Сборник задач по аналитической геометрии (946870), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Определить координату х ~~чк~ М„ делящс;1 От:, резок Л1,Л1ь ограниченный данными точками М1(х,) и мм~ ' Мз(ха) в данном отношении д(х = „ 11. Определить координату х середины отрезка, огрзтричеегного двумя данными точками Л!1(х1) и Мз(22). 12. Определить координату х середины отрезка, огра"; ннченпого двумя данными точками, в каждом из следующих случаев: 1) Л(З) и В(5); 2) С(-1) и 0(5); , 3) М1( — 1) и Л4 ( — 3); 4) Рз( — 5) и Р (1); 5) 1,1г(3) и ф( — 4) 13. Определить координату точки Л1, если известны'.
1) М, (3), Мз(7) и д = — ' — '= 2; 2»1(2), В( — 5) и Л= мв =3,' 3) С( — 1), .0(З) и См 4) А(-1), В(3) и Х= — = — 2; АМ 5) А(!), В(-3) и Л= — „= — 3; 6) А( — 2), В( — !) и Х= — = — — —. вм МА 2' "' 14. Даны две точки Л (5) и В( — 3). Определить: '1) координату точки М, симметричной точке А относительно точки В; ,2) координату точки Ф, симметричной точке В относительно точки А. 15. Отрезок, ограниченный тачками А ( — 2) и В(19), Разделен на три равные части.
Определить координаты точек деления. !6. Определить координаты концов А и В отрезка, который точками Р( — 25) и О( — 9) разделен на трп равиь1е части. $ 2. Декартовы прямоугольные координаты на плоскости Декартовз прямоугольная снстема координат опредвдяегся за- даннем дпвейпон едян1щм дзя пзмерення дзян я двух язвпмво перпенднхупярнмх осей, аанумеровзннмх в каком-нибудь порядке. 7 Тогоа гересечсяпя осей вазь|взется на.юзом кооркипат, а сами оси — коордннз иьыщ осями.
Первая из координатных осей казывастся осью збспгсс, а вторая — осью ордякат. 'г)ачало координат обозначается буквой О, ось абсписс — спмолом Ох, ось ординат — символом Оу Коорлпнатами произвольной точки М а задзпной системе яззывзют числа х = ОМ„у =. ОМз (рпс. )), где М, и Мз суть проскднн точки М на оси Ох и Оу, ОМ„ обозначает вещщииу отрезка ОМ, огя абспзсс, ОМ, — величину отрезка ОМя осв ординат. Число х называетса збсаассой тощи М, число у называется орляяатои атей 'ке зг точки. Символ М(х; у) обозначает, что точкз М имеет абсписсогз число х, а ор. дянзтой чщ чо у.
л Ось Оу разделяет всю плоскость ва две полуплоскостя; тз пз нях, которая расположена в положительяоч нзправлеяки ося Ох, называется тщаой, другая — левой. Точно так же ось Ох рззгу щ делает плоскость нз две полэплоскостп) 7 та из нкх, которая расположена в поло. жктельнвм пзпрзвлснии осн Оу, называется верхяей. лр)гзя инзсней. Обе коордннаткыс оси вместе раз- деляют гщоскость нз четыре четверти, которые нумеру|от по следующему правилу: первой координзтной четвертью называешься та, которая лежит одновременко в правой и в верхней пол)плоскости, второй — лежащая в левой и в верхней полуплоскости, третьей — лежащая в левой и в нижней полуплоско.
сти, четвертой — лежзгпая в правой н в нежней полуплоскости. 17. Построить точки А(2; 3), В( — 5; 1), С( — 2' — 3) В(0; 3), Е( — 5; О), Р~ — з ' з)' 18. Найти координаты проекций на ось абсцисс точек А(2; — 3), В(3; — 1), С( — 5; 1), В( — 3; — 2), Е( — 5; — 1) . '19. Найти координаты проекций на ось ординат точек А ( — 3; 2), В( — 5; 1), С(3; — 2), В( — 1; 1), Е( — 6; — 2); 20. Найти координаты точек„ симметричных относи-" тельна аси Ох точкам: 1) А (2; 3); 2) В( — 3; 2) '! 3) С( — 1) — !); 4) В( — 3; — 5); 5) Е( — 4; 6); 6) Р(а; Ь),: 21.
Найти координаты точек, симметричных относи' тельно оси Оу точкам: !) А( — 1; 2); 2) В(3; — 1))1 3) С(-2; — 2); 4) В( — 2„5); 5) Е(3; — 5); 6) Р(а; Ь), 22. Найти координаты точек, симметричных 'отноСительно начала координат точкам: 1) А (3; 3~~ 2) В(2; — 4); 3) С,(-2; 1); 4) В(5; — 3); 5) Е( — 5; -':,4)З) 6) Е(а; Ь). ;~';::... 23. Найти координаты точек, симметричных относи,тельно биссектрисы первого координатного угла точкам: 1) А(2; 3); 2) В(5; — 2); 3) С( — 3; 4). 24.
Найти координаты точек, симметричных относи .::тельно биссектрисы второго координатного угла точкам: ' 1) А(3; 5), 2) В( — 4; 3); 3) С(7; — 2) 25. Определить, в каких четвертях может быть рас. положена точка М(х; у), если: 1) ху ~ 0, 2) ху ~0; 3) х — у= — О; 4) х+у==О; 5) к+у~О; 6) х+у(0„ 7) х — у ~ 0; 8) х--у 0 9 3. Полярные координаты Полярная система координат определяется заданием иекоторо ~ 'гочкк О, называемой голюсом, луча ОА, ясходящйсго нз этой точк, нззываемого полярной осью, и часвзтзба для измерщщя длин. Кром. того, при заданье полярной системы ; '.должно быть скззаио, какие повороты ду 'вокруг точки 0 считаются положитгльнЫми (ва чертежах обычно положптель- л ::.Ными считаются повороты против часовой стрелки) сг Полярными кооодьяатзми произ,-.вольной то|ки М (относительно задан- д д аой системы) называются чнглз р=-ОМ н В =~ЛОМ (рис.
2). Угол В при атом слслует понимать так, кзк принято :в тригонометрии. Число р называется первой координатой, или по. чллриым рздкусом, число  — второй координатой, или полярным ':углом точки М (В яззывзют также ачплктудой) ч), Символ М(р„ В) обозначает, что точка М имеет полярпыс кооа:динаты р и О. Полярный угол В имеет бескокечно много вою ожпых значеьзв (отлвяззощкхся друг от друга на ветичяну влда си2лп, где в —.
ясное положгпелья;е число). Зкечгнис полярного угла. Удовлетворяющее неранено~вам — л .. В ~ +и, называется г. явным. В случаях одновременного рассмотрения декартовой п полярной систем координат условимся () пользоваться одним я тем же масштабом, 2) при определении полярных угчон считать положктальнымя повороты в том направление, в каком счедует 'вращать Ййложительяую полуось абсцисс, чтобы кратчайшим путем сеанс. Мить ее с положительной полуосью ординат ( аким ооразом, сслк Юсн дскзртоаой системы яаходятся в обычном расположгнлп, г. е.
бсь, Ох направлена вправо, з ось Оу — вверх, то я отсчет полярных ') Здесь ОМ обозначает д л и н у отрезка, гюнпмаемую как в акементарной геометрии (т. е. абсолютно, без у.чета зкакз), ъпотребчять более громоздкий самвел ) Ом( а данном случае нет надой. ности, поскольку точки 0 я М рассматриваются как произвольные тички пзощгости, з ке-как точки некоторой осп.
Подобное упроюеийе гиыволпкн в аналогичных случаях часто делается и'дальше углов даежен быгь обыяйым, т, е. 1юложптстьвыип следует с сигать те у1 .и, катары ачс ятывахэтгя гротнв 1асавок строчки). прп атом колоски, сслк полюс паляр1юь сист1 мы каордкнат сс1звьлчст - качалок л хартовых првкоуго.юных координат, а галяриая ась совпадает с го-ажя елькси павуссыа абсйнсс, то пере-, ход от полярных координат пранзвалькав точки к декартовым координатам тси ке тачки осутнегтвлястся па формулам х= — рсаав, у=ра!11О. В атом лее слу 1ае формулы д р=-'Г'ля+и', !КО=— являются фармуламк версхода от декартовых координат к по ляраым. Гури одновременном рассмотрении в дальиеыпем двух полярных систем координат условимся гчктать направление положительных поворотов и масштаб для обеих систем одинаковыми.
26. Построить точки, заданные полярными координатами: А (3! ~), В(2; тх)1 С(З; 4), Р(4; 3 7), Е(5; 2) и Г(1! — 1) (для точек Р, Е и Р выполнить построение приближенно, пользуясь транспортиром), 27. Определить полярные координаты точек, симметричных относительно полярной оси точкам М!(3; 4), М, (2; — ф), Ма (3; — — "), Ма(1; 2) и Ма(5; — 1), заданным в полярной системе координат. 28. Определить полярные координаты точек, сим. метричных относительно полюса точкам М!(1; †), Ма(5! а)' М"2' З)' М4(4' О х!) " М~(3' 2)' данным в полярной системе координат.
29. В полярной системе координат даны две вершины А !3! — — тт! и В(5; — ех) параллелограмма ЛВСР 1 точка пересечения диагоналей которого совпадает с полюсом, Определить две другие вершины этого параллелограмма. 30. В полярной системе координат даны точки Л (8; — -5-и) и В 6; 5-), Вычислить полярные коордн. наты середины отрезка, соединяющего точки А и В.
31. В полярной системе координат даны точки А (3! О)1 В (2! — 4), С(1; хх)1 Р(5! — 4 и), Е(З; 2) н !О :"-'Г(2! — 1). Положительное направление полярной осн ш, 'менено па противоположное. Определить полярные ко',ординаты заданных то чек в новой системе. 32. В полярной системе координат даны точки „, М! (3; -З), Ма(11 З тг) ™з(2; 0), М4 (5; 4) Мз(З; — З гх! !! 'н М,(1; —,и). Полярная ось повернута так, что в но:вом положении она проходит через точку М,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
