Сборник задач по аналитической геометрии (946870), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Вывести пара. метрические уравнения траектории точки М, принимая в качестве параметра г: 1) ордннату точки М; 2) угол наклона отрезка ОМ к осн Ох; 3) угол наклона отрезка Ргй к осн Ох, где точка г" фокус параболы. 208. Даны полярные уравнения следующих линий~ 1) р = 2гс соз 0; 2) р = 2Я з(п 0; 3) р = 2р — —, ГЛАВА 3 ЛИНИИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА $-й2 Общее уравнение прямой. Уравнение прямой 'и:.угповым коэффициентом. Угол междудвумя прямыми, Условие параллельности н перпендикулярности двух прямых В декартовых координатах каждая прямая определяется урав- 1(юанем первой степени н, обратно, каждое уравнение первой сте) йекз' определяет прямую. Уравнение вида Ах+ Ву+ с о (!) цчиаывается общим уравнением прямой.
Угол и, огрсделяемый, как показано на рве 9, называется ''урядим нзклова пряной к оси Ох. Тангенс угла йаклокн прямой К'-.опи Ох называется угловым козффнциентом прямой; его обычно ' )гбрмгачают буквой й й (па. Урааиение у = йх + й называется уравнением прямой с угловым ййзффициентоьп й — угловой козффицвент, й)-'риеянчина отрезке, который отсекает гг 'прямйя на оси Оу, считая от начала коордт)ват) Есгли прямая задана общин уравнением гу Ах + ву + С = о, сг а' : 'то, Ва уугловой козффицкент определяется Йо-'-формуле й = — —.
А Рнс. 9, В' Уравнение у — у, = й(х — хс) является уравнением прямой, асс. .лоран.-;проходит через точку М,(хь, 'уз) к имеет угловой козффи. цниат''й, Если прямая проходит через точки М,*(хп у~) и г)(з(хк уз), то ее угвовой гюзффицнект определяется по формуле уг у, й= — ', хз — хз ' х — х, у — у, хг — х, у, — у, является уравнением прямой, проходящей через две точки М, (хг,' у,) и Мг(хг; уз). Если известны угловые козффицкенты двух прямых Й н )г, олив нз гл у ов гр между зтвми прямыми определяется по форм ле гн г,то у.
)кч- —. лг — яг 1+у,й, ' Признаком параллельности двух прямых является равенство нх угловых козффнцнентов шенин Признаком перпендикулярности двух прямых является о ос отнгг,йг == — 1 илп lгг = — —. 1 лг ' об атн п Инзче говоря, угловые козффнцвенты перпенднк"лярных п р, ы о абсолютной величине н противоположны по знаку. 2!О. Определить, какие из точек Мг(3; 1), Ма(2; 3), Мз(61 3), М'( — 3; — 3), Мз(3; -!), Ме( — 2; 1) лежат на прямой 2х — Зу — 3 = 0 и какие не лежат на ней. 211. Точки Рь Рз, Рг, Р„и Рз расположены на прямой Зх — 2у — 6 = 0; их абсциссы соответственно равны чис- лам; 4, О, 2, — 2 и — 6, Определить ординаты этих точек. 212.
Точки Я~, Яз, Оз, Яа и Яз расположены на пря- мой х — Зу+ 2 = 0; их ординаты соответственно равны числам: 1, О, 2, — 1, 3. Определить абсциссы этих точек. 213, Определить точки пересечения прямой 2х — Зу— — 12 = 0 с координатными осями и постронть эту пря- мую на чертеже. 214. Найти точку пересечения двух прямых Зх — 4у— — 29 = О, 2х+ 5у+ 19 = О.
215. Стороны АВ, ВС и АС треугольника ЛВС даны соответственно уравнениями *) 4х+ Зу — 5 = О, х — Зу -)- +!О =О, х — 2 = О. Определить координаты его вер- шин. 216. Даны уравнения двух сторон параллелограмма 8х+Зд+ 1 = О, 2х+ у — ! = О и уравнение одной из ') Здесь и везде в дальнейщем год уравнением сторон мы будем понимать уравнения прямых, йа которых лежат стороны. 36 !ебО,:.,'"диагоналей Зх+ 2у -'; 3 =-. О.
Определить коордг иа т(г."",:имаршин этого пара,глелограмыа ,'::.'л217. Стороны треугольника лежат иа прямых х+ «+!,'8у: —.'7 = — О, Зх — 2у — 4 =.— О, 7х+д+ 19 = О Пычис- ;)уа)41(,евго площадь 5 "„,.тз,218. Площадь треугольника 5 =- 8 кв." еда две его .~рщиггы суть точки А(1; — 2) и В(2; 3), а третья вер)))нмила,' С лежит на прямой 2х+у — -2 =- О.
Опрсдслгпь '-'кюв)рдн'наты вершины С вЂ” .:,-"219, Площадь треугольника 5 =- 1,5 кв. ед,, две его :Нбртцииы суть точки Л (2; — 3) и В(3; — 2); центр тяже- ,'4)т(йватого треугольника лежит на прямой Зх — д — 8=--0. ь,'О(дрегделгзть координаты третьей вершины с. ="-: 220. Составить уравнение прямой и построить пряФу~уггна чертеже, зная ее угловой коэффициент л и от- л~еагок Ь, отсекаемый ею на оси Оу 1) й 3 ' Ь 3' 2) )г 3' Ь О' 3) й О' Ь 2 ';;, 4) гг = 4 ' Ь = 3; 5) й =- — 2, Ь = — 5; ! з 6), й = — —., Ь= —.
221. Определить угловой коэффициент й и отрезок Ь, '„:,4)дсйиаеыый ьа оси Оу, для каждой из прямых, 1) 5х — у+ 3 = О; 2) 2х+ Зу — 6 = О, :8) 5х + Зд + 2 = О; 4) Зх + 2у = О; 5) у — 3 = О, 222. Дана прямая 5х+ Зу — 3 = О. Определитьугло- ;.' 'впйакоэффициент й прямой.
1) параллельной данной прямой; 2г) перпендикулярной к данной прямой. 223, Дана прямая 2х+Зу+4 =О. Составить урав- ;„ньенйе пРЯмой, пРоходЯщей чеРез точкУ Ме(2; 1). ;=,;-',;:: 1) параллельно данной прямой; 2) псрпендийулгчыярно к данной прямой; '224; Даны уравнения двух сторон прямоугольника 2х,— '.':Зу+ 5 = О, Зх+2у — 7 = О и одна из его вершин Л;(2 л — 3). Составить уравнения двух других сторон этбго прямоугольника. 225.
Даны уравнения двух сторон прямоугольника х." †';,'.:2у.,= О, х — 2у + 15 = О и уравнение одной из его диагглоналей 7х+ у — 15 = О. Найти вершины прямоугольника. 226. Найти проекцию точки Р( — 6; 4) на прямую 4х:-'.::,".5у+ 3 = О, 37 х, у, 1 хе уе 1 хз у~ 1 )х у 1) х, у, 1)=0. х, у, 1 ! - 242. Даны . последовательные вершины выпуклого , 'четырехугольника Л (--3; 1), В (3; 9), С(?; 6) и Х!( —,2; — 6), Определить точку пересечения его диаго- ',' 243.
Даны две смежные вершины А ( — 3; — 1) и '"'3?(2; 2) параллелограмма ЛВС1) и точка Я(3; О) пере- , Свченкя его диагоналей. Составить уравнения сторон :этою параллелограмм" 244. Даны уравнения двух сторон прямоугольника 5х+2у — 7 — — — О, Зх+ 2у — 36 = 0 и уравнение его диа- ганвлн Зх+?у — 10 = — О. Составить уравнения осталь- иых сторон и второй диагонали этого прямоуголь- 1!ЙКи, 245.. Даны вершины треугольника А(1; — 2), В(5; 4) М,::сС( — 2; О).
Составить уравнения биссектрис его вну- -треннего и внешнего углов при вершине А. $4ь6, Составить уравнение прямой, проходящей через тОВКу Р(3; 5) ка одкнаковых расстояниях ог точек А(.:7', 3) и В(11; — 15). 247. Найти проекцию точки Р( — 8; 12) на прямую, йРоходящую через точки А (2! — 3) и В ( — 5; 1) 246, Найти точку Мь гкмметричкую точке Меь8; — 9) Ьтйовительно прямой, проходящей через точкк Л(3; — 4) и"::В( 1; — 2), 227.
Найти точку О, симметричную точке Р( — 5; 13) —.. относительно прямой 2х — Зу — 3 = О. 228. В каждом из следующих случаев составить уравнение прямой, параллельной двум данным прямым и проходящей посередине между ними, 1) Зх — 2у — 1 = — О, 2) бх + у+ 3 = О, Зх — 2у — 13 = 0; 5х+ у — 17 = О,' 3) 2х+ Зу — 6=0, 4х+ бу+ 17= — 0; 4) 5х+ 7у+ 15=-0, 5) Зх — 15у — 1=0, 5х + 7у + 3 = 0; х — 5у — 2 =- О.
229. Вычислить угловой коэффициент к прямой, про- ходящей через две данные точки: а) М;(2; — 5), Ма(З; 2): б) Р ( — 3; 1), О (7; 8); в) А (5; — 3), В ( — 1; 6). 230. Составить уравнения прямых, проходящих че. рез вершины треугольника А(5; — 4), В( — 1; 3), С( — 3; — 2) параллельно противоположным сторонам. 231. Даны середины сторон треуголькика: М;,(2; 1), Мз(5; 3) и Мз(3; — 4), Составить уравнение его сто- рон. 232. Даны две точки: Р(2; 3) и Я( — 1; 0). Составить уравнение прямой, проходящей через точку Я перпен- дикулярно к отрезку РЯ. 233.
Составить уравнение прямой, если точка Р(2; 3) служит основанием перпендикуляра, опущенного из начала координат иа эту прямую. 234. Даны вершины треугольника М,(2; 1); Мт( — 1; — 1) и Мь(3; 2). Составить уравнения его высот; 235. Стороны треугольника даны уравнениями 4х— у — 7 =О, х+Зу — 31 = О, х+5у — 7 = 0. Опреде.
лить точку пересечения его высот. 236. Даны вершины треугольника А (1; — 1), В ( — 2; 1) н С(3; 5). Составить уравнение перпендикуляра, опу- щенного из вершины А на медиану, проведенную из вершины В. 237. Даны вершины треугольника А(2; — 2), В(3; — 5) и С(5; 7). Составить уравнение перпендикуляра, опу- щенного из вершины С на биссектрису внутреннегоугла при вершине А. 238. Составить уравнения сторон и медиан треуголь. ника с вершинами А(3: 2), В(5; — 2), С(1; 0), зз .-.ай, Через точки М,( — 1; 2) и Ме(2; 3) проведена йуяк1аья.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
