Сборник задач по аналитической геометрии (946870), страница 18
Текст из файла (страница 18)
х' уг 626. Дано уравнение эллипса — '+ — =1. Состз- 25 16 вить его полярное уравнение, считая, что направление полярной оси. совпадает с положитеяьным направлением оси абсцисс, а полюс находятся !) в левом фокусе эллипса; 2) в правом фокусе. лг 629. Дано уравнение гипероолы л — —" = 1. Со- 16 9 ставить полярное уравнение ее правой ветви, считая„ что направлейие полярной оси совпадает с положительным направлением оси абсцисс, а полюс находится 1) в правом фокусе гиперболы; 2) в левом фокусе.
630: Дано уравнение гиперболы 2 — 1" = 1. Со. 25 144 ставить полярное уравнение ее левой ветви, считая, что направление полярной оси совпадает с положительным направлением оси абсцисс, а полюс находится: 1) в левом фокусе гиперболы; 2) в правом фокусе. 631. Дано уравнение параболы уз 6», Составить ее полярное уравнение, считая, что направление полярной оси совпадает с положительным направлением оси абсцисс, а полюс находится в фокусе параболы. 632. Определить, какие линии даны следующими уравнениями в полярных координатах: 635. Установить, гго уравнение р = — „, опре- 2! деляст эллипс, н составить полярные уравнения его директрис. !б 636.
Установить, что уравнение р = †. 9 опре 3 — 5 соя О делает правую ветвь гиперболы, и составить полярные уравнеггня директрис и асимптот этой гиперболы. 637. На эллипсе р= — = найти точки, по- !2 3 — Р 2 соз 9 лярнь!н радиус которых равен 6. 638. На гиперболе р = — найти точки, по- !5 3 — 4 сов 8 лярный радиус которых равен 3. 639. На параболе р= Р найти точки: ! созО 1) с наименьшим полярным радиусом; 2) с полярным радиусом, равным параметру параболы, х' ут 640. Дано уравнение эллипса —, + —, = 1. Состааз Ьз вить его полярное уравнение при условии, что направление полярной осн совпадает с положительным направлением оси абсцисс, а полюс находится в центре эллипса.
х~ у' 64!. Дано уравнение гиперболы †, — †, = 1. Соа' Ь' ставить ее полярное уравнение при условии, что направление полярной оси совпадает с положительным направлением оси абсцисс, а полюс находится в центре гиперболы. 642. Дано уравнение параболы у' = 2рх. Составить ее полярное уравнение при условии, что направление полярной осн совпадает с положительным направлением оси абсцисс, а полюс находится в вершине параболы. й 22. Диаметры линий второго порядка В курсе аналитической геометрии докззывается, что середины параллельных хорд линни второго порядка лежат на одной прямой. Эта прямая называется диаметром линии второго порядка.
Диаметр, делящий пополам какую-нибудь хорду (а значит, и все параллельные ей), называется сопряженным этой хорде (и всем хордам, ко. торые ей параллельны), Все диаметры эллипса и гиперболы праха. 92 а" козффнпяентом й. й то го диз.гетп сопр "'иьй хо д , зм с . тозым определяется уран .еяием Ьг а =- — =,—, х. Если гипербола зздаяа уравнением .Х: '' ~.(, (2) пе !Р ор ам с угловым козффипиентом й, то ее диаметр, сопряягенный хордам с определяется уравнением Ь' у= —,, х а'й злпельиы ее оси. Если парабола ззденз Все диаметры параболы пзрзлпе"ьчы уравяеяием а':= 2рх.
й, с гловым коэффилиентои то ее диаметр, сопряженный хордам с уг. опредезяется уравяением у= Р й Ьз йй' аз Если й н й' — угловые коэффициенты д у в к взаимно сопряженных диаметров гиперболы (2), то Ь' (4) йй' аз 3 и 4 называются условиями солр ол яженности лизка пе пендикулярный к сопряженным хордам, называется главным. 643. Составить уравнение диаметр ет а эллипса х + 25 + У(б 1, проходящего через серед у 3 нн его хорды, отсекаемой на прямой 2х — у— — — 3 = О. 93 рб Если один из двух диаметров Орой диаметр делит по. полам хорды, параллельны дру У и двз дязметра пазы. полам хорды, параллельные первому.
акис дв ваются взаимно сопряженными. в х взаимно сопряжен. Если й и й' — угловые коэффнниенты двух ных диаметров гиперболы (2), то (3) х~ у2 С~ставить уравнение хорды эллипса 16 ч =1, проходящей через точку А(1;-2) и делящейся шо пополам. 645. Составить уравнения двух взаимно сопряженных диаметров эллипса х'+4у'= 1, из которых один образует с осью Ох угол в 45". 646, Составить уравнения двух взаимно сопряженных диаметров эллипса 4х'+ 9уз = 1, из которых один параллелен прямой х+ 2у — 5 = О. 647.
Составить уравнения двух взаимно сопряженных диаметров эллипса х'+ Зуз = 1, из которых один перпендикулярен к прямой Зх+2у — 7 = О. 646. На чертеже изображен эллипс. Пользуясь циркулем и линейкой, построить его центр. 649. Доказать, что оси эллипса являются единственной парой его главных диаметров. 650, Пользуясь свойствами сопряженных диаметров, доказать, что каждый диаметр окружности является главным. 651. а) В эллипс вписан равнобедренный треугольник так, что его вершина совпадает с одной из вершин эллипса. Доказать, что основание этого треугольника параллельно одной из осей эллипса.
б) Доказать, что стороны прямоугольника, вписанного в эллипс, параллельны осям этого эллипса. в) На чертеже изображен эллипс. Пользуясь циркулем н линейкой, построить его главные диаметры 652. Доказать, что хорды эллипса, соединяющие его произвольную точку с концами любого диаметра этого эллипса, параллельны паре его сопряженных диаметров. 653. а) Доказать, что сумма квадратов двух сопряженных полудиаметров эллипса есть величина постоянная (равная сумме квадратов его полуосей). б) Доказать, что площадь параллелограмма, построенного на двух сопряженных полудиаметрах эллипса, есть величина постоянная (равиая площади прямоугольника, построенного на его полуосях).
х> 654. Составить уравнение диаметра гиперболы —— з я> — 4 — — 1, проходящего через середину ее хорды, отсекаемой на прямой 2х — у + 3 = О. 94 т — — — "=1. Составить уран. 655. Дана гипербола ее хорды, которая проход ит через точку и А пополам. ;,.!~;:::; А(3, — 1) и делится точкой 656. Составить ур ь авнеиия двух сопряж .;„-,-:- метров гиперболы хз — уз = 4, — ~'=4, из котор я енн гс диаметре точк А,Я; 1).
657. Составить уравнения сопр :(». ., — — 1 . между которыми ра- гииер о ь б л >1 — — — = > угол . а >,:, гипербола. Пользуясь 658. На чертеже изображена винер ие болы являются еп1>г>- й, пост сить ее центр. 659. Доказать, что осн гииероолы я . иных диаметров. 660. На чертеже изображена гипер ола. пост„оить ее главные дизме, .циркулем и линейкой, и р арабалы у'=- 661.
Составить уравнение д намет а па , отсекас- =!2х, проходя1цего через сер д у е ин ее хорды, '- = 20х Состави ь уравнение 662. Дана парабола уз = х, ост ее хорды, которая проход 1 нт че>ез точку лится точкой А пополам, 663. Доказать, что ось пара олы ванным ее главным ди намет ом. бола. Пользуясь 664. На чертеже р е изоб ажсна пара авиый диаметр. циркулем и линейкой, по р ст оить ее глав ГЛАВА б УПРОЩЕНИЕ ОБЩЕГО УРАВНЕНИЯ ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА. УРАВНЕНИЯ, НЕКОТОРЫХ КРИВЫХ, ВСТРЕЧАЮЩИХСЯ В МАТЕМАТИКЕ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯХ ф Р= Рхо + Еуо+ Р В слччае 6 Ф О имеет место также следующая формула: Р= — ' о Если 5(хо! Уо) — центр линии второго порядка, то э результате ;.=,.„:::;::преобразования координат по формулзол х = х + хо, у д + чо --" (что соответствует перекосу начала коордкн,т ц р ': а э ент линии) ее уравнение прнмет виа Ало+ 2Вху+ Сдо+ Р = О, где А, В, С вЂ” те же, что а данном уравнении (!), а г определяется ормулой й 23, Центр линии второго норидка Центром некоторой линии называется такая точка плоскости, по отношению к которой точки этой линии расположены симметрн во парами.
Ляпни второго порядка, обладающие единственным центром, назыэзются центральными. Точка В(хо', уо) является центрои линии, определяемой уравнением (!), в том и тольхо в том случае, когда ее координаты удовзетворяют уравнениям: Ало+ Вуо + Р =О, Вхо + Суо + Е О (2) Обозначим через 6 определитель этой системы! =!..! Величина 6 составляется вз коэффициентов при старших членах уравнения (!) и называется дискриминаитом старших членов этого уравяенвя, Если 6 Ф О, то система (2) является совместной и определенной, т, е, имеет решение и притом единственное.
В этом случае координаты центра могут быть определены по формулам: !: :! хо ! о уо Неравенство 6 Ф О служит признаком центральной линии второго порядка. ОС Линка, которая в некоторой декартовой системе координат определяетси уравнением второй степени, называется линией второго порядка.
Общее уравнение второй степени (с двумя перемеинынн) принято записывать в виде: Ахо+ 2Вху+ Суо+ 2Рх+ 2Еу+ Р = О. (!) .: где АВР) а- ВСЕ,'. Р Е У) .'-'Определитель Ь называется днгкрииинантом левой части общего ур''' 665. Установить, какие изследуюшнх линий являются центра льными (т. е. имеют единственный центр), какие ье имеоот центра, какие имеют бесконечно много ! р ! ент ов: 1) Зхз — 4ху — 2у'+ Зх — 12у — 7 =0; 2) 4хе + 5ху+ Зуз — х+ 9у — 12 = 0; 3! 4х' — 4ху-, 'у' — бх+ Зу+ 13 =0; 4) 4хз — 4ху + у' — 12х + бу — 11 = 0; 5) хи — 2ху + 4уз + бх — 7у + 12 = — 0; 6) х' — 2ху+ уз — бх+ бу — 3 =0; 7) 4х' — 20ху -!- 25уз — 14х + 2у — 15 = 0; 8) 4х' — бху — 9уз -, 'Зх — 7у + 12 = 0 666.
Установить, что следуюшие линии являются центральными, и для каждой из ннх найти координагы центра: 1) Зх'+ бху+ уз — 8х — 11у — 7 =0; 2) бхз + 4ху + 2уз 4- 20х + 20у — 18 = 0; 3) 9хо — 4ху — 7у' — 12 =- О; 4) 2хз — бху -)- бу" + 22х — Збд + 11 = О. 667. Установить, что каждая из следуюших линий . имеет бесконечно много центров; для каждой их них 97 4 д, В, Коетении составить уравнение геометрическ ого места центров: 1) х' — Оху+ 9у' — 12х+ Збу+ 20 = 0; 2) 4хз+ 4ху + уз — 8х — 4у — 21 = 0; 3) 25хз — 10ху+ у" + 40х — 8у+ 7 =О. 668* У . Установить, что след югцие .
У,;, „,ующие уравнения опредеые линии; прсоб а, р- .р зояать каждое из р носа начала кс 1)Зхз — . + гз р О а .та в Оордииат в центам . -' — 6ху .-2уз — 4х+ 2у+ 1 = — 0; 2) Охт+ 4ху+ у'+ 4х — 2у+ 2.= — О; 3) 4х'+ 6ху+ уз — !Ох — 10 = — 0„ 4) 4хз+ 2ху+ буз+ 6х — 10у -(- 9 = — О. 669.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
