Сборник задач по аналитической геометрии (946870), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Определить проекции на координатные оси следующих ! векторов: 1) а+ Ь; 2) а — Ь; 3) 2а; 4) — — Ь; 5) 2а+ЗЬ; 6) — а — Ь. 1 776. Проверить коллинеарность векторов а == =(2; — 1; 3) и Ь=( — 6; 3; — 9). Установить, какой из ;:;:: них длиннее другого и во сколько раз, как они направлены — в одну или в противоположные стороны. 777. Определить, при каких значениях а, 6 векторы а= — 21+ 31+6Ь н Ь=а1 — 61+2Й коллинеарны. 778. Проверить, что четыре точки А (3; — 1; 2), В(1; 2; — 1), С( — 1; 1; — 3), О(3; -5; 3) служат вершинами трапеции, 779.
Даны точки А ( — 1; 5; — 101 В (5; — 7; 81, С(2; 2; — 7) и Ю(5; — 4; 2). Проверить, что векторы АВ и СР коллинеарны; установить, какой из ннх длиннее ' другого и во сколько раз, как они направлены — в одну или в противоположные стороны. 780.
Найти орт вектора а (6; — 2; — 3). 781, Найти орт вектора а=(3; 4; — 12). 782. Определить модули суммы и разности векторов а=(З; — 5; 8) и Ь:( — 1; 1; — 4). 783. Дано разложение вектора с по базису1, 1, Ь; с= ='161 — 151+ 121. Определить разложение по этому .:::же базису вектора И, параллельного вектору с и 12! противоположного с ним направления, при условии, что ) с(~ =75. 784.
Два вектора а=(2; — 3; 6) и Ь=( — 1; 2; — 2) приложены к одной точке. Определить координаты вектора с, направленного по биссектрисе угла между векторами а и Ь, при условии, что ~с1 3)У42. 785, Векторы АВ (2; 6; — 4) и АС=(4; 2; — 2) совпадают со сторонами треугольника АВС, Определить координаты векторов, приложенных к вершинам треугольника и совпадающих с его медианами АМ, ВЛ(, СР. 786*). Доказать, что если р н 17 — какие угодно неколлипеарные векторы, то всякий вектор, лежащий в их плоскости, может быть представлен в виде: а=ар+рему. Доказать, что числа а и 6 век- Р торами а, р и д определяются однозначно.
(Представление вектора а в виде а=-ар+~)д назыхз вается разложением его по базису р, д; числа а и 6 называютХх ся коэффициентами этого разлоУ жения.) Доказательство. Прииедем нскторы а, р н Ч к об1псму началу, которое обозначим буквой О (рис. 40), Конец вектора а обозначим буквой А. Через точку А проаедеы пряную, параллельную аектору д, Точку пересечения агой прямой с линией действия вектора р обозначим через Ар. Аналогично, проводя через точку А прямую, параллельную вектору р, получим а пересечении с линией дейстэня вектора л точку Ач. По орааялу парзллелограмма получим: а ОА = ОА„+ ОАч.
(1) Так как нектары ОАз и р лежат на одной прямой, то вектор ОА может быть получен умножением вектора р на некоторое число а ОАр -— — ар. (2) Аналогично ОАг РЧ. (3) Из раненстн (1). (2) и (3) получаем: а=ар+бе. Тем сзмым нозиожиость тРебхемзго РазложеаиЯ доказана. Остаетса Докааатхи что ксзффицнентй а и р этоГо разложения определяются одно. аначно "1 задачи твб я 792 супхестаеняы для правильного понимания остальных задач.
ре1дение первой из них здесь приводится полное,ью. 122 Предположим, что вектор а ичеет дэа разложения'. а ар+ рй, а = а'р+ р'и, я, напркмер, а' Ф а. Вычитал почленно одно из другого, получаем: (а' — а) р+ (р' — р) д = 0 или р —,Ч. Р— 6' и' — и Бо это рааенстао озязчаст коллииеарпость аектороэ р и С. 1гот;1(гче, однако, по устелив язпя1птсч иеколлинеарными. Слетопзтейькз, иеразеистао а' * а неэозчожяо. Аналогячп; д:;кьзызаггся. ио невозможно исрагенстзо 6' -,— ' р.
Таким образок, а' =- а, 3':-.:=;:„ т. е. двух рзжтичных рззложеяий озан и тот хке вектор кисть ае может. 787. Нз плоскости даны два вектора Р = — (2; — 3), () —.=(1; 2). Найти разложение вектора а= — -(9; 4',. по ба- зису 788. На плоскости даны три вектора а = — (3; — 21, Ь =( — 2; Ц н с ==(7; — 4). Определить разложение качг- дого из этих трех векторов, принимая в 1сз-1сзтвс б;- зиса два других. 789, Даны тря вектора а =-(3; — 1;'„Ь =--11 — 2), с=( — 1; 7). Определить разложение гектора р = а —.
+ Ь+ с по базису а, Ь. 790. Принимая в ка-1естэе базиса векторы ЛВ = Ь н,АС = с, гюпхтда1ашие со стороиамн трс) гол1л икз ЛВС, определить разложение векторов, при:южспньк в зер- хпи11ах тхзеугольника и совпадающих с его медианам;1. 791. На глоскости даны четыре точки Л (1; — 2), В(2, 1), С(3; 2) и В(--2; 3).
Определить разлож.пис векторов Лхз, ЙЭ, Схх и .Ю -,'- Вй) .з- СВ, принимая з каис. сгвс базиса векторы ЛВ и ЛС. 792. Доказать, что если Р„г) и и — какие угодно некочп:1знарные векторы ), то всякий вектОр и про" стра11ствз может быть представлен в виде: а =- ар— + ()17 Л, уг ДО1га11ать, х1то числа а, р, у всктозамгг и Р и г определяются Одрхозначно. (Представление век- торз а в виде а==-ар+617 з,-уг называется рахложе- Нисм его по базису р, д, и. Числа а, 6 и у нахып1потся коэффициентами этого разложения.) Дань три 1зектора Р=(3' 2' 1)*4(=( — 1'1' — 2» г=-(2; 1; — 3), Найти разлонсеипе вектора с =-(11: — 6; 5) по базису р, д, г. ) Трп гектора пз:ы ~аютсг иекох планар п„мч, еспз после при- ведении к обп1ему иа1с, у они не ле. зт п одной плоскост1, 794. Даны четыре вектора а = — (2; 1; О), Ь = (1; — 1; 2)„ с==:(2; 2; — Ц и с(=-(3; 7; — 7).
Определить разложение каждого из этих четырех векторов, принимая в качестве базиса три остальных. 9 31. Скалярное произведение векторов Скалярпым произведением лзуя векторов называется число, равное произведению модулей втих векторов ка косинус угла межау ними. Скалярное произведение векторов а, Ь обозначается символом аЬ (ю>рядок змззсн сомнозкителеи бсзрюличен, т, е. аЬ=Ьа). Есж> угол между векторами а, Ь обоз:>ачить через >р, то зх скалярное произведение можно выразить формулой аЬ ,.'а1 ° ',Ь) сов>р (1) Скелярное произведение векторов а, Ь можно вырюить также формулой аЬ = ) а ) ° зр„Ь, или аЬ = ~ Ь ) ° прз а, Из формулы (1) следует, что аЬ>0, если Ч> — острый угол, ай<0, если угол Ч> — тупой; аЬ=О в том и только в том случае, когда векторы а и Ь перпенгп>куляриы (в частности, аЬ=О, если а =.
0 ялз Ь = О). Скзляряое произведение аа называется скалярным квадратом вектора в обозиачастся символом а'. Из формулы (1) следует, что скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля: а"=)ай Если вскторь> а и Ь заданы своими координатами: а=(ХП У,: 2>), Ь=(Хз; У,; Хз). то их скалярное г>роиззеление может быть вычислено по формуле аЬ вЂ” Х,Х, + У,ув + Я>хь Отсюда следует необходимое и достаточное условие перпендику. л> рности всктороз; Х>Х>+ У>ув+ Х,ге =0. Угол з> между векторами а (Хб УН Яй и Ь=(Хв: Уз; Яй аЬ дастся формулой сове — —,, > или в координатах )а~ ° )Ь', ' Х Х.+У;У +г>Х> Проекция произвольного вектора 8 =-(Х; У; Х) на каку>о-нибудь ось и определяется формулой пр„8 8е, 124 ьз>т ,,'" '- где е — единичный вектор, направленный по оси и.
Если даны .>)'-:;.1>углы а, р, у, которые ось и составляет с коор янатнымз осямя, то е=-(сова; совр; сову) н для вычисления проекции вектора и ,.":;;.;,'о' может служить формула пр„8 Хсоза+Усов()+Усову. 2 796. Векторы а и Ь образуют угол гр= — и; зная, что (а) = 3, (Ь) =4, вычислить: 1) аЬ; 2) а; 3) Ь', 4) (а+Ь)з) 5) (За — 2Ь) (а+ 2Ь); 6) (а — Ь)', 7) (За+ 2Ь)'.
796, Векторы а и Ь взаимно перпендикулярны; век- тоР с обРазУет с ними Углы, Равные з) знаЯ, что (а ',= =3, (Ь(=5, (с(= 8, вычислить: 1) (За — 2Ь)(Ь+Зс); 2) (а+ Ь+ с)з; 3) (а+ 2Ь вЂ” Зс)'. 797. Доказать сптваведливость тождества (а+ Ь)'+ +(а — Ь)'=2(аз+ Ь) и вьиснить его геометрический смысл. 798.
Доказать, что — аЬ-=аЬ~~аЬ; в каких случаях здесь может иметь место знак равенства? 799. Считая, что каждый из векторов а, Ь, с отличен от нуля, установить, прн каком их взаимном расположении справедливо равенство: (аЬ) с = а(Ьс), 800. Даны единичные векторы а, Ь н с, удовлетворяюшие условию а+ Ь+с О. Вычислить аЬ+Ьс+са. 801. Даны три вектора а, Ь и с, удовлетворяющие условию а+Ь+с О.
Зная, что )а)=3, )Ь~=-1 и ) с ~ = 4, вычислить аЬ + Ьс + са. 802. Векторы а, Ь, с попарно образуют друг с другом углы, каждый из которых равен 60'. Зная, что (а(= 4, ) Ь (= 2 и (с (= 6, определить модуль вектора р=а+Ь+' 803. Дано, что (а)=3, )Ы=5. Определить, при ,. '.;- каком значении а векторы а+ аЬ, а — аЬ будут взаимно перпендикулярны. 804. Какому условию должны удовлетворять век.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
