Сборник задач по аналитической геометрии (946870), страница 33
Текст из файла (страница 33)
нты аз, Ь„с| составляют ето поаычислекяй полезно заметить, чта части рзвевс|ва (2) представляют прсделятеля, взятых по три так, рами ка нкжепркводимой схеме 1210. Найти все решении каждой из следуюн,нх си стем уравнений; члена правой исти равекствз (2), лгслеллтеля |ю трл так, как следуюжке три э|юмекгы о о,, Ь, Ь, .с, 8 3. Определители третьего порядка Пусть дала квадратная таблипа из девяти чисел аь аз, а|, Ь, Ьм Ьм с|. сз.
сз ,-,-.- 8213. )2 О 5~ '1 3 !6!. )Π— 1 10~ 2 -1 3 -2 3 2 О 2 5 Олределвтелем третье|го порядка, соответствую|дим таблиде (1), называется ~испо, обозначаемое слмволоы $215. 2 1 0 1 0 3 О 5 — 1| 1216. О а а а О а а а 0 ! а, Ь, с, аз Ь, с| Ьз сз 188 189 1) Зх — 2У+ 5г = — О, х+ 2у — Зг=О; 3) Х вЂ” Зу+ 2х — Оу+ Зг=О; 5) Зх — 2у+ г=-О, х+ 2У вЂ” Зг=О; 7) ( х+2у — г=О '( Зх — 5У+ 2г =-.0; О) х+ Зу — г=О, 5х — Зу+ г = О' 11) !' ах+ 2ув '1 2Х+ Ьу- За=О; 2)~ Зх — 2У+ г= 0, ! Ох — 4у+ Зг =-0; 4) Зх — 2у + г =- О, х+ 2У вЂ” г= О; 6 2х — у — 2г=-О, х — 5у+ 2г=-0; 3) Зх — 5у+ г =-О, х+ 2у — г —. 0; 10) ах+ ((-)- х — ум хг=-0; 12) ~ х — Зу + аг =- О, '( Ьх+ 6У вЂ” г=-О. .':;:."~~,",!)м::определяемое раве- ,„:,:"'...„":~, Вй: Ьз с| а|Ь|с ,!„.:";,".-';„::"(ли|ела ао а,, аз, Ь!, ',"„',;,*,::.$5щ~ую дкагояаль, Д ",;*„'„'-')",тффвые трв слагаем ;го.:":,".-',.'е))бой произведения !:т;.!,',Мйк., показано разлк Чтобы полу|ить ',,"("Мужно перет|ложять ,' >,„Наказано (раза(|чкым|( лункткрами ка той жс схсзю справа, посла - ';',.з(его у каждого ив найденных произведений изменять знак.
В задачах 1211-1216 требуется вычислить опреде:...'|йптели третьего порядка. $211. 3 — 2 1 | 1212,,' 1 2 Π— 2 1 3|. |О 1 3 ! 2 0 — 2) )5 0 †! ф 4. Свойства определителей Свойство 1, Величина определителя пе язмеиится, если все его строки заменить столбцами, пРичем каждую строку ззменкть столбцом с тем же номером, т.
е, ! а! Ь! с, а, аз аз а Ь с = Ь, Ь Ь аз Ьз с! с! сз сз ! а,. Ь! с! ) а! с! Ь! ! а, Ь„ с, ) .= — аз с, Ь, !. аз Ьз сз ) аз сз Ьз 1 С в с й с т в о 3, Если определитель имеет два одюшкочых столбца плн две одю!аковые с!роки, то он равен нулю. С в о й с т в о 4. Уз!поженив всех элеъзентов одного стопова иля одной строки определителя ив любое число й равиосилы!о умножекию определителя нз это число Ь. Нюзример, ! Ьа, Ь! с ~ а, Ь; с, Ьаз Ьз с. — Ь аз Ь, сз Ьаз Ь, сз 1 аз Ьз сз С в о й от в о 5. Если все элементы некоторого столбца нля некоторой строки равны нулю, то сам определитель равен кулю.
Это свойство есть частный случай предыдущего 1при 6 =0). С в о й с т в о б. Если соответствующие элементы двух столбцов или двух строк определителя пропорциональны, то огределитель равен нулю. Сзв о й с т в о 7. Если каждый элемент и-го столбца или и-й строки определителя представляет собой сумму двух слагаемых, то определнтель мажет быть представлен в виде суммы двух определителей, из которых один в и-м столбце, нлн соответственно и и-й строке, имеет первые из упомянутых слагаемых, а другой — вторые; элементы, стояшяе на остальных местах, у всех трех определителей одни и те же.
Например, ! гl а!+а! .Ьз сз аз + аз Ьз сз I а а а.!+ аз Ьз сз а аг Ьз с! а аз Ьз а аз 6з сз а1 Ь! сг аз Ьз сз ! аз Ьв сз с в о и с т в о О, если к влемеатам некоторого столбца 1или некоторой строки) прибавить соответствуюпгне элементы дРугого столбца (илн другой строки), умноженные йа любой общий миожи. 190 С в о и от в о 9 Перестановка двух столбцов или двух строк определителя равяосвльна умножению его вз -1. Например, не изчепнтся.
Напрямер, и; то величина определителя прч этом а, + ЬЬ! Ь, с, ~ а, ~ а, + /гьз Ь, сз аз Ф:-", ~ аз+ йьз Ьз сз аз ';-;~~.;-~~!!!'::"'Дальнейшие свойства определителей ,:-:~-„"!-"-".;,~йческого дополнения и минора. Мино ~!.:.*~'"-,"~йи)язвается определитель, получаемый и 1:;,;'з!~й~иия строки и столбца, яа пересечен ,',,".„:!','йз~!:Рт. элемент. ,'~~я."',"-:;:!:,'-;,''Алгебраическое дополнение любого ,;:у!зг:.'~;,.уэиняется минору этого влсмента, взято ;!--";-,;;4)гмма номеров строки и столбца, на п ,к)Р,,"!!:."прложен элемент, есть число четное, н ,~ ~г~ррь число нечетное. :;",'='-"",,;:!!~'.:.'Алгебраическое дополнение элемента ;:"-'=".,'Рй)зльшой буквой того же наименования и ',.'~;:,.',:::Ффсиа, которой обозначен сам элемент.
С в о й с т в о 9. Определитель а, Ь! с! и= аз Ьз с, аз Ьз сз ;~~~!~)~язви сумме произведений элементов к „';ЗУ':,.:.",:.',:зароки) на их алгебраические дополнения. Иначе говоря, имеют место следующи а а,А, + а,А„+ азА„а = азА а = Ь!В! + ЬзВз + 6зВз а *= азА а с,Сз+ сзСз+ сзСз а азА ",!;":,:-'Д В задачах 1217 в 1222 требуется г-"',зрителей, доказать справедлнвост связаны с понятием алгером некоторого элемента з данного путем вычерки. ии которых расположен влемента определителя му со своим знаком, если ересеченни которых расс обратвым зиахом, если мы будем обозначать тем же номером, что и акого.либо столбца 1или е равенства: ! + ЬзВ! + с,Си 3 + ЬзВз + сзСз~ з + ЬзВз+ сзСз.
, ие раскрывая опре- ь равенств. 1217 3 2 1 — 2 3 2 4 б 3 3 2 7 — 2 3 — 2 4 б 11 —. '",;-':." Указа ни е. Воспользоваться свойшвом В. 1218. 1 — 2 3 — 2 1 — б 3 2 7 1 О О1 — 2 -3 1 3 8 — 2 191 : '1223. Определители, данные в задачах 1223-122т, аИ1Льзуись свойством 8, преобразовать так, чтобы в ка- ф~м либо столбце (или строке) определителя два злемента азеиплзи равными нулю, а затем вычислить каждый из них, 1(10сдользовавшнсь свойством 9. ., )5 задачах 1229 †12 требуется вычислить опре- фзнтели, 1231. х р з ха р' гз хз д зз 1232. а Ь с а с ;;, 1233. Доказать справедливость равенств: 1 5!па 5!и а 1 51п 0 5!из 3 1 51п у 5!Пз у 1222, Π— а — Ь а Π— с =О.
з!и (а — р! ьзь(5 — у! з:и (у — о) 1дза 1д-"5 1дзу ";ф~„, ~ 1„-';:~;:~!,';:,'-',, 1234,. Решить уравнения: Ь с 0 = (япз а — 5!п Щ (5!и 5 — 5!и у) (я( п у — 51п а); 1224. 1 17 — 7 — 1 13 1 1 7 1 2)~ 3 х =0;, 2 -1 ~ х+10 1 1226. 1 2 4 -2 1 -3 3 — 4 2 ,'=.'~',:.",::-';::; „',' 1 235. Решить неравенства: у;-','~",.',~'::-; 1) ~ 3 — 2 1 2) ! 2 х+ 2 1 х — 2 <1; ~! 1 ! — 1 2 — 1 (5 — 3 — ! ! — 2 >О. 1о2 (зз У к а з а в в е. Воспользоваться свойством 8. 1219.
~ а, Ьз с, ез Ь, сз ~=0. а, +аа, Ь, +аЬа с;+асс, Уха за а яе. Воспользоваться своастаама 7, 3, 6. 1220. 5Ь, + ус, Ь, ,с, ВЬз+ усз Ь. с, ОЬз+ ус, Ь, сз У я а з а п я о Воспользоваться свояствама 7 а К 1221. 5!Пз а созе а сов 2а ! з!Пз(1 соззй соз25 (=О. зппп у созе у соз 2у ! В задачах 1223--!227 требуется вычислить делители, пользуясь одним свойством 9. 1223. ! 1 1 — 1 1 — 1 1 ! — 1 1 1 1225.
(2 О 6! '1 3 16 (Π— 1 !О, 1227, 1 1 1 х у 3 1з Х р яа 0 а Ь а 0 а Ь а О 1 3 х 4 5-1 2 — 1 5 1230. 0 51п а с1д а вша 0 5!па с!да з!па 0 2 5. Решение и исследование системы трех уравнений первой степени с тремя неизвестными (а, И, с( Лз — =~аз И, гз 1 (а, Из сз ~а„Ь, с, И, Л.=-~аз Ь с,, Л„= Из !аз Ьз сз Из Л. =.С аз Ь, ст! Ьз сз., "з гз' Ь, ИН Ьз Из ,а, 1 Огр:делитель Л, составленный нз козффипнеятов прн яеи.ьсст. вых сис.емы (1), называется огредезвтелем данкой системы. Полезно заметить, что апре.елнтели Л„Лв, Лз голзчаюгся из определителя Л прн помощи азмеяь( соотзетств:яяо его первого, второго в, наконец, третьего столбов — столбпом свободных членов данной системы.
Если Л гь О, то система (1) имеет единственное решение; ояо определяется формулами Рассмотрим систему урзззеннй а,х+ Ь,у+ с,г = И,, азх-Р Ь,УП. с,г= Из (1) азх.' Ьзу+сзг==И, с неизвестными х, у, г (козффппяенты а(, Ь„..., сз и свободные члш;и И,, И„Из предположим даязымп). Введем обозначения: В задачах 1236-1243 требуется установить, что истемы уравнений имеют единственное ре(ление, и айти его 1236, х+ у — г = 36, 1237. х+ 2у+ г = — - 4, х+г — у=!3, Зх — 5у+ Зг ==1, у+г — х= 7.
2х+ 7у — г == 8. 1238. 2х — 4у+ 9г = 28, 1239. 2х+ у = 5, 7х+ Зу — 6г = — 1, х+ Зг=!6, 7х+ 9у — 9г =- 5. 5у — г =- 1О. 1240. х+у+г=36, 1241. 7х+ 2у+Зг=--)5, 2х — Зг = — 17, 5х — Зу+2г — -- 15, 6х — 5г = 7. 10х — 11у+5г=З . 1242. х+ у+ г = а, 1243.
х — у+ г=--а, х — у+г=Ь, к+у †-Ь, х+у — г=-с. у+г — х=с. 1244. Найти все решения системы с х + 2у — 4г =- 1, 2х+ у — 5г = — 1, х — у — г = — 2. Л'" Л'Л Предположим теперь, что определитель системы равен нулю; Л-.=О. Если в случае Л=О хотя бы один из определителей Л, Л, Л, отличен от нуля, то система (1) совсем н* имеет решений, В случае, когда Л=О н одновременно Л„=-О, Лв- — -О, Л,=О, системз (!) также может совсем не иметь ре(пснйй; но если система (!) при зтих условяях имеет хотя бы одно решение„то она имеет бесконечно много различных репщний. Однородной системой трех уравнений первой степени с тремя неизвестными называется система зилж с а,х+ Ь(у+ сдг = О а,х+ Иву+с,г=о а,к+ Ьзу-1-сзг=о (2) т. е, система уравнений, свободные члены которых равны нулю.
Очевидно, что такая система всегда имеет решение: х=о, у=о, г=о; оно называется нулевым. Если Л Ф О, то вто решение является единственным. Если же Л=О, то однородная система (2) имеет бесконечно много ненулевых решений, 124-. Найти все решения системы с 2х — у+ г= — 2, х+ 2у+ Зг= — 1, х — Зу — 2г = 3. 1246, Найти все решения системы Зх — у+2г=5, 2х — у — г= 2, 4х — 2у — 2г = — 3. 1247. Япределить, при каких значениях а и Ь си- тема уравнений 7 Зх — 2у+ г Ь, 5х — 8у+9г=З, 2х+ у+ах — 1 а(1,;.;:„'„' уз 1йб 1) имеет единственное решение; 2) не имеет решений; 3) имеет бесконечно много решений. 1248, Доказать, что если система уравнений ачах 1252 — 1260 требуется вычислить опречетвертого порядка.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
