего множителя выбирается противоположным знаку свободного члена нормируемого уравнения. 309. Определить, какие из следующих уравнений прямых являются нормальными: 1) -х — — у — 3=0"! 2) — х — -'у — 1=0 3 4 2 3 5 5 5 !2 5 1 8) —,х — —,у+ 2 О,' 4) — — х+ — у — 2 =0; 13 13 5) — х+ 2=0; 6) х — 2=0; 7) у+2=0; 8) — у — 2=0, 310. Привести общее уравнение прямой к нормальному виду в каждом из следующих случаев; 1) 4х — Зу — 10 =-0; 3) 12х — 5у+ 13=0! 5) '2х — у — 4/5 О, 4 3 2) 5 х — —,.
у+ 10=01 4)к+2=01 ' т)туз»» *„ 311. Даны уравнения прямых: 1) х — 2=0; 2) х+ 2=0; 3) у — 3=-0; 4)у+3=0; 5)к')гЗ+у — 6=-0;6)х †у+2; 7)х+у)/3+2=0, 8) хсоз6 — уз!п8 — 4=0, д>0; 6 — острый угол; 9) хсоз8+уз!об+О=0, д>0; !5 — острый угол. Определить полярный угол нормали сс и отрезок р '~-';.: 'для каждой из данных прямых; по полученным значениям параметров и и р построить эти прямые на чертеже (в последних двух случаях построение прямой выполнить, считая 8 = 30' и ц = 2), 1й!':;: г 312. Вычислить величину отклонения 6 и расстояние с! точки от прямой в каждом из следующих случаев: 1) А(2; — 1), 4х+Зу+10=0; 2) В(0; — 3)„ 5х — 12у — 23 = 0; 3) Р( — 2; 3), Зх — 4у — 2 = О, 1 г ! ! 4) О(1; — 2), х — 2у — 5 = 0 313.
Установить, лежат ли точка М(1; — 3) и начало координат по одну или по разные стороны каждой нз следующих прямых: 1) 2х — у+ 5 = 0; 2) х — Зд — 5 = = 0: 3) Зх + 2у — 1 = 0; 4) х — Зу + 2 = 0; 5) 10х + '+ 24у+!5 = О. 314. Точка А(2; — 5) является вершиной квадрата, одна из сторон которого лежит на прямой х — 2у — 7 = = О. Вычислить плошадь этого квадрата. 315. Даны уравнения двух сторон прямоугольника Зх — 2у — 5 = О, 2х+ Зу+? = 0 и одна из его вершин А( — 2; 1).
Вычислить площадь этого прямоугольника 316, Доказать, что прямая 2х+ у+ 3 = 0 пересекает отрезок, ограниченный точками А ( — 5; 1) и В(З; 7). 317. Доказать, что прямая 2х — Зу+ 6 = 0 не пересекает отрезка, ограниченного точкамн М!( — 2; — 3) н Мт(1; — 2). 318. Последовательные вершины четырехугольника суть гочки А( — 3; 5), В( — 1; — 4), С(7; — 1) н 0(2; 9). Установить, является ли этот четырехугольник выпуклым. ! ! ! ! 319. Последовательные вершины четырехугольника суть точки А ( — 1,' 6), В (1; — 3), С (4; !0) и с)(9; 0).
Установить, является ли этот четырехугольник выпуклым. 49 320. Даны вершины треугольника. А ( — 10; — 13), В( — 2; 3) и С(2; 1), Вычислить длину перпендикуляра, опущенного нз вершины В на медиану, проведенную из вершцны С. 321. Стороны АВ, ВС и СА треугольника АВС соответственно даны уравнениями х+2!у — 22 = О, бх— — 12у+7 = О, 4х — ЗЗу+ 146 = О. Вычислить расстоя. ние от центра тяжести этого треугольника до стороны ВС. 322.
Вычислить расстояние г( между параллельнымн прямыми в каждом из следующих случаев: 1) Зх — 4у — 10=0, 2) бх — 12у+ 26 =-О, бх — Зу+ 5=0; 5х-12у — 13 0; 3) 4х — Зу+ 15 = О, 'Ч 4) 24х — 10у + 39 = О, 8х — бу + 25 = 0; 12х — 5у — 26 =- О. 323. Две стороны квадрата лежат на прямых 5х— — 12у — 65 = О, 5х — 12у+26 = О. Вычислить его площадь. 324.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
