Сборник задач по аналитической геометрии (946870), страница 17
Текст из файла (страница 17)
дозательных равномерных сжатий плоскости к осям Ох и Оу, при которых гипербола х — — = 1 преобразу- 2/'-' 49 16 хз у' 25 64 ется в гиперболу — — — = 1. 9 20. Парабола Параболой называется геометрическое место точек, для каждой из которых расстояние до некоторой фикскрованной точки пло скости, называемой фокусом, равно расстояяию до некоторой фиксированной прямой, назывземои директрисой. Фокус параболы обозначается буквой г, расстояние от фокуса до директрисы — букной р. Число р называется параметром параболы. Пусть дана некоторая парабола. Введем декартову прямоуголь. ную систему координат так, чтобы ось абсцисс проходила чер~з Парабола имеет одну ось симметрии, называемую осью пара.
балы, с которой оиа пересекается в сдвистзениай тачке. Точка пересечении параболы с осью называстсп ее всрщинай. При указанном выспе выборе координатной системы ось:араболы саймс. щена с осью абспн с, верщнва наладится в иа:зле. координат, всв яарабалз лежит в праваи полуплоскости. Если координатная система выбрана твк, что асз абсзисс сав. мещеиа с осью параболы, начало координат — с з рщинав, но парабола лезкнт о .-.евой полупласкости (рпс, 2О), то ес уравнение будет иметь зид рс = — 2рх.
(ч) и случае, когда ив~ало координат наводится з всрпщве, а о осью совмещена ось ординат, парабола будет иметь уравнение х' = 2рз, (3) ~слп ача лево т в осрки й палупласкссти (рве,. 2!), и х 2рд (4) — сели и нижней полуплоскостн (ряс. 22!. Рис. 22. Рнс, 21. Каждое из уравнений параболы (2), (3), (4), как и уравне.
нне (1), называется кананическвм, 583. Составить уравнение параболы, вершина которой находится в начале координат, зная, что: !) парабола расположена в правой полуплоскости симметрично относительно осн Ох, и ее параметр р = 3,' 2) парабола расположена в левой полуплоскости симметрично относительно оси Ох, и ее параметр р = 0,5; 3) парабола расположена в верхней полуплоскости симметрично относительно оси Оу, и ее параметр р=-' 1 Вб 4) парабола расположена в нижней полуплоскости 'симметрично относительно оси Оу, и ее параметр ':у=3. 584. Определить величину параметра и расположе1ф--:;-: ние относительно координатных осей следующих па:;В4:,':-'::: р а 6ол: 1) у'= бх; 2) ха = 5д; 3) уз= — 4х; 4) ха=- — у.
585. Составить уравнение параболы, вершина кото. -.,::' рой находится в начале координат, зная, что: 1) парабола расположена симметрично относитель. но оси Ох и проходит через точку Л(9;6); 2) парабола расположена симметрично относительно осн Ох и проходит через точку В( — 1;3); 3) парабола располоиссыз симметрично относительно оси Од и проходит через точку С(!; 1) 4) параоола расположена сиызчетрнс1но относительно оси Оу и проходит через точку О(4; — 8). 586. Стальной трос подвешен за два конца; точки крепления расположены на одиизкогой высоте; расстояние между ними равно 20 м.
Величина его про« гибз па расстоянии 2 л1 от точки крепления, считая по горизонтали, равна 14,4 си. Определить величину прогиба этого троса в середине между точками крепления, приближенно считая, что трос имеет форму дуги параболы 587. Составить уравнение параболы, которая имеет - фокус Е(0; — 3) н проходит через начало координат, зная, что ее осью служит ось Оу. 588, Установить, какие лнш1и определяются следующими уравнениями: 1) у=+ 2 Ргх; 2) у=+ )~ — х; 3) д = — 3 ~/ — 2х; 4) у = — 2 ф'х; 5) х =+ ~/5д; 6) х = — 5)г — у; 7) х = — )/3д; 8) х=+ 4 \~ — у.
Изобразить эти линии на чертеже. 589. Найти фокус г и уравнение директрисы пара. болы дз = 24х, 590. Вычислить фокальный радиус точки М параболы д' = 20х, если абсцисса точки М равна 7. 591. Вычислить фокальный радиус точки М пара. боль1 уз = 12х, если орднната точки М равна 6. 592. На па , раболе ув = — !бх найти точки, ф радиус которых равен !3. , фокальныи 593. Составить авнеиие, л ур )ие параоолы, если дан феи уравнение директрисы х — 7 = О.
оставить ависи . шина совпадает с точксй (а;~я), па .. жи,ельном иьшравлении оси Ох; 2) вот г -...." в 2г. ) рипа.ельном направлении оси Ох, 595. Составить уравнение а а совпадает с точкой (а; я) па а ьи . Оу арабола простирается , .льна оси О и п !) в л.' ) в отрицательном направлении оси О (т.
". *- рабола является нисход ', "). . Установить, что каждое из следующих уравнсяет пар олу, найти координаты се веры , у р метра р и уравнение директриы, величин па амет у'=4х — 8; 2) д'=4 — 6х; 3) х'=6У+2; 59, 7, Установить, что каж дое из следующих ура вне" еделяет параболу, и найти координаты ее вер- шины А и величину параметра р: 1) у — х'+ х+2' 2) у = 4хв — 8х + 7; 3) у = — — хв + 2х — 7. 8 ний 598. Установить что к каждое из следующих уравнер у, и найти координаты ее веропределяет па абол ииа и величину параметра р:1) х = 2у' — 12у+!4; 2) х= —— = — — Уз+ у; 3) х = — у'+ 2у — !. 599. У щими уравнениями': . Установить, какие линии оп е ределяются следую! ) у = 3 — 4 $~х — 1; 2) х = — 4 + 3 д'у + 5; 3) * 2 — 2 3 — 22; 3) 3 — 32-)/ — 3 — 2).
Изобразить эти линии на чертеже. 600. Составить у авнение па ур е параболы, если даны ее ус; ) и директриса х — 5* О. фокус Г(4 3) 60!. Составить уравнение па ) и директриса у + 1 О. р параболы, если даны ее 88 : д):;:) 602. Составить уравнение параболы, если дань) се :::-~!-' фокус Е(2; — 1) и директриса х — у — 1.= О. 603. Даны вершина параболы А(6; — 3) н уравнение се директрисы Зх — 5у+ 1 = О, Найти фокус Р этой параболы, 604. Даны в;ршииа параболы А( — 2; — 1) и уравнение ее директрисы х + 2у — 1 = О. Составить уравпс- :;2~:.-:: нне этой параболы.
605. Определить точки пересечения прямой х+ д— — 3 = — О и параболь) х2 = 4У. 606. Определить точки псресеченш. прямой Зх+ (+ 4У вЂ” 12 = 0 и параболы У2 =- — Ох 607. Определить точки пересечения прямой Зх— — 2У+ 6 = О и параболы У2 =-- 6» 608. В следующих случаях определи»2ь как расположена даииая прямая о2носнтсльпо данной парабо. лы — пересекает лн, касается пли проходит вне ее: 1) х — У+2.=0, У2=8х; 2) Зх '-Зу — !5=0, ххахЂ = — Зу; 3) Зх — у — ! 5 = О, ув =- — бх, 609. Определить, при каких шшчеииях углового коэффициента й прямая у== )1х+2 1) пересекает параболу у'= 4х; 2) касается ее; 3) проходит шге этой па.
раболы. 610. Вывести условие, при котором прямая у = = йх+ () касается парабочы у' = 2рх. 611. Доказать, что к параболе ув = 2рх можно провести одну и только одну касательную с угловым коэффициентом й чь О. 612. Составить уравнение касательной к параболе д'.= 2рх в ее точке М) (х), у)). 613, Составить уравнение прямой, которая касается параболы у'= 8х и параллельна прямой 2х+2у— — 3= О. 614. Составить уравнение прямой, которая касается параболы х'= 16у и перпендикулярна к прямой 2х+ +4у+ 7 = О.
615. Провести касательную к параболе у'= 12х параллельно прямой Зх — 2У+ЗО = О и вычислить расстояние с) между этой касательной и данной прямой. 616. На параболе у' - 64х найти точку М), ближайшую к прямой 4х+Зд — !4 = О, и вычислить расстояние д от точки М, до этой прямой. 617. Составить уравнения касательных к параболе у' = Збх, проведенных ив точки А(2; 9). Вэ до з ' Р боле 9 =2Р» проведена касательная, Доказать, что вершина этой параболы лежит посре, у ой пересечения касательной с осью х и проекцией точки касания на ось 0». 619.
Из точки А(5 9) п (; ) роведеиы касательные к па- ра еле у' = 5». Составить уравнение хорды, соединяв- шей точки кзсання, 620. Из точки Р— ' г. параболе 1' = 10 . и Р( — 3; 12) проведены касательнь!е — О». Вычислить расстояяие г( от точки до хорды параболы, соединяющей точки касания, 621. Оп >е ел .! д лять точки пересечения эллипса — + х' вг 100 +.„—,,„- = 1 и параболы йз = 24». 622.
Ог. е ел .р "д . ить точки пересечения гиперболы— л г '>0 — — = — 1 и параболы уг = 3» 623. Оп егелн р . . ть точки пересечения двух парабол: У = »' — 2х+!, » = Ч' — бу+ 7, что прямая, касающаяся параболы в некоторой точке М, составляет равные углы с фо- из , идет пз алле у . точки М и с лучом, который, исходя рг. льно оси параболы в ту сторону, куда парабола бесконечно простирается. 625. Из фок са лом а к оси О ф у параболы у = 12» под острым угх направлен луч света.
Известно, что (д а = †. Дойдя — Д д, до параболы, луч от нее отразился. Составить у звн жеииый луч. „'р ение прямой, на которой лежит отр- ра626. Доказать, ч ось и обп.ий ок , что две параболы, имеющие общую ; " ф ус, расположенный между их верши- нами, пересекаются под прямым углом. 627. Доказв перпендик ля ными . Д;ть, что если две параболы со вза имно точках, то эти точ у .р >*ми осями пересекаются в четыр х е .очки лежат на одной окружности.
6 . Полярное уравнение эллипса, гиперболы 8 2!. По и параболы П ..., гд е ио форме для эллипса, одной ветви Поляряое уравяевие, об с олы к параболы, ил>ест вкд Р.= —, Р 1 — в сов в ' 6 1-созв ' 1) р= '..6 2 3) р=- 1 — — соз В 2 5 3 — 4созВ ' 12 6 1 3 — 3 сов В г г„,„,„„, „, гр г --г,г=В-,„г '"г' 144 деляет эллипс, и найти его полуоси. 16 634.
Установить, что уравнение р = . 5 опре- 4 5 соя в деляет правую ветвь гиперболы, и найти ее полуоси, 91 где р,  — поляркые координаты произвольной точгги лггпглгг, Р— фс кальиый параметр (половика фокалькой хорды ляг>>>я, перв-гглихуляркой к ее оси), е — эксаеятриситет (в случае параболы е =- 1). Поляркая система коордикат при этом выбрана так, ггто >голос каходктсв в фокусе, а поляркая ось яапрзвлека по оск ликии в сторону, ',~с,,: противопо>лохогук> бли>квйгягей к этому фокусу директрисы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
