Сборник задач по аналитической геометрии (946870), страница 19
Текст из файла (страница 19)
11рн и ', з к ких значснпйх гн ', " а н и ураипсни . тхз+ 12ху+ 9уз+ 4х+ ау — 13=-0 Оп род ел яет: р цснзральну1О лиищо! ~з лрямая у=йх: 1) и ." 3 т; - *, '.у' . ках; ) не имеет ОО1цих то- 671. Составит . ° 1к Бить уравнение лин~1и 672, Точка Р(1; — 2) Явзя'тся пг~ "нж 9 24 Г(рнведе О' ление к нресге11~иевту ' и " .я„ гентралынои линий ' ' у, г.* 3 второго порядка 1Ьсть: зш -ч л Лх -Ь В ту+ Суз л- зпх + 9Еу л- Р =- (1) , оч. кат а мого Вх 93 (2) ' - которые позволяют определить коэффипиенты А' и С', не проводя ' . преобразовзкия координат. Уравненке второй степени называется эллнпткческям.
если Ь > О, гиперболическим, если Ь ~ О, и параболическим, если В = О, Уравнение дентрзльной лкнин может быть. только эллиптическим нлн гиперболическим, Кз>кдое злл1о~тнческое уравкеиие является уравнением либо обыкковевного элющсз, либо вырожденного эллипса (т, е. определяет едкнственную точку), либо мнимого эллипса (в этом случзе ' уравнение не определяет никакого геометрического образа), Кеждое гиперболическое уравнение определяет либо обыкновенную гипероолу, либо вырожденную гиперболу (т. е.
пару пере. секающихся прямыт) 673. Определять тнп каждого из следующих уравнений '); каждое из них путем параллельного переноса *) То есть установить. какие яз нях являются эллиптическими, какие гиперболнческвмн н ггзкне параболическими, 4" 99 преобразуя уравнение (1) по формутам х=х+хе, у у+уз, ,; 'получим: Ахз + 2Вху + Сут + Р = О. Для вычисления Р можно пользоваться формулой Л Р Вхэ+ Еуз+ Р или Р б' ДалькеГяяее упрощение уравнения (2) достигается при помощи ,1';: преобразования координат У х'соз а — у' з1п а, (3) у х' з(п а + у' соз а, е, соответствующего повороту осей на угол сз.
Если угол а выбран так, что В1дза — (С вЂ” А) 1яа — В О, (4) ":ы, .',:„:.' то в новых координатах уравнение линни примет вкд А'х' + С'у' + згт О, (б) где А'ФО, С'чдо 3 а и еч анне. Уравнение (4) позволяет определять 1я а, тогда как в формулах (3) участвуют згпа и сова. Зная 1я а, можйо найтн Мп сг и сова по формулам тригонометрии а 1 з1пп= — —, созе=- и: У 1+ 1р'а ~ У1+1а'а Между коэффнпкентамн уравнекий (1) и (5) существуют важные соотношения: А'С' = АС вЂ” В', А'+ С'= А+ С, осей координат привести к простейшему виду; установить, какие геометрические образы они определяют, и изобразить на чертеже расположение этих образов относительно старых и новых осей координат: 1) 4хз+ 9уз — 40х+Збу+!00 = 0; 2) 9хз — !буз — 54х — 64У вЂ” 127 = 0; 3) Охз+ 4уа+!Зх — 8У+ 49 = 0; 4) 4хз — уз+ 8х — 2У+ 3 = О; 5) 2хз+Зуз+ 8х — бу+! 1 = О.
674. Каждое из следующих уравнений привести к простейшему виду, определить тип каждого из них; установить, какие геометрические образы они определяют, и изобразить на чертеже расположсние этих образов относительно старых и новых осей координат: 1) 32х'+52ху — 7У'+180 =О; 2) 5х' — бху + 5уз — 32 = 0; 3) 17хз — 12ху + 8уа = 0; 4) бха+24ху — 5уз = 0; 5) бх' — бху + 5У'+ 8 = О. 675. Определить тип каждого из следующих уравнений при помощи вычисления дискриминанта старших членов: 1) 2хз + 10ху + 12уа — 7х + 18У вЂ” 15 = 0; 2) Зх' — Зху + 7У'+ 8х — ! 5У+ 20 = 0; 3) 25х' — 20ху + 4уз — ! 2х + 20У вЂ” 17 = О; 4) бхз + !4ху + 1!у' + 12х — 7у + 19 = 0; 5) х' — 4ху + 4уз + 7х — 12 = 0; 6) Зх' — 2ху — Зу'+ 12У вЂ” 15 = О. 676.
Каждое из следующих уравнений привести к каноническому виду; определить тип каждого из них; установить, какие геометрические образы они определяют; для каждого случая изобразить на чертеже оси первоначальной координатной системы, оси других ко. ордниатных систем, которые вводятся по ходу решения, и геометрический образ, определяемый данным 100 ,". Уравнением: !О .у ! Зуз 2х — !4У вЂ” !3 = !) х 64х — 64У вЂ” 224 = 0; 2) 25хз — 14хд+ 25У 3 ~+ 16х.+ !2У вЂ” 36 = 0; 3) 4ху+ У !2 28 0 4) 7х'-, бху — уз+28х+ У+ 9 2+бху ! 1!у'+38х+бу+ 5, 2 У.~ буз — 4х+20У+ 20 =О.
и в предыдушей задаче. 677, То же задание, что полнить для Урав"е""и !4хз -1- 24ху -) 2!у х + " 0 1) 14х 8У ! ! О, 7хз+ 60ху+ 32У'- — 14х — 6 у+ 3) 7х, !Оох Зу+67 = 0 4) 50х' — 8ху+ 35у + — 112 + 129 = 4!х~+ 24ху+ 34У + — 9! О 6) 29ха — 24ху+ У + 5! О з ' 24хд+11у'-! 64х+ 42У+ 7) 4х -т " 2 24х -1- 18У вЂ” 36 = О. 8) 4!хз+ 24ху+ 9У п еоб азования координат, у Не проводя прео Ра авнений опредеч о каждое из следующих ур повить, что каж й инины его полуосей. ляс1 эллипс, иа ти вели' — 36 = 0; 4! .2 ! 24ху-)-9У~ -)-24х+ 18У— ! ) 41х2 2) 8хз+ 4хд+ 5У + + — 8 3 = а х 4с — 28=0; 3) 13х 18ху -1- 37уз — 26х — 1Зу + хэ )-10ху ) 13у'-1-46х+ У+ 62 13=0 и еоб азования коордиы~' у 679. Ке проводя Рео Р уравнений опредеое из следуюших и чк (выршк~~ыиый эллиж, единственную точку вы лает изйти ее координа г 9=0, 5хз — бхд+ 2У' — 2х+ 2 = 0; 2) хз + 2ху + 2У'+ бу + х з — бх — 2у+2 = 0; — 32 +26= 0 4 хз — бху + 1Оуз+ 10х — д и еоб азования координат, устано.
680, г!е проводя прео р равчений определяет вить, что каждое нз следу а . лед юших у а . !О! гиперболу, и найти величины ее полуосей: 1) 4ха + 24ху +! 1у'+ 64х+ 42у+ 51 = О; 2) 12ха+ 26ху+ 12у' — 52х — 48д+ 73 = О; 3) Зх'+ 4ху — 12х+16 = О; 4) хз — бху — 7уз + 10х — ЗОу + 23 = О, 681 Н е п.сводя прообраз??панин координат, уст ! пару перееекак!щихсп п]зямых (выр?нкдеинтю Гипс 1) Зха ц 4х?; —,' уз — 2х — 1 =-- Г]! 2) хт — бху -'- Зуа — 4у — 4 =- О; 3) хз — !ху + Зу' = 0; :1) хс -, '4ху -,' Зус — бх — 12у+ 9 = — О.
682. Ке: проппдп: ппепб езо, и ! ! 1:??Ч -"-17?!'-'- 16х — 1оп ~. 3 — 0 2) 1гхз — 18х; — 7! з '- 34т — 13 ' 3) 2хз + Зху — 2уз + Зх —:— 10у .= О; г !.) Пхс — 2х;? + 5?!?е — йх —;- 2!](? -- 20 =-- О. случае, ?о?гдп ?1 и Л суть чпелц еаз! ы' 686ь Д!Пкл;пт „° -„;, - * ! ' ' НПЕ ПГО!'ой одп!!пк?п ?лх л!!акоь степею! (?з 0) Переделяет вырпждепя»"! зл и ! е точ- 687.
Дзг?!?з, !, и и и е" .~' ' ' ' !е ?пе в!о "! .и ';:. пероолу в том и тол! о и тпм случае, кег-а Л ~: О. !02 :.'~.:;,":,;, 688. Доказать, что гиперболическое уравнение второй ":„',:!флпени (б < 0) определяет вырожденную гиперболу :-,';,.'.'(пару пересека?ошихся прямых) в том и только в том ;.-",",:.:::.вулучае, когда Л = О.
й 25. Приведение к простейшему виду параболического уравнения (2] Пусть уравнение Ах + 2Вху+ Су'+ 2Рх+ 2Еу -1- Е = О (!] ' е':,'!?вляется параболи?ескям, т. е. удовлетворяет условя?о Ь == АС вЂ” В' = О. ? '; у9 этом слуьае линяя. определяемая уравнением (!), либо не имеет ' "''! центра, либо яь?ест бес??овеяно много центров. Упроцтсннс парабо:, лического уравнения целесообразно иаяать с поворота координат",',?ных осей, т, е, сны:ала преобразовать уравнение (!] при поможи .';:, формул х = х' соз и — у' а!и а, у =- х' в]п а + у' соз а. Угол и следует яайти из ураввепия В тя? и — (С вЂ” А) тя а — В = О; (3] '.;., 'тогда в яовых координатах уравнение (!] приводится либо к виду А'х' + 2Р'х'+ 2Е'у'+ В =О (4) где А' ~ О, лабо к виду С у + 2Р'х'+ 2Е'у'+ Е О, (Б] где С' Ф О Далю?е?!п?ес упрогдеияе уравнений (4] и (б] досткгается путем параллельного перенесения (повернутых) осей 689.
Установить, что каждое из следующих уравнений является параболическим; каждое из них привести кпростейшему виду; установить, какие геометрические образы -:-::,:" они определяют; для каждого случая изобразить на чер, Феже оси первоначальной координатной системы, оси других координатных систем, которые вводятся по ходу ' решения, и геометрический образ, определяемый данным .'"уравнением: 1) 9хз — 24ху + 16у' — 20х + 110у — 50 = 0; 2) 9ха + 12ху + 4ув — 24х — 16у + 3 = 01 3) !бх' — 24ху -1- 9ув — 160х + 120у + 425 = (? 690.
То же задание, что и в предыдущей задаче, вы. полнить для уравнений: 1) Оха + 24ху + 16уз — 18х + 226у '+ 209 = 0; 2) хз — 2ху+ уз — 12х+ 12у — 14 01 3) 4хз+12ху+Ода — 4х — бу+1 = О. 691. Для любого параболического уравнения доказать, что коэффициенты А и С не могут быть числами разных знаков и что они одновременно не могут обрашаться в нуль. 692.
Доказать, что любое параболическое уравнение может быть написано в виде: (ах+ ру) з + 2Рх + 2Еу + Р О. Доказать также, что эллиптические и гиперболические уравнения в таком виде не могут быть написаны. 693. Установить, что следующие уравнения являются параболическими, и записать каждое из них в виде, указанном в задаче 692: 1 ) х" + 4ху + 4уз + 4х '+ у — 15 = 0; 2) Охз — бху+уз — х+ 2у — 14 = 0; 3) 25хз — 20ху + 4уз + Зх — у -1- 11 = О! 4) 1бхз+16ху+ 4у~ — 5х+7у = 0; 5) 9х' — 42ху+ 49у'+ Зх — 2у — 24 О.
694. Доказать, что если уравнение второй степени является параболическим и написано в виде (ах'+ ру)''+ 2Рх+ 2Еу+ Р = О, то дискриминант его левой части определяется фор- мулой Л = — (Р!1 — Еа)з. 695. Доказать, что параболическое уравнение (ах+ ру) '+ 2Рх+ 2Еу + Р = 0 при помощи преобразования х = х' сов Π— у' з! п О, у = х'з!п О+ у'соз О, приводится к виду С'у' + 2Р'х'+ 2Е'у'+ Р' =О, 104 '.„:.;- где ля До ; ~-'.": 'Де вн па , ~1"..
9 26. Уравнения некоторых кривых, встречающихся в математике и ее приложениях 701. Составить уравнение геометрического места то- чек, произведение расстояний которых до двух данных точек Р,(- с; 0) и Ре(с; 0) есть постоянная величина а'. 105 С' = аз + бз, Р' = ~ а'+ 02 ' Л вЂ” дискриминант левой части данного уравнения. 696. Доказать, что параболическое уравнение опредеет параболу в том и только в том случае, когда Л Ф О. казать, что в этом случае параметр параболы опреляется формулой — л (А+ С)' ' 697.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
