Сборник задач по аналитической геометрии (946870), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Сторона ромба равна 5)/2 „две его противопо- ложные вершины с!ть точки Р(З; — 4) я Я(1; 2). Вычис- лить длину высоты этого ромба. ' ... 70. Доказать, что точки А(3; — 5), В( — 2; — 7) н С(18; 1) лежат на одной прямой. »в 71. Лаказать, что треугольник с вер|пииачн А,(!; 1), Лв(2; 3) н Л,(5; — 1) п!зямаугальный, 72. Доказать, чта точки А(2; 2), В( — 1; 5), С( — 5; 3) н Р( — 2', — 1) являются вершинами квадрата. 73. Определить, есть ли среди внутренних углов треугольника с вершинами М~(1; 1), Ма(0; 2) и Ма(2; — 1) тупой угол. 74.
Доказать, чта все внутреннис углы треугольника с вершинами М( — 1; 3), Л'(1; 2) н Р(О; 4) острые. 75. Вершины треугольника суть точки А(5; 0), В(0; 1) и С(3; 3). Вычислить его внутренние углы. 76. Вершины треугольника суть точки А( — 'у'3; 1), В(0; 2) и С(-2)т 3; 2). Вычислить его внешний угол при вершине Л. 77. На аси абсцисс найти такую точку М, расстояние которой до тачки Ф(2; — 3) равнялось бы 5.
78. На аси ординат найти такую тачку М, расстояние которой да точки Л'( — 8; 13) равнялось бы 17, 79, Даны две точки М(2; 2) и Л'(5; — 2); на осн абсцисс найти такую точку Р, чтобы угол МРИ был прямым. 80. Через точку А(4; 2) проведена окружность, касающаяся обеих координатных осей. Определить ее центр С и радиус Р. 81. Через тачку Мт(1; — 2) проведена окружность радиуса 5, касщощаяся оси Ох, Определить центр С окружности. 82.
Определить координаты точки Ма, симметричноп тачке М,(1; 2) относительно прямой, проходящей через тачки Л (1; 0) и В( — 1; — 2). 83. Даны две противоположные вершины квадрата А(3; 0) и С( — 4; 1). Найти две его другие вершины. 84. Даны две смежные вершины квадрата А(2; — 1) н В( — 1; 3). Определить две его другие вершины. 85. Даны вершины треугольника М1( — 3; 6):, Ма(9; — ! 0) и Мв( — 5; 4).
Определить центр С и радиус !т описанного около этого треугольника круга. 9 5. Деление отрезка в данном отношении Если точка М(х;у) лежит на прямой, проходящей через дае данные тачки М~(хп У1), Мт(хм Ув), н дано отнощенне Х вЂ” лт1.-,, М~М М31; в котором точка М делит отрезок М,Мв, то координаты точки 'М 16 ;,:",~':;::;(Определяются яо формулам х, +Ххв у|+дуя — у ! -~-х ' (+х асан точка М является серещпюн отрезка М;Мь то ее коордннвтв1 ," определяются по формулам х, + х, у, + у, х==', у 2 86.
Ланы концы А(3; — 5) и В( — 1; 1) однородного ', '-'стержня. Определить координать1 его центра тяжести. 87. Центр тяжести однородного стержня находится в'"тачке М(1; 4), один из его концов в точке Р( — 2; 2). Определить координаты точки Я другого конца этого стержня 88. Даны вершины треугольника А(1; — 3), В(3; — 5) й С( — 5; 7).
Определить середины ега сторон. 89. Даны две точки А(3; — 1) и В(2; 1). Определить 1) координаты точки М, симметричной точке А относительно точки В; 2) координаты точки Л(, симметричной тачке В относительно точки А 90. Точки М(2; — 1), Л)( — 1; 4) и Р( — 2; 2) являются :;серединами сторон треугольника. Определить его вер- '91. Даны три вершины параллелограмма А(3; — 5), В(5; — 3)„С( — 1; 3). Определить четвертую вершину Р, ,;Противоположн)ча В. 92.
Даны две смежные вершины параллелограмма 'А(-.3; 5), В(1; 7) и точка пересечения его диагоналей "М(1; 1). Определить две другие вершины. ', -: ',93. Ланы три верпшны А(2; 3), В(4; — 1) и С(0; 5! параллелограмма ЛВСР. Найти его четвертую верши.ну Р. 94. Даны вершины трсугалышка А(1; 4), В(3; — 9), С( — 5; 2). Определить длину его медианы, проведенной вз вершины В. 95. Отрезок, ограниченнь~й тачками Л (1; — 3) н В(4; 3), разделен на три равные части. Определить ко,ординаты точек деления.
96. Даны вершины треугольника А (2; — 5), В(1; — 2), ь)(4; 7). Найти точку пересечения со стороной ЛС бис:ЙКтрисы его внутреннего угла при вершине В. !" 97. Даны вершины треугольника А(3, — 5), В( — 3; 3) и С( — 1; — 2). Определить длину биссектрисы его внутреннего угла при вершине А. 98. Даны вершины треугольника А( — 1; — 1), В(3; 5), С( — 4; 1). Найти точку пересечения с продолжением стороны ВС биссектрисы его внешнего угла при вершине А. 99. Даны вершины треугольника А(3; — 5), В(1; — 3), С(2; — 2), Определить длину биссектрисы его внешнего угла прн вершине В. 100, Даны три точки А(1; — 1), В(3; 3) и С(4," 5), лежащие на одной прямой. Определить отношение Х, в котором каждая из них делит отрезок, ограниченный двумя другими.
101. Определить координаты концов А и В отрезка, который точками Р(2; 2) и Я(11 5) разделен на три равные части. 102. Прямая проходит через точки Мз( — 12; — 13) и Мз( — 2, — 5). На этой прямой найти точку, абсцисса которой равна 3. 103. Прямая проходит через точки М(2; — 3) и Г1т( — 6; 5). На этой прямой найти точку, ордината которой р,авиа — 5.
104. Прямая проходит через точки 'А(71 — 3),и В (23; †, 6). Найти точку пересечения этсй прямой с осью абсцисс. !05. Прямая проходит через почки А (5; 2) н В( — 4; — 7). Найти точку пересечения этой прямой с осью ординат. 106. Даны вершины четырехугольника А ( — 3; 12), В(3; — 4), С(5; — 4) и В(5; 8). Определить, в каком отношении его диагональ АС делит диагональ ВВ.
107. Даны вершины четырехугольника А ( — 2; 14), В(4; — 2), С(6; — 2) и 0(6; 10). Определить точку пересечения его диагоналей АС и ВВ. 108. Даны вершины однородной треугольной пластинки А(хп уз), В(х:; уз) и С(х,; у,). Определить координаты ее центра тяжести. У н а з а н я е. Центр тяжести находятся в точке пересечения медиан. 109, Точка М пересечения медиан треугольника ле.
жнт на оси абсцисс, две вершины его — точки А(2; -3)' и В( — 5; 1), третья вершина С лежит на оси ординат. Определить координаты точек М н С, 18 310. Даны вершины однородной треугольной пластин'Ки А(хк у1), В(хз! уз) и С(хз! уз). Если соединить сере'дины ее сторон, то образуется новая однородная треугольная пласт1зпка. Доказать, что центры тяжести обеих пластинок совпадают. У н а з а н я е. Воспозьзоваться рсзудьтатом задачи 108. 111.
Однородная пластинка имеет форму квадрата со 'сторонои, раянои 12, в которой сделан квадратный вы, рез, прямые разреза проходят через центр квадрата, оси Рис, ч . координат направлены по ребрам пластинки (рнс. 4). ' 'Определить центр тяжести этой пластинки. — 1!2. Однородная пластинка имеет форму прямоуголь,;.ника со сторонами, равными а и Ь, в котором сделан "прямоугольный вырез; прямые раз. ;кьеза проходят через центр, оси колзрдинат направлены по ребрам пла. ''стинки (рнс. 5). Определить центр 'тяжести этой пластинки 113.
Однородная пластинка имеет форму квадрата со стороной, равной 2а, от которого отрезан тре- у -- з =- х .уголышк; прямая разреза соеди:няет середины двух смежных сто- Рис. б. :Ран, оси координат направлены по :='ребрам пластинки (рис. 6). Определить центр тяжести 'йластннки. 114. В следующих точках А (х;; уз), В (хз', уз) н -'Сз(хз', уз) сосредоточены массы т, п н Тп Определить :координаты центра тяжести атон системы трех масс. 115. Точки А(4; 2), В(7; — 2) и С(1; 6) являются Вершинами треугольника, сделанного нз однородной про"волоки. Определить центр тяжести этого треугольника, 1В З 6 Площадь треугольника Кзк ем бы ли биля гря га ыи А гхя у,), В(хз, уз,', с~хм уз), 1 ~х,— х, уз — у,, ! З ! хз — х, у, — у, Правая язем »;пй,,'орму,»ы розна м В в том :луя»с, когда крат чзй:ляй поворот отрезка АВ к агре»язв Аг." лало;кителся, я — Я в мзьг глузз=, .агзд такая гл ворот атр 'Паг~л:я.
116. Вычислить площадь тргуго,чьннка, нерзпинами которого являются точки; 1) А(2; — 3), В(3; 2) и С( — 2; 5); 2) М,( — 3; 2), М (5! — 2) и Мз(1; 3)! 3) М(3; — 4), Ж( — 2; 3) и !»(4; 5), 117. Вершины тр.угольника суть точки А(З; 6), В( — 1; 3) и С(2; — 1). Вычислить длину его высоты, проведенной из вершины С. 118. Определить площадь параллелограмма, три вершины которого суть то~ки А ( — 2; 3), В(4; — 5) и С( — 3; !). 119. Три вершины параллелограмма суть точки А(3; 7), В(2; — 3) и С( — 1; 4). Вычислить длину его вы* соты, опущенной из вершины В на сторону АС. 120.
Даны последовзтельиыс вершины однородной четырехугольнои пластинки А(2; !), В(5; 3), С( — 1; 7) и д( — 7; 5). Определить координаты ее центра тяжести. 121. Даны последовательные вершины однородной пятиугольной пластинки А(2; 3), В(0; 6), С( — 1; 5), О(0; 1) и Е(1; 1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
