Сборник задач по аналитической геометрии (946870), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Точка М, (хб д„г,) лежит иа сфере (х — а)2 '- +(у — <1)2+ (г — у)2 = «2. Составить уравнение касательйпй' плоскости к этой сфере в точке М,. 1114, Через точки пересечения прямой «= 3! — 5, 1)='5! — 11, г=-4!+ 9 и сферы (х+ 2)2-<-(у — 1)2-!- '+(г+ 5)2=49 проведены касательнь|е плоскости к этой сфере. Составить нх уравнения.
1115, Составить уравнения плоскостей, касательных к< сфере хэ+ уэ+ ге= 9 и параллельных плоскости х+ +2у — 2г + 15 =- О 1116. Составить уравнения плоскостей, касательных . к:сфере (х — 3)2+ (и+ 2)2+ (г — 1)' = 25 н параллельных плоскости 4х+ Зг — !7 = О. 1117, Составить уравнения плоскостей, касательных и- сфере х'+у'+г' — 10х+2д+26г — 113=0 и параллель«+6 у — ! 2+!3 х-1-7 д-(- ! г — 8 х прямым— !69 1118. Доказать, что через прямую бх — 11у + 8г — 30 = О, х — у — 2г= О можно провести две плоскости, касательные к сфере хт+ ут+ г'+ 2х — бу+ 4г — 15= О, я составить ях уравнения. 1119. Доказать, что через прямую =у+3 г+1 к+6 нельзя провести плоскость, касательную к сфере х'+уз+ +гт — 4х+ 2у — 4г+ 4 =О.
1128. Доказать, что через прямую х=41+4, у= =31+1, г=(+ 1 можно провести только одну плоскость, касательную к сфере х'+у-'+г' — 2х+бу+ + 2г + 8 = О, н составить ее уравнение, й 46. Уравнения плоскости, примой и сферы в векторной символике В дальнейшем снмвол М (») означает, что» есть радиус-вектор тсчкн М. 1121. Составить уравнение плоскости а, которая проходит через точку Мз(»о) и имеет нормальный вектор и. Решен не '). Пусть М(») — проязвольная точка. Она лежит в плоскости о в том н только в том случае, когда вектор МьМ перпенднкулярен к я.
Првзнаком перпенднкулярвостя векторов является равенство нулю нх скалярного произведения. Таким образом, М,М л я в том н только в том случае, когда М,М ° я О. (1) Выраэнм вектор М,М через радяусы.векторы его ковда н начала: МьМ = » — »а. Отсюда н кз (1) находим: (» — »О) я=о. Это есть уравнснве плоскости а в векторной символике, ему удовлетворяет радиус-вектор» точки М в том н только в том случае, когда М лежит на и:юскоств в [» называется текушнм радвусомвектором уравяеняя (2)], 1122, Доказать, что уравнение ги+ 0= 0 определяет плоскость, перпендикулярную к вектору и.
Написать ') Задача 1121 я 112Э существенны для правнльного поннмаван задач этого параграфа, Йх решення прнводятся в тексте, 17О :-:;;:,;:-':;:."равнение этой плоскости в координатах при условии, :;-'-'-,.:;,.;-.-::„-:](„и = (А, В, С) 1123. даны единичный вектор ио и число р) О. до;".;,';,:!:":,~низать, что уравнение »и' — р = О определяет плоскость, нэврпендикулярную к вектору и", н что р есть расстояние ;,!:::;;,:'От.''начала координат до плоскости.
Написать уравнение ;.:',.'втпгй плоскости в координатах при условии, что век'.:!','-'Тор и' образует с координатными осями углы а, [) и у. 1124. Вычислить расстояние »7 от точки М, (»,) до пло. ::.'Уекгости»из — р=О. Выразить расстояние гт' также в кочу:;;,:;;-'Оурдннатах при условии, что»; = (х;.; у,,; г,), ис = :.';:,!= м=(СОЗО; СОЗР; Сову). 1126 Даны две точки М,(»1) и М,(») Со тавить ураВнеиие плОскости кОтОрая проходит через точку М :,',;ПВРпендикулярно к вектору М~Мг Написать уравнение . †'=1 этой плоскости также в координатах при условии, что ; —,.'-"-'»14=':(х„; уб гг), »,=(х,; у,; гз).
1126. Составить уравнение плоскости, которая про. ,:,:,:;::=;ходят через точку М,(»,) параллельно векторам а, и а,. ,,'=';,:,Цацисать уравнение этой плоскости также в коорднна- ,."!!~. ч)ах "пуи условии, что»о=(хо', уо) га), а~=(18 лт1, и~), .:.-,:;,:,ла,-„,:. (1',; ги;, и,). ::1('. 41х27.
Составить уравнение плоскости, проходяшей .:;,.: ченвэ три точки М~ (»1), М.(»,) и М,(»з). Написать урав:: '- нение,этой плоскости также в координатах при условии, йщ,-.'ит — (х11 Уб гД, Гт =(хт) Уз) гх), т'э = (хэ) Уз) гз) '-,'-;~;";::.!:"-'.;-:::::2128. Составить уравнение плоскости, которая про.;„;- д(тдэит::через точку М,(»в) перпендикулярно к плоскостям: "1Иг+ В1 = О, »из+.Ох = О.
Написать уравнение эгон .,:";ФФОекости также в координатах при условии, что»„= )ма(ХЭ[,:уо, го); иг=(АО Вб С), ит=(А,; В;, С,). ',',,;,'- к1$9. Доказать, что уравненйте ((» — »о)а]=О опре. :,;:ДФляйт прямую, которая проходит через точку Мо(»о) ; - Параллельно вектору а, т. е. что этому уравнению удо' =;::.:,Флеэтворяет радиус-вектор» точки М(») в том и только ',,::-НН::::.:тт)м случае, когда М лежит на указанной прямой. .„а';,,"-Дон аз а тед ьст в о. Рассмотрям провэвольную точку М(»).
,'.,'-",. усто » удовлетворяет данному уразвевшо; по правнлу тычнтаняя '„,":Вснтоуо⻠— т; М,М: так как [(» — »з)а] =О, то [МчМп] =О: слало едойательно,вектор М,М коллнпеареп вектору а. Значат, точка М г"~ д<всеэвнтельяо люкнт нз прямой, которая проходят через 'М ввьч'Ченян , з на",.;...', „вев вектора я. Обратно, пусть М леэхядт на втой прямой. ':"""э,,'аогйа МзМ коллвнгарен л. Следовательно, [МчМа] =-О; яо ЙМ=— 1:.-~У з' т'з1 отсюда [(» — »а) а] = О. Итак, заданному уравпенпээ 171 удовлетворяет радиус-всктор « точки М в том и только в том случее, когде .М лежит на указанной прямой 1« называется текущкм радиус-вектором уравнения). 1130. Доказать, что уравнение («а] = т определяет прямую, параллельную вектору а, 1131.
Доказать, что параметрическое уравнение « =«о + а1, где 1 — переменный параметр, определяет прямую, которая проходит через точку М,(«,) (т. е. грн изменении 1 точка М(«) движется по указанной прямой). Написать в координатах канонические уравнения этой прямой при условии, что «,=(х„; у,; г,), а=(1; т; гт). 1132. Прямая проходит через две точки: Л1, («,) и М («г . Составить ее уравнения в виде, указанном в задачах 1129, 1130, 1131.
1133. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М, («,) перпендикулярно к прямой « = «, — ад Написать уравнение этой плоскости также в координатах при условии, что «, =(х,; у;; г), а=(В т; и). 1134. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М,(«,) параллельно прямым («а,] = т„ («ае] = т,. 1135.
Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М, («о) перпендикулярно к плоскостям «и, + ХЭ; = О, «пз+ Ве = О. 1136, Прямая проходит через точку Мо(«о) перпендикулярно к плоскости «и+.0=0. Составить ее уравнение в параметрическом виде. Написать каноническое уравнение этой прямой в координатах при условии, что «,=(х,; уо, го), и =(А; В; С». 1137. Прямая проходит через точку Чо(«о) параллельно плоскостям «п, + 17, = О, «по + гОз О. Составить ее уравкенис в параметрическом аиде.
Написать каноническое уравнение этой прямой в координатах при условии, что «...=(х„; уо; го),и,* (А,; В,; С ), п, (А,; В;, Се). 1138. Вьщссти условие, при котором прямая « = =«о+ а1 лежит на плоскости «и + В = О. Написать это условие также в координатах прн условии, что «о-—— (х;.; д,; го), а =. (1; т; и), и=(А; В; С). 1130. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую « =- «„+ а,1 параллельно прямой («аз]=т, 1140.
Вывести условие, при котором две прямые « = «г + а,1 и « =«з+ а,т лежат в одной плоскости. 1141. Найти радиус-вектор точки пересечения прямой «=«о-,'-ат и плоскости «и+В=О. Вычислить также 172 'моордннаты х, у, г точки пересечения при условии, что :::;:,': '«й~=(хо" уо' го) а=(1; т; и), п=(А; В; С). 1142. Йайти радиус-вектор проекции М, («,) на пло- '-,.-. в(спеть «п+ 17 О. Вычислить также координаты х, у, г ,:; " ' Вт(зй проекции прн условии, что «, (х,; у,; г1), и=(А; В; С).
!143. Найти радиус-вектор проекции точки М, («,) на "' -, прямую ««,+а1. Вычислить также координаты х, у, г втой проекции при условии, что «,=(х,; д,; гг), «о :;,"-' ' (хо1 д,; го», а=(1; т; и). !144. Вычислить расстояние с( точки гИ,(«,) от пряМой « = «о+ ад ВыРазить РасстоЯние 4 также в ко'ординатах при условии, что «, (х,; у,; г,), «, (х,; уо; го), ,':-:, а, (1; т; п).
1145. Вычислить кратчайшее расстояние с( между двумя скрещивщощимися прямыми: ««, +а,1 и « «о+а,1. Выразить расстояние с( также в координатах йрн условии, что «, =(.,; у,; г1), =(х; у;, г:), а1 =(15 ггг и:) аг~((з1 гпг1 пг) 1146. Доказать, что уравнение (« — «,)г = Рз определяет сферу с центром С(«о) и радиусом, равным '(т, е. что этому уравнению удовлетворяет радиус- вектор «точки М в том и только в том случае, когда М ,нежит на указанной сфере) 1147.
Найти радиус. векторы точек пересечения прямой «=а1 и сферы «з=Р'. Вычислить также координаты дочек пересечения при условии, что а=((; т„и). 3146. Найти радиусы-векторы точек пересечения прямой « = «, + а1 и сферы (« — «о)' Ж Вычислить также ксзординаты точек пересечения при условии, что «,= а)е(хо' до', го) а =(1; т; и). !149. Точка М,(«,) лежит на сфере (« — «о)г=)7'.
Составить уравнение касательной плоскости к этой буфере в точке М,. 1150. Составить уравнение сферы, которая имеет ментр С(«;) и касается плоскости «п+.0 =0. Написать . ' "";уравнение этой сферы также в координатах при условии, что «, =(х,; у,; г,), и =(А; В; С). !151, Составить уравнения плоскостей, касательных к.сфере «' Вз и параллельных плоскости «и+ 6=0. Написать уравнения этих плоскостей также в коорди„г, натах при условии, что п = (А; В; С), 173 ",*„~~;.~~,'!-::йтяяврбб Рис. 48 Рнс, 49 Ряс. 47. х" у' — — — = 2з, Р (б) л! уз — +— а' Ь' хз у' — + — з а' Ьз (2) 1152.
Через точки пересечения прямой г = ге+ а( н сферы (г — ге)з = гсз проведены касательные плоскости к этой сфере, Составить нх уравнения. Написать уравнения этих плоскостей также в координатах при уело. вин, что го (х,; уз, ге), а=((; пз; гз). 5 46. Поверхности второго порядка Зллипсоидозг называется поверхность, которая в некоторои с! стене декартовых прямоугольных координат определяется урави инеи ( Уравнение (!) называется канона !еским уравнением эллипсоазз, Величины а, Ь, с суть полуоси зллигсоида (рпс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
