Сборник задач по аналитической геометрии (946870), страница 13
Текст из файла (страница 13)
отей.ха+уз 1Ох 10у = О ха+ уз+ бх+ 2д 40 0 б! 417. Центр окружности лежит на прямой х+у = О. Составить уравнение этой окружности, если известно, что она проходит через точки пересечения двух окружностеи: (х — 1)' + (у + 5)' = 50, (х -1- 1)'+ (у -1- 1)' 10. 418. Составитв уравнение касательной к окружности х'-!; уз = 5 в точке А( — 1; 2). 419. Составить уравнение касательной к окружности (х+ 2)'+ (у — 3)' = 25 в точке А ( — 5, 7), 420. На окружности 16х'+!бу'+48х — 8у — 43 =0 найти точку М„ближаишую к прямой 8х — 4у -1-73 = О, и вычислить расстояние й от точки М! до этой прямой. 421, Точка М!(х!, у,) лежит па окружности хз+ уз =- = Р'. Составить уравнение касательной к этой окружности в точке М . 422.
Точка М!(х,; у!) лежит на окружности (х — и)з+ (у — р)з ~ !тт'-, Составить уравнение каса- телы!ой к этой окружности в точ!,е М!. 423. Определить острый угол, образованный при пересечении прямой Зх — у — 1 = 0 и окружности (х — 2)'+уз = 5 (углом между прямой и окружностью называется угол между прямой и касательной к окружности. провеччеиной в точке их пересечения). 424. Определить, под каким углом пересекаются две окружности; (х — 3)'+ (у — 1)' = 8, (х — 2)'+, !+ (у+2)" = 2 (углом между двумя окружностями называется угол между их касательными в точке пересечейия). 425.
Вывести условие, при котором две окружности (х — а,)з+(у — 6,)з= — Я',, (х — а.)з+(у — !)з)е=)т! пересекаются под прямым углом. 426. Доказать, что две окружности ха + уз — 2тх — 2иу — т'+ из = 0„ хз+ уз — 2пх+ 2ту+ т"' — п2 = О пересекаются под прямь!и углом. 427. Из точки А, 3', — 3-, п!юведень! касательные к окружности хз+у-' = 5. Составить их уравнения. 428. Из точки А(1; 6) проведены касательные к окр)жиостп х'--1-у'+2х — 19 =--О. Составить их уран. пения, 429. Дано уравнение пучка прямых и(Зх+ 4у— 10) + 6(Зх — у — 5) = О.
Найти прямые этого пучка, :;.::: которые касаются окружности х'+у'+2х — 4у = О. 430. Из точки А (4; 2) проведены касательные к ;.-! окружности хз+у'=10. Определить угол, образованный этими касательными, 431. Из точки Р(2; — 3) проведены касательные к окружности (х — 1)з+ (у+5)'=-4. Составить уравнение хорды, соединяющей точки касания. 432. Из точки С(б; — 8) проведены касательные к окружности х-+у'= 25. Вычислить расстояние а от точки С до хорды, соединяющей то:ки касания.
433. Из точки Р(-9; 3) проведены касательные к окружнссти хе+ у' — бх+ 4у — 78 =- О. Вычислить расстояние й от центра окружности до хорды, соединяющей з !! ~3':; точки касания. 434. Из точки М(4; — 4) проведены касательные к окружности х'+ уз — бх+ 2у+ 5 = О. Вычислить длину г( хорды, соединяющей точки касания. 435. Вычислить длину касательной, проведенной из '4'. точки А(1; — 2) к окружности хз+ у'+х — Зу — 3 = О. 436. Составить уравнения касательных к окружности хз+у'+1Ох — 2у+6 О, параллельных прямой 2х+ +у — 7=0 437.
Составить уравнения касательных к окружности !::::"." хз-(-уз — 2х+4у О, перпендикулярных к прямой х— ' — 2у+9 = 0 438. Составить уравнение окружности в полярных координатах по данному радиусу Л и полярным координатам центра С()7; бо). 439.
Составить уравнение окружности в полярных координатах по данному радиусу )7 и полярным координатам центра окружности. !) С()7; 0); 2) С()с; и) ! 8) С (Я; ~ ); 4) С !тс ! — -з ) . 440. Определить полярные координаты центра и радиус каждой из следующих окружностеи; 1) р 4созб; 2) р=Зз1пб; 3) р= — 2созб; 4) р= — бз!пб; 5) р=бсоз (-3- — 0); 6) р=бз!п(0 — — '.; 7) р= 3 !' (3- ). 441. Окружности заданы уравнениями в полярных координатах: 1) р = 3 соз 0; 2) р =,— 4 з!и 0; 63 5 18. Эллипс с в=-, а Е-ги эллипс определен уравнением (1) н а ) Ь, то прямые а х=— в (рнс. 12) называются директрисами эллипса (если Ь ) а, то директрисы определяются уравнениями Ь Ь1 д= — у=в а' з)' Рнс, 13.
Рис. 12. г — =з. г! 3) р = соз 9 — з(п 9. Составить их уравнения в декарто. вых прямоугольных координатах при условии, что полярная ось совпадает с положительной полуосью Ох, а полюс — с началом координат. 442. Окружности заданы уравнениями в декартовых прямоугольных координатах: 1) х' + уз = х; 2) х' +, +уз= — — Зх; 3) ха+уз 5у! 4) ха+уз — у; 8) хз+ + уз = х+ у.
Составить уравнения этих окружностей в полярных координатах при условии, что полярная ось совпадает с положительной полуосью Ох, а пол!ос— с началом координат. 443. Составить полярное уравнение касательной к окружности р = гт в точке Мг(гс! 9з), Зллнпсом называется геометрическое место точек, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек плоскости, называемых фокусами, есть постоянная величина, большая, чем расстояние между фокусами. Постоянную сумму расстояний произвольной точки эллипса до фокусов принято обозначать через 2а.
Фокусы эллипса обозначают буквами Рь и Рь расстояние между ними— через 2с. По определению эллипса 2а 2с нлн а ) с. Пусть дая юглнпс. Если оси декартозои прямоугольной системы координат выбраны тан, что фокусы данного эллипса раснолагаются на осн абсяясс симметрично относительно начала кооршшат, то в этой системе координат уравнение данного эллипса имеет внд ха уз г + 3 (1) где Ь =)' аз — сз; очевидно„а ) Ь. Уразкение вида (!) называется каноническим уравнением эллипса, Прн указанном выборе системы координат оси координат нзляются осями симметрии эллипса, а назало координат — его пснтром симметрии (рис, 12), Оси симметрии эллипса называются Просто его пегая, зентр снччстрян просто !шнтром. то'шн, з ко. тооых гллннс перес"каст своп ося, назыза,огсз сто эер азизян.
На рвс. !2 вершины эллипса суть гочки А', А, В' н В. Часто оскал эл:шпса назызюотся также отрезкк А'А =- 2а н В'В 2Ь; вместе с тем отрезок ОА а называют большой полуосью зллноса, отрезок ОВ =- Ь вЂ” малой полуосью. Если фокусы эллипса расположены на осн Оу (симметрично относнтслы1о нзчала координат), то уравнение эллипса имеет тот же вяд (1), но з этом случае Ь ) а; слсдователыю, если мы желаем букзон а обозначать большую полуось, то в уравнении (1) нужно буквы а я Ь поменять местами.
Однако для удобства формулировок задач чы условимся букчой а всегда обозяачать полуось, расположенную на оси Ок, буквой Ь вЂ” полуось, расположенную на осн Оу, независимо от того, что больше, а или Ь. Если а = Ь, то уравне. нне (1) определяет окружность, рассматриваемую кзк частный случая эллипса. Чясло где а — большая полуось, нззывается зксцентриснтетом эллипса.
Очевидно, в ( ! (для окружности в = О). Если М(х; у) — произвольная точка эллипса, то отрезки Р1М = г~ и РзМ гг (рнс. 12) называются фокальными радиусами точки М. Фокальные радиусы могут быть вычислены по формулам г, =а+ел, гз а — ех. Каждая директриса обладает следующим свойством: если г— расстояние произвольной точки эллипса до некоторого фокуса, с( — расстояние от той же точки до односторокней с этим фокусом директрисы, то отношение — есть постоянная величина, разная д экснеитриситету эллипса Если две плоскости х и !) образуют острый угол ~р, то проекпней.на плоскость () окружности радиуса а, лежащей на плоскостн и. является эллипс с большой полуосью а; малая полуось Ь 3 Д.
В, Клетенвк бб этого эллипса определяется по формуле (р:с. !3), Ь асоэ у Если ир тлыв вость радиуса Ь, то в ру пилиидр имеет в явпгстве пвпрввляюпюй ои! 1 . !)умс- р, о в севеиии этого пплипдрл плоскостью и е в "; д л. др ьод острыьг углом гр, Оудст эллипс, малая полуось и)порога рэвпэ Ь; больгпэя полу. ось а этого элли..:э ог|ределяется по формуле !рис. ! ), 444. Составить уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси абсцисс, симметрично относительно начала координат„ зная, кроме того, что: 1) его полуоси равны 5 и 2; 2) его большая ось равна 10, Рис. !4. а расстояние между фокусами 2с = 8; 3) его малая ось равна 24, а расстояние между фокусами 2с = 1О; 4) расстояние между его фокусами 2с = 6 и эксцентриситет е=-; 3, 5) ) его большая ось равна 20, а эксцентриситет е = — ! =3 ° 6' 6) его малая ось равна 10, а эксцентриситет в= —.; 7) ас ) р стояние между его директрисами равно 5 и !3' расстояние между фокусамн 2с = 4; ) с о большая ось равна 8, а расстояние между ди.
ректрисами равно 16; 9) его малая ось равна 6, а расстояние между дирекв трисами равно 13; 1О) ) расстояние между его директрисами равно 32 н 2 445. С оставить уравнение эллипса, фокусы котор г лежат на оси ординат, симметрично относительно на. ро о чала координат, зная, кроме того, что: 1) его полуоси равны соответственно 7 и 2; 2) его большая ось равна 10, а расстояние между фокусами 2с = 8; 66 ! 3) расстоячие между его фокусами 2с = 24 и экспенЕо„-. !2 !3' 'ь:: трнситет а= —; :ф",:;:.
4) его малая ось равна 16, а эксцентриситет в= — '; 5) расстояние между его фокусами 2с =.— 6 и расстоя2, ".'''„' ние между директрисами равно 16 —; 2 6) расстояние между его директрисами равно 10— 3 и зксцентриситет а = —. 4 ' ~д:,-". 446. С!пределять полуоси каждого из следугощгтх эл- ::6!';:.'::.
лнпсов: 1) ! +-"-=1; 2) х +де=1; 3) х'+25дэ=25; :Ч;;.:::.д 4) х'+ Бд' = 15; 5) 4св+ 9дв = 25; 6) 9хе + 25д' = 1; 'ея,",.,т 7) хе+ 4дв=1; 8) 16хв+ де=16; 9) 25х'+9де=1 10) 9х'+д' =1. 1Ф':::-' 447. Дан эллипс 9х'+ 25дв = 225. Найти: 1) его полуоси; 2) фокусы; 3) зксценгриситет; 4) уравнения директрис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
