Сборник задач по аналитической геометрии (946870), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Найти координаты точек, симметричных точкам А(2; 3; 1), В(5; — 3; 2), Рис. 39. С( — 3; 2„— 1) и 0(а; Ь; с) относительно: 1) плоскости Оху; 2) плоскости Охг; 3) плоскости Оуг; 4) оси абсцисс; 5) оси ординат; 6) оси апликат; 7) начала координат 722. Даны четыре вершины куба; А( — а; — а; — а), В(а; — а; — а); С(-а; а; — а) и О(а; а; а).
Определить его остальные вершины. 723. В каких октантах могут быть расположены точки, координаты которых удовлетворяют одному из следующих условий: 1) х — д = 0; 2) х+у = 0; 3) х — г =- =. 0; 4) х+ г = 0; 5) у — г = 0; 6) У + г = 0 724. В каких октантах могут быть расположены точки, если: !) ху ) 0; 2) хг ( 0; 3) уг -ь О, 4) хуг => 0; 5) хуг (О.
725. Найти центр шара радиуса Й = 3, который касается всех трех координатных плоскостей и расположен: 1) во втором октанте; 2) в пятом октанте; 3) в шестом октанте; 4) в седьмом октанте; 5) в восьмом октанте. 2 28. Расстояние между двумя точками. Деление отрезка и данном отношении Расстояние а между двумя точкаынм|(хи уп г~) и мз(хн ун гз). в пространстве определяется формулой а =- )г (хз — х1)'+ (у, — у,)" + (гз — г,)л, 113 Координаты х, у, х точки М, которая делит отрезок З6Ма, ограиичеииыа точками м~(х1! уп х,) и ма(хи ум ха), в отиогдеиии х, определи|отея по фора!таам!: х1+Ьх, у с Ьуа х +Хая х- ', у= — ', х=- !+ь * !+х ' !+ь В чаетиоети, пря Л вЂ” "' 1 имеем координаты саредяиы лапе!ого от" р за х +х Ю+у;: +хя 726.
Д, иы тачки: А (1; — 2! — 3), В(2; — 3; О), С(3! 1; — 9), ь!( — 1; 1; 12) Вьг!ислнть расстояние между1) ЛнС;2) ВиВ93) Сиб. 727. Вычнс:!нть расстояния ат ь!зчзлз коорди:!з! О до тачек: А(4; — 2; — 4), В( — 41 121 1!), С(12; — 4; 3), В(12. 16,' — 15). 728. Дакззя,ь, чта треугольник с всошинзми А(3; — 1; 2), В(0; — 4; 2) и С( — 3; '2; 1) рззнабедренный. 729, Доказать, чта треугольник с верин!нзу!и Л,,(,Я, --1; 6), Ла( — 1, 7; — 2) и Ля(1; — 31 2) прямо. ~ 730, Опрсзсльяь, есть ли тупак угол срс: н внутренних уг.юп треугольника г!А(4; — 1; 4), М (О; 7; — 4), М,;;3; 1; — 2).
731. 7,оказать, что внутрснние у!ль! трсугол.ника М(3, — 2; 5), Д!( — 2; 1; — '), !о(5; 1; — 1) ас.рые. 732. Нз аси абсцисс найти тачку, рзсстая! ие которой ат тачки Л( — 3; 4; 6) рвана 12, 733. Нз оси ард! изт нанти точку, рзпноудалснную ат точек .4(1; — 3; 7) и В(5; 7; — 5), 734. Найти в пар С и радиус Р шзршюи поверхности, натопи!! посад„'цы' чепца 'гонит Р(4! — 1 — 1) я *', зсг!'я всех трсч каард! пз !ч ых плоскостей.
735, Даны вершины М;(3, 2; — 5), Ма(1; — 4; 3) н М:1 — 3; 0; 1) грс! сальника. Нанти ссрслииы ега сторон. 786. Дзпы вершины Л(2; — 11 4), В(3; 2; — 6), С( — 5; 0; 2) трсуголы!ика, Вычислить: лину его медианы. !-.раас!!сниаг! из всршинь! Л, 737. Центр тяиюсти !однородного стер)кня находится в тачке С(1; — 1; 5), один из ега каицав есть таска А( — 2; — 1; 7), Определить координаты другога конца стержня.
738, Даны две вершины Л(2; — 3; — 5). В( — 11 3; 2) параллелограмма АВСО и точка пересечения ега диаго- 1!4 1: налей Е(41 — 1; 7). Определить две другие вершины это- 1 ! ! ! ! ,"; го параллелограмма. 739. Даны три вершины А(3; — 4; 7), В( — 5; 3; — 2) '; и С(1; 2; -3) параллелограмма АВС)9, Найти его четвертую вершину Р, противоположную В. 740. Даны три вершины А(3; -11 2), В(11 2; — 4) и : С( — 1; 1; 2) параллелограмма АВСВ. Найти ега четвер- ": тую вершину В.
$.— 741. Отрезок прямой, ограниченный точками ., ', А(-1, 8; 3) и В(91 -71 — 2), разделен точками С, В, '1!-'. Е, Е на пять равных частей. Найти координаты этих ;":, точек. 742. Определить координаты концов отрезка, который ;:~~„.'':! точками С(2; О, 2) и 0(5; — 2, О) разделен на три рав':.':-';,":;„',:;: ные части. 743. Даны вершины треугольника А (1; 2; — 1), В(2; -1; 3) и С(-4; 7;- 5). Вычислить длину биссектрисы его внутреннего угла при вершине В. 744. Даны вершины треугольника А (11 -11 — 3), В(2; 1; — 2) и С( — 5; 2; -6).
Вычислить длину биссектрисы его внутреннего угла при вершине А. 745. В вершинах тетрзэдра А(хп у!., г!), В(ха! уа! га), С(х„у„.; га), ь!(х,! уа! г,) сосредоточены равные массы. Найти координаты центра тяжести системы этих масс. ,х 746. В вершинах тетраэдра А!(х„у.; г!), Аа(ха', уа; га), 'Аа(х;,, у:; га)„Аа(хм ум га) сосредоточены массы гп„пза, и!а и ть Найти координаты центра тяжести системы этих ,:11: масс, 747. Прямая проходит через две точки М!( — 1; 6; 6) и М,(31 — 6*, — 2). Найти точки ее пересечения с координатными плоскостями.
ГЛАВА 7 ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА 9 29. Понятие вектора. Проекции вектора Направленные отрезки принято называть также геометряческнми векторами илн просто векторами, Вектор как напрааленщэй отрезок мы будем по-прежнему записывать в тексте двумя бош.- шимн латинскими буквами с общей чертой наверху при условии, что первая из ннх обозначает начало, вторая — конец вектора. 1-!а- ряду с этим мы будем также обозначать вектор одной малой латинской буквой полужирного шрифтз, т л а которая на чертежах ставится у конца эу стрелки, изооражающек вектор (см. ряс.
40, где изображен вектор а с качалом А и кокцом В). Начало вектора часто А будет называться также его точкой прнлоРис. 40. жеяия. Векторы называются равными, если онн имеют одинаковые длины, лежат на параллельных прямых илн на одной прямой и направлены в одну сторону.
Число, равное длине вектора (прн заданном масштабе), называется его модулем. Модуль вектора а ооозначается символом !а( нли а. Если (а, '1. то вектор а называется единичным. Единичный вектор, имеющий одинаковое направление с давным вектором а, называется ортом вектора а и обозначается обычно символом а' Проекцией вектора АВ на ось и называется число, равное ае. личине отрезка А,В~ оск и, где точка А; язляется проекцией кз ось и точки А, а В, — проекцией на зту ось точки В. Проекция вектора АВ на ось и обозначается символом: пр АВ.
Если вектор обозначен символом а, то его проекцюо на ось и прянвто обозначать: пр,а Проекция вектора а на ось и выражается через его модуль н угол ф наклона к оси и формулой приа = ! а! ° соз ф. (1) Проекции грокзвольяого вектора а на оси некоторей ззданной системь, *координат в дальнейитем обознагаются букэзмц Х, У, Х. Равенство а = (Х; У; Х) 11б пзнача.*т, что числа Х, У, Х являются проекциями вектора иа ко'„':ордпиэтиые осв, Проекции вектора на коордикатные оси называют также его ''* (декартоэыми) коордииатамп. Если даны дэе точки М~(хн ун э~) .'и Мэ(хи ум х,), являющиеся соответственно началом н концом век-тора а, то его координаты Х, У, Х определяются по формулам Х=х,— хн У=уз — уь Х г,-хн Форьлулэ (а ! = У Х' + 1" + гэ (2) ,:::'позэоляет по координатам вектора определлть его модуль.
Если а, Р, т — углы, которые составляет вектор а с коордннат- '~!:,'.яыми осями (рис. 4!), то соз о, соз Р, сову называются направляю. ;;-„. щнмк косинусами вектора а Вследствие формулы (1) г ,'. Х *= (а)сова, У !а!соа 5, Х !а,соз у, -:„,~" Отсюда и из формулы (2) следует, что а созе и + созе 9 + соьз т = 1. ;;-' Последнее равенство позволяет определять ",сг один из углов а, р, у, если известны двэ ьэ. других 748. Вычислить модуль вектора У 'ь."" а = (6; 3; — 2).
749. Даны две координаты век;,: тора Х = 4, У = — 12. Определить ';:.его третью координату 2 при уело. Рпс 41. вни, что ! а) = 13 750. Даны точки А(3; — 1; 2) и В( — 1; 2; 1). Найти :;. координаты векторов АВ и ВА. 751, Определить точку Аг, с которой совпадает конец '-':;;вектора а = (3; — 1; 4), если его начало совпадает с точ' кой М(1; 2; — 3). 752. Определить начало вектора а = (2; — 3; — 1), ',' если его конец совпадает с точкой (1; — 1; 2). 753. Дан модуль вектора (а1 = 2 и углы а = 45", :: () = 60', у = !20'.
Вычислить проекции вектора а на ко: ординатные оси. 754. Вычислить направляющие косинусы вектора а = = и= (12; — 15; — 16), 755. Вычислить направляющие косинусы вектораа = 756. Может ли вектор составлять с координатными '.'осями следующие углы: 1) а = 45', р =- 60', у = ! 20'-; 2) а=45', 5=135; 7=60'; 3) а=90', 5=150'; 607 !!7 Каким бы нн был вектор а, он всегда мажет быть разложен яо базису 1, й Й, т.
е, может быть представлен в виде: а Х1+Ц+ ЯЬ; коэффициенты этого разложения являются координатами вектора а (т, е. Х, у, Л суть проекции вектора а на координатные оси). 761. По данным векторам а н Ь построить каждый из следующих векторов: 1) а+Ь; 2) а — Ь; 3) Ь вЂ” а; 4) — а — Ь. 762. Даны: |а |=13, |Ы = 19 и |а+ Ь |=24. Вычислить |*а — Ы. 763.
Даны: | а | =11, ! Ы = 23 и |а — Ы=ЗО. Определить |а+Ь|. 764. Векторы а и Ь взаимно перпендикулярны, причем | и1= 5 и 1Ь, = — 12. Огределить 1а+ Ы и | а — Ь !. 765. Векторы а и Ь образуют угол гр=60", причем |а | =5 и | Ь1 — — 8. Определить | а+ Ы и | а — Ь ',. 766. Векторы а и Ь образуют угол гр=120', причем |а| =3 и |Ь| 5. Определить |а+Ь| и |а--Ь!, 767. Какому условию должны удовлетворять векторы а и Ь, чтобы имели место следующие соотношения: 1) | а+Ь; :=-' а — Ь:; 2) | а+Ь 1) , 'а — Ь !; 3) | а+Ь | < а — Ь ц 768. Какому условию должны удовлетворять векторы а и Б, чтобы вектор а+ Ь делил пополам угол между векторами и и Ь. 769.
По данным векторам а и Ь построить каждый из следующих векторов: 1) За; 2) — — Ь; 3) 2а+ — Ь; 1 1 4) — а — ЗЬ, 1 2 770. В треугольнике АВС вектор АВ =па и вектор АС = и. Построить каждый из следующих векторов: 1) —; 2) —; 3) —; 4) — . Принимая в качестве масштабной единицы — | и |, построить также векторы: 5) |и,'т+|т|п; 6) |п|т-|па,'а.
771. Точка О является центром тяжести треугольника АВС. Доказать, что ОА+ ОВ+ ОС=О. 772. В правильном пятиугольнике АВСОЕ заданы векторы, совпадающие с его сторонами: АВ=пт, ВС=п, С17 = р, ОЕ =- д и ЕА и. Построить векторы; 1) пт — и+ 1 + р-д + г-, 2) т + 2р + — т"1 3) 2т+ — и — Зр — и + 2г. 120 773. В параллелепипеде АВСВА'В'С'О' (рис. 451 ':,;~.:,';: заданы векторы, совпадающие с его ребрами: АВ= —. пт, АО а и АА'=р.
Построить каждый из следующих векторов: С' 1 Л' 1) па+ а+ р; 2) и+и+ — р; б' 3) 2 гп+ 2 тз+Р1 4) та+и Р' ~::::;г 5) — пт — и+ — р. ! о 17-----'-- - с 774, Три силы М, М и Р, приложенные к одной точке, имеют взаимно перпендикулярные напра- Рис. 45. аления. Определить величину их равнодействующей В, если известно, что |М|=2 кГ, | И |= 10 яГ и |Р| = 11 кГ. 775. Даны два вектора а=(3; — 2; 6) и Ь=( — 2; 1; О,'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
