Сборник задач по аналитической геометрии (946870), страница 23
Текст из файла (страница 23)
' ' торы а и Ь, чтобы вектор а+ Ь был перпендикулярен к вектору а — Ь. 806. Доказать, что вектор р=Ь(ас) — с(аЬ) перпендикулярен к вектору а. а (аЬ) 806. Доказать, что вектор р=Ь вЂ” — ',, перпендикулярен к вектору а. 807. Даны векторы АВ= Ь и АС=с, совпадаюшпе -',.' ',со сторонами треугольника АВС, Найти разложение по 125 базису Ь, с вектора, приложенного к вершине В этого треугольника и совпадающего с его высотой В0. 808. Векторы а и Ь образуют угол гр — "; зная, что ~а,'= (г'3, 1Ь ~= 1, вычислить угол а между векторами р=а+Ьигу=а — Ь.
809, Вычислить тупой угол, образованный медианами, проведенными из вершин острых углов равнобедренного прямоугольного треугольника. 810. Определить геометрическое место концов переменного вектора х, если его начало находится в дан. ной точке А и вектор х удовлетворяет условию ха=а, где а — данный вектор и а — данное число. 811. Определить геометрическое место концов переменного вектора х, если его начало находится в даннол точке А и вектор х удовлетворяет условиям ха=а, хЬ =р, где а, Ь вЂ” данные неколлинеарные векторы и а, 1) — данные числа, 812. Даны векторы а =-(4; — 2; — 4), Ь =.-(6; -3; 2).
Вычислить: 1) аЬ; 2) )/ае; 3) )г'Ь'; 4) (2а — ЗЬ)(а+ 2Ь)„ 5) (а+ Ь)-'; 6) (а — Ь)'-'. 813. Вычислить, какую работу производит сила 7 = (3; -5; 2), когда ее точка приложения перемешается из начала в конец вектора з(2; — 5; — 7)"). 814. Даны точки Л( — 1; 3; — 7), В(2; — 1; 5) и С(0, 1; — 5). Вычислить' 1) (2А — СВ) (2ВС+ ВА); 2) )г АВ'; 3) )г АС', 4) найти координаты векторов (ЛВАС)ВС и ЛВ(ЛСВС). 815. Вычислить, какую работу производит сила у=(З; — 2, — 5), когда ее точка приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается из положения А(2; -3; 5) в положение В(3; — 2; — 1).
816. Даны три силы М=(3; — 4; 2), М=(2; 3; — 5) и Р=( — 3; — 2; 4), приложенные к одной точке. Вычислить, какую работу производит равнодействующая этих сил, когда ее точка приложения, двигаясь прямолинейно, перемешается из положения М, (5; 3; — 7) в положение М,(4; — 11 -4) Если викт»»р 1 иеопревееет силу, точке ириложеиви которой иерее"шэе ея 11з иэиегге в коиеи вектора е, то работа яг этой силы ю = (э, эс 817. Даны вершины четырехутольника А(1; — 2; 2), В(1; 4; О), С( — 4; 1; 1) и 0(-5; — 5; 3).
Доказать, что его диагонали АС и В0 взаимно перпендикулярны. 818, Определить, при каком значении о векторы а=о( — 31--,' 2Ь и Ь =- г + 21 — ай взаимно перпендикулярны. 819. Вычислять косинус угла, обра, ованного гекторами а = (2; — 4; 4) я Ь = ( — 3; 2; 6), 820. Даны вершины треугольника Л( — 1; — 2; 4), В( — 4; — 2; О) и С(3: — 2; 1). Опргделить его впутреияил угол прп вер1лнне В. 821. Даны в»'ршины тре»тольппгог А(3; 2; — 3), В(5; 1; — 1) я С(1; — 2; 1).
Определгть его в и 1цяпй угол при вс р ш н не Л. 822, Вь."гпслив внутпенние углы 'треугольника А(1; 2; 1), В(3: — 1; 7), С(7; 4; — 2), убедятьси, 'ыо втге трг угольикк р .1ьио бед)лснп11й, 823. Всилор х, коллинса;1ныя вектор» а ===(б; --8; — 7,51, образует острый угол с осью О . Зггая, что ( х ~==-.5', найти его координаты. ВентОР Е~ К 'ЛннсаРНЬ»е Всг'тг»РУ = (2; 1; — 11 я у; овлстворяюшнй условно ха ==:3 82.. Вектор х, перпеиднкуляггкыя к пектоггл»1 а =- = 31 + 21-л 2Ь и Ь = 181 — 221 — ЗЬ, ооразусг с осв1о Ор тупой угол. Найти его коордиешты, знггя, что гх' ,-= 14 826. Найти вектор х, зная, что он перце»11:пнул;;-,ел к векторач а=(2; 3; — 1) и Ь=(1„— 2: 31 н е:ювлтворяет условиго х(21 — 1+ Ь)= — 6.
827. Даны дза вектора: а =-(3; — 1; 5) и Ь ==(1: 2; — 31. Найти вектор х прп условии, что он пер»»сиди»,улгг,:е11 к ося Оз н удопггстворяет условнякц хп - — --9, хЬ == = 828. Даны три вектора: а == 2г — г -'- Зев Ь.= — г— — 31+29 н с=-Згл-2г — 4Ь. Найти век»ор х, улегалетворяюший условиям: ха = — — 5, хЬ -== — 11, хс --- 20. 829.
Найти проекцию вектора В=(4; — 3„2) иа сеь, составляющую с координатными осими разные ее;рыс углы, 830. Найти проекцию вектора В=- '1'гг2; — 3; — 5) на 'Ось, составгпгющую с координатными осими Ох, ОУглы о=45", у.=60", а с осью Ор — острый угол 5. 831. Даны две точки А(3; — 4; — 2), В(2; 5: — 2). Найти проекцию вектора АВ на ось, сос:авляк»щую С геоордннг»тпымн осямя Ох, Огр углы п=бГ, р=-120', а с осью Ох — тупой угол у.
127 851. Даны точки А(2; — 11 2), В(1; 2; — 1) и С(3; 2; 1). Найти координаты векторных произведений 1) [АВВС[» 2) [(ВС вЂ” 2СА) СВ). 852. Сила у = (3; 2; — 4) приложена к точке А(2; — 1; 1). Определить момент этой силы относительно начала координат ч). 853. Сила Р = (2; — 4; 5) прилажена к точке »1(з(4; — 2; 3).
Определить момент этой силы относи. тельна точки А(3; 2; — 1). 854. Сила ьг = — (3; 4; — 2) прилажена к тачке С (2; — 1; — 2), Определить величину и паправ» яющне косинусы момента этой силы относительно начала координат. 855. Сила Р=- (2; 2; 9) прилажена к тачке А(4; 2; — 3). Определить величину и направляющие косинусы момента чтой силы относительно точки С(2; 4; О). 856. Даны три силы М =(2; — 1; — 3), Й =(3; 2; — 1) н Р=-(-4; 1; 3), приложсниь.е к тачка С( — 1: 4; — 2). Опрсде;шть величину и направляющие косинусы мо. мента равнадгкствуюшей этих сил относительна тачки Л(2; 3; — 1), 857. Даны точки А (1; 2; О), В(З; 0; — 3) и С(5; 2; 6).
Вычислить пльоьщадь треугольника АВС. 858. Даны вершины треугольника А (1; — 1; 2), В(51 — 6; 2) н С(1; 3; — 1), Вычислить длину его высоты, опущенной из вершины В на сторону АС. 859. Вычислить синус угга, образованного векторами а = (2; — 2; Ц и Ь =(2; 3; 6).
860. Вектор х, перпендикулярный к векторам а =(4; — 2; -3) и Ь=(0; 1; 3), образует с осью Оу тупой угол. Зная, что ] х [= 26, найти ега координаты. 861. Вектор т, перпендикулярный к оси Ог и к вектору а=(8; -15; 3), образует острый угол с осью Ох. Зная, что [т]=51, найти его координаты. 862. Найти вектор х, зная, что он перпендикулярен к векторам а=(2; — 3; 1) и Ь=(1; — 2; 3) н удовлетворяет условнкн х(»+ 21 — 7Й)=10.
') если вектор 1 изображает склу„приложенную к какой-ипбудь точке М, а вектор а идет из некоторой точка О и точку М, то вектор [аД представляет собой монсит снлы 1 относительно точки О, з 863. Доказать тождество Я+ т'-, + пз) Я + п»1+ пз) — (1,1, + т,т, + г»р )' (т»из тзп») (12п1 1»пз) + (1»тз 12т») У к а з а н и з, Воспользоваться тождеством задачи 848.
864. Даны векторы а =(2; — 3; 1), Ь =( — 3; 1; 2) н с= (1; 2; 3). Вычислить [[аЬ) с) и [а[Ьс)), й 33. Смешанное произведение трех векторов Тройкой всктороз »называются три вектора, соля укззапо, какой из нзх считается парным, какой вторым з какой третьям. Тройку векторов записывают в порядке нумерации; напрнмср.
загись Ь, Ь, с оз»»аь»згт, что всктор а счгтастся первым, Ь вЂ” вторым, с — третьим. Трой»са пгкомплакзрных векторов а, Ь, с называется правой, есзн сос.ззляюпшс гс вскторьь буд;~н прявсдскы к общак»у началу, расла.юга отса в порядка нумерация аналогично тому, как располо. жены болыпой, указательный к средний пальцы правой руки.
Если векторы а, Ь, с расположсны аналогично тому. как расголожены большой, указатгзьпыя и срсдяяй пальцы лавой рую», то тройка вть»х вс»'торов назызастся левой, Смсюаяным проззвсдсвнсм трех вскторов а, Ь, с называется число, разное вскторному прокзваданпю 1аЬ], уь»ь»ожсн»ьгьа»у скалярно па вектор с, т, е. ]аЬ] с. Инсат место тождество, [аЬ] с а [Ьс], ввиду чего для обозначсппя смесь:з»»ного произведения [аЬ] с употребляется более гростой символ: аЬс, Такач образом, аЬс =- [аЬ] с, аЬс = а [Ьс].
Сметь»з»ь»оа пгояззсденис аЬс ранка объему параллелепипеда, построснього на векторах а, Ь, с, взятому со знаком плюс, если тройка аЬс правая. со знаком минус, асля зтз тройка лазая. Если векторы а, Ь, с компланарны (н толъко в атом случае), сз»сп»анисе произвсдснпс аЬс равно пулю; иначе говоря, равенство аЬс= 0 есть необходимое и достатопьос условие комплчяарпостн вскторова, Ь, с. Еслк векторы а, Ь, с заданы своимя коордннатамя: а=(хп Уи хь], ь — (хи Ун л»1, с=(хм У.„Я»1, то сь»сшаь»»нос»»ро»»сведен»»е аЬс определястся фор»»улой Х, У, Х» .ь, — х, г, », (, » ~ Х, у, г, Напомним, что система координатных осей предполагается пра.
вой (вмссте с тем является правой и тройка векторов 1, 1, й) бч 131 865. Определять, какой является тройкз а, Ь, с (правой или левой), если 1) а=й, Ь=1, с=1; 3) а=у', Ь=], с=й; 5) а=]+ 7', Ь =1 — у, 6) а=]+у, Ь=з — /, 2) а=1, Ь=Ь, с=,«; 4) а=а+ г', Ь=,«, с =й; с с=й. 866. Векторы а, Ь, с, образующие правую тройку, взаимно перпендикулярны. Зная, что ]а]=4, ', Ь =2, ] с ] = 3, вычислить аЬс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
