Сборник задач по аналитической геометрии (946870), страница 12
Текст из файла (страница 12)
377. Даны уравнения двух пучков прямых а, (5х + Зу — 2) + ~, (Зх — у — 4) = О, аз(х — у+ 1)+ йз(2х — у — 2) =О. Не определяя нх центров, составить уравнение прямой, принадлежащей обоим пучкам. 378. Стороны АВ, ВС, С0 н .0А четырехугольника АВС0 заданы соответственно уравнениями 5х+ у+; - +13 =0, 2х — 7у — 17 = О, Зх+2у — 13 = О, Зх— 4у+ 17 = О. Не определяя координат вершин этого четырехугольника, составить уравнения его диагоналей АСи В0. 378. Центр пучка прямых а(2х+ Зу+ 5)+ р(Зх— — у + 2) = О является одной нз вершин треугольника, две высоты которого даны уравнениями х — 4у + 1 = О, 2х + у + 1 =- О, Составить уравнения,сторон этого треугольника.
$ 16. Полярное уравнение прямой Прямая, прогедеиная через полюс перпекдякулярно к даккой прямой, называется ее нормалью, Обозначим бунвой Р точку, в которой нормаль пересекает прямую; установим на нормали 1юложк~ельное направление от точки О к точке Р. Угол, на который нужко повернуть полярную ось до наложения ее на отрезок ОР, буден называть полярным углом иормзли. 380. Вывести полярное уравнение прямой, зная ее расстояние от полюса р н полярный угол нормали а.
Р е щ е н и е. 1-й с о о с о б. На изиной прямой з (рис. 11) возьмем произвольную точку М с полярными координатами р и О. Точку пересечения прямои з с ее нормалью обозначим буквой Р. Из прямо)тельного тре)толюшка ОРМ находим; Р (1) соз ( — а) Мы получилн уравнение с двумя переменными р и В, которому удовлетворяют коордияаты всякой точки М, лежащей на прямой з, 66 ":-'-, И не удовлетворяют координаты никакой точки.
не лежащей на этой прямой. Следовательно, уравнение (1) является уравнением пря 1 ",э(' мой з. Таккм образом, задача рещенз 2-й способ. Будем рассматривать декартову прямоугольн)ю .':. систему координат, положнтелькая полуось а снксс которой совкздает с полярной осью заданной полярной системы. В этой декарто зой системе имеем нормальное уравнение прямой з хсоза+у Мпа — Р=О. (2) Воспользуемся формулами преобразовакия полярных координат а х = 1э соз В, ф" у р з(п О. Подставляя в уравнение (2) вместо х и р выражения (3), получим р(созе сова+ Мпв з1п а) =р Р соз (Π— а) 381. Вывести полярное уравнение прямой, если г даны: 1) угол 8 наклона прЯИОЙ к полЯрноЙ Оси и длйна перпендикуляра р, опущенного из полюса на эту прямую, Написать уравнение этой прямой в случае 6 ' 2) отрезок а, который отсекает прямая на полярной оси, считая от полюса, и полярный угол и нормали этой прямой.
Написать уравнение этой прямой 2 в случае а = 2, а = — — вк 3) угол р) наклона прямой к полярной оси н отрезок а, который отсекает прямая на полярной оси, считая от полюса. Написать уравнение этой прямой в сл;- чае р = — а = 6. 6 382. Вывести полярное уравнение прямой, проходящей через точку М,(рПО1) и наклоненной к полярной оси под углом р, 383.
Вывести полярное уравнение прямой, проходящей через точку М~(рПО~), полярный угол нормали которой равен а. 384. Составить уравнение прямой, проходящей через точки М1(р~',О~) н Мз(рз,Оз), или ГЛАВА4 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ЛИНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА ф 17. Окружность Урееяеяие (.
— о)2+(д — 6)'=де (!) осрсдсояет окружяость рядяусе Гс с деятром С!оа р). !Зслл делтр окружяостя совледеет с яеяедоя коордияат, т. е, седя о .=- О, () = О, то уряяяеяяе (!) лряяямает вяд 22+ де = — )>2. (2) 385. Составить урагнсяяе окружности в каждом из следующих случдсгп 1) центр окружности совпадает с началом координат и ее ради)с )т = 3; 2) центр окружности совпадает с точкой С(2; — 3) и ес радиус )т> = 7; 3) окружность проходит через начало координат и ее центр совпадает с тачкой С(6; — 8); 4) окружность проходит через точку А(2; 6) и ее центр савгадает с точкой С( — 1; 2); 5) тачки А(3; 2) и В( — 1; 6) являются концами одного из диаметров окружности; 6) центр окружности совпадает с началам координат и прямая Зх — 4д + 20 = 0 является касательной к окружности; 7) центр окружности совпадает с точкой С(1; — 1) и прямая 5х — 12д + 9 = 0 является касательной к окруж- НОСТИ; 8) окружность проходят через тачки А (3; 1) и В( — 1; 3), и ее центр лежит яа прямой Зх — у — 2 =-0; 9) окружность проходит через три тачки Л(1; 1), В(1; — 1) я С(2; О); 10) акружяость проходит через три точки; Мт(-1; 5).
2( 21 ) н М>(а) 5)* Бз 1) (х — 5)' + (у + 2)2 = 25; 3) (х — 5)е+(у+ 2)2 =0; 5) хт + уе — 2х + 4у — 20 = 0; 6) х>+ уд — 2х + 4у + 14 — — 0; 7) хе+ уд+ 4х — 2у + 5 = 0; 9) хе+ уд+бх — 4у+ 14=0; 2) (х + 2)2 + ут =.- 641 4) хе+(у — 5)2 =-5; 8) хд + у'+ х = 0; 10) ха + у'+ у = О. 386. Точка С(З; — 1) является центром окружности, отсекающей на прямой 2х — 5у+!8 = 0 хорду, длина которой равна б. Составить уравнение атой окружности.
387. Написать уравнения окружностей радиуса )с> =.- ")/э, касающихся прямой х — 2д — ! = 0 в точке М>(З; 1). 388. Составить уравнение окружности, каса>облейся двух параллельных прямых: 2х+ у — 5 = О, 2х+ д+ + 15 = О, прячем одной яз нях — в тачке Л (2; 1) 389. Составить уравнеяия окружяастея, которые проходят через точку Л(1; 0) я касаются двух пардллель- ных прямых: 2х+ у+ 2 = О, 2х+ у — -18 = О. 390. Составить уравнение окружности, которая, имея центр на праман 2х+д = О, касается прямых 4х— — Зу + 10 = О, 4х — Зу — ЗО = О. 391.
Составить уравнения окружностей, касающихся двух пересекающихся прямых; 7х — у — 5 =-О, х+у-1- + 13 = О, причем одной из них — в точке М>(1; 2). 392. Составить уравнеяия окружнастея, проходящих через начало координат и касающихся двух пересекающихся прямых: х+ 2у — 9 = О, 2х — у+ 2 =- О, 393. Составить уравнения окружностей, которые, имея центры на прямой 4х — 5у — 3 = О, касаются прямых 2х — Зу — 10 = О, Зх — 2д+ 5 = О. 394. Написать уравнения окружностей, проходящих через точку А( — 1; 5) и касающихся двух пересекающихся прямых: Зх+4у — 35 = О, 4х+Зу+14 = О. 396.
Написать уравнения окружностей, касающихся трех прямых: 4х — Зу — 10 = О, Зх — 4у — 5 = О и Зх— — 4у — 15 =0, 396. Написать уравнения окружностей, касающихся трех прямых: Зх -(-4у — 35 = О, Зх — 4у — 35 = 0 и х— — 1 = О. 397. Какие из нижеприводимых уравнений определяют окружности? Найти центр С и радиус 1с каждой из них: 398. Установить, какие линии определяются следующими уравнениями: 1) у=+ )'9 — х-"! 6) у=15 — )/64 — х'-'; 2) у = — 1' 25 — х'-'; 7) х = — — 2 — )/9 — уе; 3) * — )'4 у, 8) 2+ ),'9 4) х =-+ )' 16 — у-'; 9) у = — 3 — )~21 — 4х — х'. 5) у = 15 + )~ 64 — хз ! 10) х = — 5 + $'40 — бу уз Изобразить эти линии на чертеже. 399.
Установить, как расположена точка А(1; — 2) относительно каждан из следующих окружностей — внутрп, вне или на контуре: !) х'+у'= 1; 2) ха+у'= 5; 3) ха+уз=9; 4) хз-!-у' — Зх — 4у — 5 = 0; 5) ха+ ((- уз — 10х -1- 8у = О. 400. Определить уравнение линии центров двух окружностей, заданных уравнениями: 1) (х — З)з+ у" = 9 и (х+ 2)'+ (у — 1)з = 1; 2) (х + 2)з -) (у — 1)з = 16 и (х + 2)з + (у + 5)з = 25! 3) х'"+ у' — 4х+ бу = 0 и ха+ у' — 6х = О; 4) х'+ уз — х 1- 2у = 0 и ха+ уз+ 5х+ 2у — 1 = О.
401. Составить уравнение диаметра окружности х'+ -)-'у' + 4х — бу — 17 = О, перпендикулярного к прямой 5х -1- 2у — 13 = О. 402. Вычислить кратчайшее расстояние от точки до окружности в каждом из следующих, случаев: а) А(6: — 8), хз+ уз =- 9; б) В(3; 9), хз+у' — 26х+ЗОу+ 313 = О; в) С( — 7; 2), хз+ у' — 1Ох — 14у — 151 = О. 403. Определить координаты точек пересечения прямой 7х — у+ 12 =- О и окружности (х — 2)'+ (у — !)'= = 25. 404. Определить, как расположена прямая относительна окружности (пересекает ли, касается или праха.
дит вне ее), если прямая и окружность заданы следующими уравнениями: 1) у = 2х — 3 н х' + уз — Зх + 2у — 3 =- 0; .! ! 2) у= — 'х — —, и х'+ у' — 8х+2у+ 12=0; . 3) у=х+ 10 и х'+у' — 1=0, 60 '~!~",=.1;;:,'.... 405. Определить, при каких значениях углового ко- :;:;~)-;::;зффициента й прямая у = Йх 1) пересекает окружность хз+ у' — !Ох+ 16 = О; 2) касается этой окружности, 3) проходит вне этой окружности. 406. Вывести условие, при котором прямая у = ях + ф,:,.;,";::-+ Ь касается окружности х' + у' = Р' 407, Составить уравнение диаметра окружности ;,~~;.',::::-' '(х — 2)з+ (у+!)" = 16, проходящего через ссредину ':~;::,:, хорды, отсекаемои на праман х — 2у — 3 = 0 408. С .ставить уравнение хорды окружности (х — 3) з+ (у — 7)' = 169, делящейся в точке М(8,5; 3,5) пополам.
409. Определить д тину хорды окружности (х — 2) з + + (у — 4)- '=- 10, делящейся в точке Л(1; 2) полатам. 410. Дано уравнение пучка прямых а(х — 8у+ 30) -' '-!- 6(х+ 5у — 22) = О. Найти прямые этого пучка, на которых окружность хз+дз — 2х+ 2у — 14 =-0 отсекает хорды длиною 2)ГЗ. 411. Даны две окружности (х — т,)з+ (у — п,)з = Р-;, (х -- т„)з + (у — ит)з = Р„", пересекающиеся в та сках М~(х:; у,) и М (х~, .уз). Доказать, что л~абая окружность, проходящая через точки Ма М., а такж~ прямая М.М., могут быть определены уравнением вида ~!!!";-:; " „((х — т,)'"+(у — и,)' — Р ) + ~[(х — т,)'+(у — и,)' — Р;-,'~=- =0 при надлежащем выборе чисел и и р.
412. Составить уравнение окружности, проходящей через точку Л(1; — 1) н точки пересеч ния двух окружностей: х'+ уз + 2х — 2у — 23 = О, х'+ д' — бх + 12д— — 35= О. 413. Составить уравнение окружности, проходящей через начала координат и точки пересечения двух окружностей: (х+ 3)з+ (у+1)з = 25, (х — 2)-'1- (у+ 4)з =. = 9.
414. Составить уравнение прямой, проходящей иере~ точки пересечения двух окружностеи: х'+ у'-'+ Зх — у =- = — О, Зх'+ Зуз+ 2х+ у =.= О 415. Вычислить расстояние от центра окружности ха+у'.= 2х до прямой, праходящси через тачки пересечения двух акружностеи: хе+ уз+ 5х — 8у+ 1 = О, х'+ + уз — Зх+ 7у — 25 = О, 416. Определить длину общей хорды двух окружно- ф.:-.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
