Сборник задач по аналитической геометрии (946870), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Составить уравнения линии пересечения пло'-';!".,'скости Охг и сферы с центром в начале координат 1,.'".~;;-зи радиусом, равным 3. 906. Составить уравнения линни пересечения сферы, ,.!', центр которой находится в начале координат и радиус ~",-',;:,'равен 5, с плоскостью„ параллельной плоскости 0;г 2' '1!!~„.:;;:, и лежз1цей в левом полупрсстрпнстзс нп расстоянии 1.'а!::.'двух единиц от нсе. 906. Составить уравнения линии пересечения пло- .'-1:;;:;;скости Оуг и сферы, центр которой находится в точке :;:!;:,' С(5; — 2; 1) и радиус равен 13, 907, Составить уравнения линни пересесюния двух ,,;:„,,':;.
сфер, одна нз которых имеет радиус, равный 6, н и,;.птр ,"з!',.:: в начале кооудинат, дРУгаЯ имеет РаднУс, Равный 5, з~-';н центр С(1; — 2; 2). 908. Найти точки пересечения трех поверхностсй1 х'+ уз + г' = 49, у — 3 = О, г + 6 =- О. 909. Найтц точки пересечения трех поверхностей*, хз + у' + га = 9, хе + уа + (г — 2)2 = 5, у — 2 =- О. 9 37.
Уравнение цилиндрической поверхности с образующими, параллельными одной из координатных осей Уравнение с двумя тмреысниыми вида Р(х, у)=О ,.'т(,.":Ов пространственной системе координат определяет пнлиндрнчес у1о ",'=;.„'","Поверхность с образуюшимк, параллелькыми оси Ох. На ппоскости састеме каордкнат с осими Ох и Оу уравнение Р(х, у) О 188 В: определяет линию, именно, яаправляющую линию рассматрввае мого цилиндра. Но ага же линия в пространственной системе коор. динат долзкна быть задана двумя уравнениями! ( В(х, р) О, г О.
Аналогичны уравнение Г(х, а) О (в пространстве) определяет цилиндрическую поверхность е образующими, параллельнымн оси Оу! уравнение Р(р, а) О определяет цилиндрическую поверхность с образующими, параллельными оси Ох. 919. Установить, какие геометрические образы опре- делнютоя в пространственной системе координат сле- дующими уравнениями: 4) х' бг; 5) х' — ху=б; 6) хз — гз=О; 7) уз+ха=0; 8) ха+ 4уз+4=0; 9) ха+ гт =2г; 10) у'+г'= — г. 911.
Найти уравнение цилиндра, проектирующего окружность ха+(у+ 2)з+(г — 1)з= 25, х'+ у'+ г' 16 на плоскосттн 1) Оху; 2) Охг; 3) Оуг, 912. Найти уравнение проекции окружности (х+ 1)'+ (у+ 2)'+ (г — 2)з =36, хз+ (у+ 2)з+ (г — 1)'=25 на плоскости 1) Оху; 2) Охг; 3) Оуг. ГЛАВА О Клт!;.:-УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ. УРАВНЕНИЯ ПРЯ УРАВНЕНИЯ ПОВЕР)ьНОСТЕИ ВТОРОРО ПОРЯДКА ,'„"", $38. Общее уравнение плоскости. Уравнение цло з::;~':: проходящей через данную точку и имеющей д нормальный вектор В декартовых координатах каждая плоскость опр ь~~-;.';.-';.,уравнен!!еы первой степекя и каждое ураппеяне перво ',;:~';::!Определяет плоскость, ,'!"!! '.
Всякий (кс равпый нулю) вектор, перпсндик ляркый :,'",!."!:: плоскости, называется ее нормальным вектором. равнеи А(х хз!+В(р рз)+а(а хз)=0 ;:. 'определяет плоскость, проходящую че ез точку !1(с (л '-,';":;и имеющую норизлюзый вектор а (А; В; С). раскрывая в уравнеьик (1) скобки и обозна!ап число Врз — Схз буквой В, представим его в виде: Ах + Вр + Сх+ В = О.
Вто ураопекис вззывзется общим уравнением плоскости. 913. Составить уравнение плоскости, кото . ".< ходит через точку М,(2; 1; -1) н имеет нор .::;;;,.'вектор а=(1; -2; 3). 914. Составить уравнение плоскости, кото :;;-', ходит через начало координат и имеет нормаль ;;;",,'гор а=(5; 0; — 3), 915. Точка Р(2; — 1; — 1) служит оспованн ';:,'' нендикуляра, опущенного из начала координат '.,': скость. Составить уравнение этой плоскости.
916. Даны две точки М,(3; — 1; 2) и М,(4; 1'-:,':::"-. СОставить уравнение плоскости, проходяще ,:;"Аточку М, перпендикулярно вектору М,Мз. еделяется й Йпени к даькои !е П) рая про- мальный рая проный век- ем перна пло- — 2; — 1). й через 141 917. Составить уравнение плоскости, проходящей че. рез точку М,(3; 4; — 5) параллельно двум векторам а, =(3; 1; — Ц и аз=(1; — 2; Ц, 918. Доказать, что уравнение плоскости, проходящей через точку М,(х,; у,; г,) параллельно двум векторам и, '==(1.; ~~', а~) и аз=((з1 тз1 и,), может быть пРеДставлено в следующем виде' х — хз у уз г — гз лз~ и, 919.
Составить урйвнение плоскости, проходящей через точки М,(2; — 1; 3) и М,(3; 1; 2) параллельно вектору а=(3; — 1; 4). 920. Доказать, что уравнение плоскости, проходящей через точки М,(х,; у,; г,) и Мз(х,; у.,; гз) парал. лельно вектору а=(1; т; и), может быть представлено в следующем виде; ! х — х, хз — Х1 у — у~ г — г~ Уз-У~ гз — г, 921. Составить уравнение плоскости, проходящей через три точки: М, (3; — 1; 2), Мз(4; -1; — Ц и Мз(2; О; 2). 922. Доказать, что уравнение плоскости, проходящей через три точки: М, (х,; у,; г,), Мз (х,; у,; г,) и Мз (х..; уз' гз) может быть представлено в следующем виде: Х вЂ” Х1 у у~ х,— х*, уз-у, г,— г, =О.
«з — «1 Уз — Уз гз — г1 923. Определить координаты какого-нибудь нормального вектора каждой из следующих плоскостей. В каждом случае каписать общее выражение координат произвольното нормального вектора. 1) 2х — у — 2г+5 =0; 2) х+5у — г=О; 3) Зх — 2У вЂ” 7 =01 4) 5У вЂ” Зг=-0; 5) х+ 2=0; б)у †3. 142 925. Установить, какие -'Юнй определяют перпендику Ц Зх — у — 2г — 5=0, 2) 2х+ Зу — г — 3=0, 3) 2« — Бу+г=О, 926, Определить, при к ,~:::-"!":дующие пары уравнений б ":,!~";~".,Ные и. Оскости: 1) йх+ 1у -', Зг — 5=0, :ф:;:, 2) Зх — у+ 1г — 9=0, 3) тх+ Зу — 2г — 1=0, 927.
Определить, при ка ';,~!'::пары уравнений будут опр ,"::-",,": плоскости: :.ф;:,':; Ц Зх — 5У+ 1г — 3 = О, 2) 5х+ у — Зг — 3= О, 3) 7х — 2у — г=О, 928. Определить двугр -,"',; Пересечением следующих и 1) х — у )/ 2 + г — 1 = О, 2) Зу — г= О, 3) бх+ Зу — 2г = О, 4) х+ 2у+ 2г — 3 = О, 929. Составить уравнен ,!; ходит через начало коорди Ьх — Зу+ 2г — 3 =0, из следующих пар уравне- лярные плоскости: х+ 9у — Зг+ 2=0; х — у — г+5=0; х+ 2г — 3=0.
аких значениях 1 и ьч слеудут определять параллель- тх — бу — бг+ 2=0; 2х+ ту + йг — 3 = О; 2х — Бу — (г =- О. ком значении 1 следующие еделять перпендикулярные х+ Зу+ 2г+5 =0; 2х+ 1У вЂ” Зг+ 1 =0 1х+ у — Зг — 1 =-О. анные углы, образованные ар плоскостей: х+ у 3/2 — г + 3 = 01 2У+ г=О; х+ 2У+ бг — 12 = О, 16х+ 12У вЂ” 15г — 1 = О. ие плоскости, которая прокат параллельно плоскости 143 924. Установить, какие из следующих пар уравне' йй определяют параллельные плоскости; 1) 2х — Зу+Бг — 7 О, 2х — Зу+5г+3=0; ;1;:::.:::: 2) 4х+2У вЂ” 4г+5=0, 2х+у+2г — 1=0; 3) х - Зг+ 2 = О, 2х — бг — 7 = О. 930.
Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку М,(3; — 2; — 7) параллельно плоскости 2х — За+ 5 =О. 931. Составить уравнении плоскости, которая проходит через начало координат перпендикулярно к двум плоскостдмг 2х — У+ За — 1 О, х+ 2У+ а=О. 932, Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку М,(2; — 1; 1) перпендикулярно к двум плоскоотям! 2х — а+1=О, У=О. 933. Доказать, что уравнение плоскости, проходящей через точку М,(хо! уо, хо) перпендикулярно к плоскостям Асх+В(у+С,а+0,=0, А,х+ Взу+Сзх+ Ох=О, может быть представлено в следующем виде: хо У Уо А, В, С, А, В, С, 934, Составить уравнение плоскости, которая проходит через две точки М,(1; — 1; — 2) и М,(3; 1; !) перцеиди)1улярно к плоскости х — 2У + Зз — 5 О.
935. Доказать, что уравнение плоскости, проходящей через две точки М,(х„ у„ а,) и М,(х,; у,; хз) перпендикулярно к плоскости Ах+ Ву+ Са+ 0 =-О, может быть представлено в следующем виде: х — х, хз — х,, У Ус д, — д, гз — г: = О. В С 936. Установить, что три плоскости х — 2У+з — 7=-0, 2х+ у — г+ 2 =0, х — Зд+ 2г — !! =0 имеют одну общую точку, и вычислить ее координаты.
937. Доказать, что три плоскости 7х+4У+7х+1=О, 2х — д — х+ 2 = О, х+ 2У+ Зг — 1 = 0 проходят чсрсз одну прямую, 938. Доказать, что трн плоскости 2х — д+ Зх — 5=0, Зх+ д+ 2г — 1=0, 4х+ Зу+ г+ 2 =0 пересекаются по трем различным параллельным прямым. 939. Определить, при каких значениях а и Ь плоскости 2х- У+ Зх — 1 = — О, х+ 2У вЂ” а+ Ь = О, х+аув бг+ 10=0: 1) имеют одну общую точку; 2) проходят через одну прямую; 3) пересекаются по трем различным параллельным прямым. 9 39, Неполные уравнения плоскостей., У4гавнеине плоскости кв отрезкахэ Каждое уравнение первой степени Ах+ Вд+ Сг+ В =О (в декартовых координатах) определяет плоскость. Если в этом уравнении отсутствует свободный член (Р = О), то плоскость про.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
