Сборник задач по аналитической геометрии (946870), страница 31
Текст из файла (страница 31)
47). Если все ояя различны, эллипсоид называется трехоснь!м; в случае, когда какиенибущь две из них одинаковы, эллипсоид является поверхностью вращения. Если, например, а Ь, то осью вращения будет Оз, Прн а =- Ь < с эллипсоид вращения называется вытянутым, при а=Ь>с— сжатым. В случае, когда а=Ь с, эллипсоид представляет собой сферу. Гиперболоидами называются поверхности, которые в некоторой системе декартовых прямоугольных координат определяются уравнениями: Гиперболоид, определяемый уравнением (2), называется одно.
и<местным (рис. 48); гиперболоид, ог!ределяемый уравневяем (3),— дзухдолостны,! (рис. 49); уравнения (2) н (3) называются каноническими уравнениями соответствующих гиперболоидов. Величины а, Ь, с 174 тся полуосямн гиперболоида. В случае однополостного гн. ида, заданного уравнением (2), только первые нз них (а и Ь) ы на рис. 48. В случае двухполостяого гиперболоида, заданавненнем (3), одна из яих (именно, с) показана на рис.
49. лоиды, определяемые уравне- (2) и (3) при а Ь являются г остями вращения. ':,.ю:."...";.Параболоидами называются поверхности, которые в некоторой '";уябтем»е декартовых прямоугольных коордннйт опредбляются уран» лз уз — + — 2я, Р У (4) " „.'Уде Рэн У вЂ” положительные числа, называемые паРаметРами паРа:;" ,бввряд»я. параболоид, определяемый уравнением (4), называется .",;.
*Фкяйп»тическим (рис. 50)! параболонд, определяемый уравнением (5),— ;»,Гярйрболззческнм (рис. 61). уравнения (4) и (о) называют каноннче'ф)яйя уравнениями соответствующих параболоидов. В слу !ае, когда '."::-Ф'»!й",у»' параболоид, определяемый уравнением (4), является поверх '. "'знбетью вращения (вокруг Оз). Рассмотрим теперь преобразование !ространства, которое на.!ы;-... !увитая,равномерныз! сжатием (или равномерным растяжещем).
Выберем каку!о.нибудь плоскость; обозьачим ег буквой а. За,:;.:-.,Ладам! кроме того, некоторое по;!олглтельное число д, Пусть М- 178 , '«~~~~~:(х'; у'; г') !..::;-':4у)чки М. Та „:1,—,;;.)йг). х' х, у' ""-„',""!дат.пдоскост2 ' "-; ~~умсггбженио Таким о с х=х,у"=у,г х=х', у=-у', г= — г' (6) Рис. 66 Рлс. 51.
равнение кото- и гипероолкче. ояи состоят кз образуюшими произвольная точка пространства, не леигашая нз плоскости а, М,— основание перпендикуляра. опушенного на глоскость а из точки М Переместим точку М по прямой ММ; а нооое положение М' так, чтобы кмело место равенство МСМ =Ч'М2М и чтобы после перемешения точка осталась с той же стороны от плоскости а, где оиа была первоначальяо (рве. бс).
Точно тах же мы поступям со всеми точками пространстве, ис лежашнмя иа плоскости а; точки, которые расположены на плоскости а, оставим яа своих местах. Таким образом, все точки прострапстза, .а исключением тех, что лежат яа плоскости а, переместится; при этом расстояние каждой точкк от плоскости а измеиитса и некоторое определенное число раз, обшее для всех точек. Описываемое сей~во пе- ремсшеипе точек пространства 1 называется его реваомервым ежа(й( ткем к плоскости а; чвс.чо у носат название коэффициента сжатия. Пусть даяа некоторая поверх- 1М, ность г"; пря равномерном сжатии пространства точки, иоторые ее составляют, пергместятся и в новых положевиях составят позер: ° ность г"'.
Будем гоаорвтгь что поверхность у' получена из г" в результате равномериого сжатия пространства. Оказывзется, что мвогие поверхкоств второго порядка (все, кроме гнперболического параоолоказ) можно получить в результате равномерного сжатия из псзерхвостея вращения. Пример. Доказать, что гроизвольиыи трсхос22ь2й эллипсоид хе у' — + — + —., ="1 а' Ьз ст может быть получен из сФеры ка + уз + г' = а' 176 е двух последовательных равномерных сжатий простординатным плоскостям: к плоскости Оху с коэффициеис д2= — и к плоскости Охг с коэффициентом сжатие а а т е л ь с т з о. Пусть прояззодится равномерное сжатне а к плоскостнз Оху с козффвциеятом у — и пусть С вЂ точ„ в которую гсреходит пра этом точка М (х; у: г).
ордииаты х', у, точки М' через координаты х, у, г к как прямав ММ' перпендикулярна к плоскости Оху, = у. С другой сторояы, так кзк расстояние от точки М' г Оху равно расстоянию от точки М до этой плоскости, С С му на число у, = —, то у =- — г. бравом, мы получаем искомые выражения: :,,""'Щ)едположим, что М(х; у; г) — пров2чольвая точка сферы х2+ и2+ гз =-- а". ,„,-2" мнгвегинм здесь х, у, г их Вырачывяями (7); мы получим, л а' л к +гу + — ег =с", Се 2 ,2 ,2 к и' г' — + — + —; = 1.
а2 а2 сз .'Пд)дпвательно, точка М (х'; у", г') лежат иа злляпсомдс врац:ения. ;".,'.,',4Щ2)огично, мы должны осушествить сжатие гростраисгвз к пло. -;="' «Йбустк Охг по фар аулам. а .'-' зг(Гдй получим трехосиыя эллипсоид и ямсяяо тот. у ,"-;йгд)гага,дано в условии задача :.,";."-''.Отметим егце, что однополостиый гиперболонд :"; 3Щкйу караболоид суть лвневчатые поверхвостк, т. е '::,:ийизйых; эти прямые казывюотся прямолзпсйиымя !'.~,,"."йчгазаиных поверхностей Однополостный гиперболоид Х2 у2 г2 аз+ Ьз сг имеет дзе системы прямолинейных образую:лих, которьге опреде лаются урааиениямлг а ( — + — ) =Р(! + — ), ~ а (-+ -) =у(1 — — ), Я „(, Хь) (Р( ) „(+У) где а и 6 — яекоторыс числа, ие равные одиозремснно нулю. Ггг.
перболкческий параболоид уг — — — =2» Р у также имеет две системы прямолинейных образующих, которые определяются ураанениями: а( — +=) 2р», а (=- У ) =25», Конической поверхностью, или конусом, назыаается лоаерхность, которая описывается движущейся прямой (образующей) при условии, что ата прямая проходит через постоянную точку Я и пересекает некоторую определенную линию 7..
Точка 3 называется лершиной конуса; линия 5 — направляющей. Цилиндрической поверхностью, ипи цилиндром, назыаается ло. иерхность, которая опясыаается даижущейся прямой (образующей) лри условии, что ата прямая имеет постоянное налрааление н пере. секает некоторую определенную лилию Ь (яапрааляющую). 1153. Установить, что плоскость х — 2 = 0 пересекает »г у' »' эллипсоид 18 +-(й + 4 1 по эллипсу; найти его полуоси и вершины. 1154. Установить, что плоскость г+ 1 = 0 пересекает уг»г однополостный гиперболоид . — — + — = 1 по пипер« 32 18 2 боле; найти ее полуоси и вершины. 1155.
Установить, что плоскость у + 6 = 0 пересекает хг у' гиперболический параболоид — — — = бг по параболе; найти ее параметр и вершину. 1156. Найти уравнения проекций на координатные плоскости сечения эллиптического параболоида уз+ гз=х плоскостью х + 2у — г = О. 1157. Установить, какая линия является сечением х' уг »' эллипсоида —,+ — + — =1 плоскостью 2х — Зр+4г- 12 4 3 — 11=0, и найти ее центр. 178 Установить, какая линия является сечением ического параболоида — — — = у плоскостью 3 + 4г+ 2=0, и найти ее центр. Установить, какие линии определяются слеп уравнениями: -;~йг,';;~йгпербол ',:;:,:;,:'::::::::::эг ( ':,:~;::й.
найти :;-::-'::::;:;.::.: 4160. .',:";".~+ тг :;; „'.::у+ уз ;-';,,:;;" 1161. .;;.';ф:+ тг/ .,",-т';...,2 3 ':":".'9 4 :;:.''т.":;:",,5х — 2р 1163. :,:~;":3 4 :::,ркостью 1164, ,"."®меет од ,:,-''и найти ';::::;,'.:-:: 1165 "; "х.—. 2у 1166 зйярной ,:!щческо 1167 --.й„-гй — + —,=2г хг у' 3 б Зх — у + 6г — 14 = — О; 1 х — 2у+ 2 =0; х . и .4 9 38 9х — бу+ 2г — 28 О, 1.
. Составить уравнение плоскости, перпендикук вектору п=(2; — 1; — 2) и касающейся эллнпл' го параболоида 3 + Я4- = 2г. , Провести касательные плоскости к эллипсоиду ут -)- Згг = 1 параллельно плоскости х — 2у + 179 центр каждои из них. Установить, при каких значениях т плоскость — 1=0 пересекает двухполостный гиперболоид — гг=-1 а) по эллипсу, б) по гиперболе. Установить, при каких значениях т плоскость — 2 =О пересекает эллиптический параболоид = у а) по эллипсу, б) по параболе, Доказать, что эллиптический параболоид =2у имеет одну общую точку с плоскостью — г — 10 = 0, и найти ее координаты.
Доказать, что двухполостный гиперболоид »г — — = — 1 имеет одну общую точку и пло- 23 бх+ 2г+ 5 = О, и найти ее координаты. хг уг »г Доказать, что эллипсоид '-+ — + — = 1 81 38 9 ну общую точку с плоскостью 4х — Зу+12г — 54=0, ее координаты. , Определить, прн каком значении т плоскость кг у' — 2г+ т=О касается эллипсонда — + — -(- 144 36 +2г + 17 = О; вычислить расстояние между найденными плоскостями. 1168. Коэффицнент равномерного сжатия простран- 3 ства к плоскости Оуг равен —.
Составить уравнение по- 5 ' верхности, в которую при таком сжатии преобразуется сфера х'+ у'+ га 25. 1169. Составить уравнение поверхности, в которую хз уз х' преобразуется эллипсоид — '+ Уз + — = 1 при трех по- 54 25 15 следовательнь1х равномерных сжатиях пространства к координатным плоскостям, если коэффициент сжатия 3 к плоскости Оху равен —, к плоскости Охи равсн —,.
3 и к плоскости Оуз равсн —. 4' 1170. Определить коэффициенты д, и дз двух последовательных равномерных сжатий пространства к координатным плоскостям Оху, Охи, которые преобразуют хз у2 сферу хз + уе + гз = 25 в 'эллипсоид —, + У + — ' = 1. 4 1171. Составить уравнение поверхности, образован- у" з ной вращением эллипса †, + †,, = 1, х = О вокруг осн Од. Р е гл е я и е '), Пусть М (х; у: х) — произвольная точка пространсзаз, С вЂ” осисга:юе перпеплнкуляра, опупзекного из точка М Рис. 53. на ось Оу (рис. 53). Врапсеннсм етого перпенликуляра вокруг ася Оу ~очка М может быть.переаедена а плоскость Оух; натам располаженки обозначим ее Л) (О; у; У). Так как СМ СЛГ и СМ у хс + х', з) Задача 1171 репзена здесь как типоаая.
180 (2) радения я том м злляпсе, т.е. получаем уран. а том и толька емай паяерхиаискомое ураа- образован = О вокруг образован= О вокруг оид, опредежет быть по — =1,г=О у ного сжатия гиперболоид, 1, может гиперболы ющего равно. 1 Охи. гиперболоид, -1, может гиперболы оследующего оскостн Оха. ".;,;:".~$( ) 2), то (Е) У х" +% :;!~:,:.!~роме того, очевидно, что Г у, ,'-~:;-')!н)кка М лежит на рассматриваемой поверхности а '-: "„н.",'талька я том случае, когда У лежит яа данно :- зй)гда "';;",-":~з(ринимая ао акимание рааенстаа (1) и (2), отсюда т',,~(ение для координат точка М уз х" +з" Из прсдь;дуплета ясно, чта оио удозлетаоряется ':,;!:в"том слу|ае. когда точка М лежат на рассматрнаа -:рити ярагденяя.
С;,сдоаательио, уравнение (4) и есть -'.;йаиие зтай поясрхнастн 1172. Составить уравнение поверхности ::;ной вращением эллипса †,, + †;= 1, г х' .""'*: Феи Ох. 1175. Составить уравнение поверхности, „,.:14ой вращением гиперболы —,— —,=1, у '";;„:.;~)ви Ог, 1174. Доказать, что трехосный эллипс "-''.;.:;лнемый уравнением —, + —, + =:,. = 1, мо х' ; 2(еучен в результате вращения эллипса —,+ ",:::::;::вокруг оси Ох и последующего равномср .;;пространства к плоскости Оху.
1175. Доказать, что однополостный ' йаиределяемый уравнением †, + + — — ,, ';!;бить получен в результате вращения : и,- †,, 1, у О вокруг оси Оз и последу ',маерного сжатия пространства к плоскост1 1176. Доказать, что двухполостный х' у' х)иределяеыый уравнением —, + —, — —, аз '6ыть получен в результате вращения , р'- —,, =1, у=О вокруг осн Ог и п '-:.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
