Сборник задач по аналитической геометрии (946870), страница 37
Текст из файла (страница 37)
371. 2х+у — б=-о, 9х+2у+18=0. 372. Зх — у+1=0. 374. Зх — 4д+20=0, 4»+ Зу — 1б — — О. 375. х+ бу — !3 =-О, бх — у+ 13 =0. 376. Уел 1- вню задачи удовлетворжот две прямые: 7х+ у — 9 =О, 2х+ у+! =,,0 377. 5х — ду — 7 =-О. 378. АС: Зх+ Зд — 7 = !>, В)З.' Зх — Зу+ 7 =0, 379. 4х + у + 5 О х — 2у — ! О, 2х + 5у — 11 = О. 381. /л 1) рз1п(Π— О! р, рз(п~ — — 0~=3; 2) рсоа( — а)=ясона, (б рсоа(О+ — и1= 1: 3) рз!п(О-0)=аз!пО, рз!и! — — 01 3. 3 (>6 ) 382, рз1п(Π— 81=- р, з1п(Π— В,), 383. Рсоа ( — а) = Р> соз(0, — а), р Мп ( — В!) 1 р + р> — 2рр! соз(0 — В,) 384. ' " ' . 385, !) ха+уз:=9; р> з1п (Оз — 0,) )> р-,'+р>' — 2рар,. соз (Оз — О,) 2) (х — 2)".
+ (у+ 3)з =-49; 3) (х-бР+ (у+Вы = !00; 4) (х.(- 1)> 1 +(у — 2)>=25. 5) !х — !)>+(у — 4)> 3. 6) хе+у> 1б; 7) (х — 1)'+ (у+ 1)'= 4; 8) (х -2)а+ (у — 4Р =!О; 9) (х — (Р-1- + у =1 101 (. — 1>+(у — (Р =25. 386. ( — 3)'+ (д+1)>=ЗЗ. 387. (» — 4)'+ (д+ 1)е = 5 и (х — 2)з+ (у — ЗР = 5. 388. (х+ 2)>+ +(у+1)>=20.
389. (х — 5)'+(у+2Р=20 и (х — — 1 5) 22 -(- (у — — ) > 20. 390. (х — 1Р+ (д+ 2)'=-16, 391. (х+ 6)>-1- 5, +(у — 3)'=50 и (х — 29)>+(у+ 2)> 800. 392. (х — 2]'+ (у-!)'=5 ~х — — ) +(д+ — ' ==. 393. (к — ОР+(у — !Р 25 202 Р (х+ 8)е+ (у+ 7)е == —, 394.
(х — 2Р+ (у-1)' =25 и ~х+=) -1. + ~у — †) в (- г ) . 395. (х + †) + ~у + †") ~ю 1 и (х — — 1 -(- + (у — — ) 1, 396, (х — 5)е+ уз = 16, (к+ 15)>+ д> 2ог>, 7 ( — — ")'+~ — — ")'-Р) "~ - — ")'+~ + — )'-( — ")з 397. Уравнення 1), 2), 4), 5), 8) н (10) определяют окружности; 1> С(5; -2), Я=*5; 2) С(-2; 0), (с=81 3) уравнение олределяет 212 >чдннственн!ю точку (5; -2); 4) С(0;5), (7 )> об, 5) С(1; — 2), )7.=5; з(5) уравнение не ояр делает > чкакого геометрического образ>: на -!тлоскост>„ 7) уразненче оврелеляет едннстаеннук~ точку > — 2, !).
Ркс. 83 Рис. 84. Рис. 85, Рнс, 86 Рос. 88, Рис. 87 Ряс, бч Рис. 91, Рве, 90. Рнс. 92. 1 ! ! '.,:,' 8) С ! — —, О) Л вЂ” ' 9) уравнение не определяет нвкакого гео. 21 ' 2> метрического образа на плосхостн) 10) С ! 01 — — 1, >7 = 2>' 2' 398. !) Полуокружность ралнуса >г 3 с Пеятром в на юле каордннат, расположенная в верхней полуплоскости (рис. 83); 2) полу- ~, окружность радиуса ((=5 с пеитром в начале координат, располо- женная в нижней полуплоскостя (рис. 84); 3) полуокружность '-;.: Радиуса Д 2 с центром в начале координат, расположенная в левой '!:,': полуплоскостн рис.
85); 4) полуокружность радиуса Д = 4 с лептром 213 в начале координат„расположенная в правой яолуплоскости (рнс. 86); 5) полуонружность радиуса 9=8 с центрам С(0; 15), расположен. вая над прямой у — !5 0 (рис. 87); 6) полуокружиость ради,-а )с= 8 с центром С(0; !б), расположенная под прямой у- 15 ди)' а (ряс. 88),' 7) полуокружность радиуса )7 3 с центром С(-2; О, расположенная влево от прямой х+2 0 (ряс. 89); 8) полуокруж' ность радиуса )7 3 с центром С(-21 0), расположенная вправо от прямой х+2 О (рис.
90); 9) полуокружность радиуса )7 с центром С (у-2; -3), расположениая под прямой у+ 3 0 (ряс. 9!); 10) полуокружйость радиуса !с=7 с центром С(-5; -3), рассол;.. женная вправо от прямой х+ 5 0 (рис. 92). 399. 1) Вяе ояруи. ности; 2) иа окружности; 3) внутри оиружностн; 4) на окружяос-.:; б) внутри окружности.
400. 1) х+ бу — 3 = 0; 2) х+ 2 =- 3) Зх — у — 9=-0; 4] у+1=0. 401. 2х — бУ+ 19 О. 402. а) 7; 6) 17; в) 2. 403. М, (-1; 5) и М,( — 2; -2). 404. 1) !)ересек:. ~ окружность; 2) касается окружности; 3) проходит вне окружнос;к.
405. 1) (й! < —; 2) 0= х —; 3) (и(> —. 406. — = Я*-', 4' 4' ' 1-(-ят а07. 2х+у — 3=0. 408. !!х — 7у — 69=0. 409. 2Ф б. 4!О. 2х — Зу+ + 8 О, Зх+2у — 14 =О. 4!2. х'+ у" + бх — 9у — !7 =0. 413. ! Зх'+ 1Зу-'+ Зх+ 714 = О, 4!4. 7х — 4у = О, 415. 2, 410. !О. 417.
(х+3)'+(у — ЗР 10. 418. х — 2у+ 5=0. 419. Зх — 4у+ 7 51 + 43 = О. 420, М,( — †; — ;, Л = 2 У б. 421. х;х + у,у 17-. 422, (х, - а)(х — а) + (у, - 5)(у — 6) Р. 423. 45'. 424. '0'. 425. (а! — ае) + ((1! — 6е)в =- )7! + Йт 427. х — 2у — 5 = 0 и 2х — у — 5 = О. 428.
2х + у — 8 = О я х — 2у + !1 О. 429. 2х + у— 5 О, х — 2у = О, 430. 90'. 431. х + 2у + б = Гь 432. о = 7,6, 433. Л 7. 434. с! = У10. 435. 3. 436, 2х+ у — 1'=0 и 2х+ у+ + 19 = О. 437. 2х + у — 5 = 0 и 2х+у+5 = О. 438. р = 211 сов (Π— Вч) (ряс. 93). 439. 1) р=2!тсов0 (рис. 94); 2) р — 2ттсое0 (рис. 96); 3) р = 2)! а!и 8 (рис. 96); 4) р = — 2тт в!и 0 (рнс.
97), 440. 1) (2; О) 2' )7= —; 5)!3; — !иР 3;6)~4: — и и !с 4; 7) 4; —— Я=4. 44!. 1) х'+у' — Зх 0; 2) хе+ус+4у=О; 3) хт+у-"— — х+у=О. 442. 1) р=соа0: 2) р= — Зсов0, 3) р=5а1п0; 4) р = — а1п0; 5) р =сов 0+ я!и 0. 443. р = Наес(0 — О,). 25 4 ' 25 9 ' !69 !44 41 2ч + 16 1; 5) 100 + 64 ~ 1, 6) 169 + 2 — — 1; 7) — + Ут 1; хт у' х' уе 4 + 100 1; 5) — + — 1; 6) — + — 1.
446. 1) 4 и 3; 6 ' 16 25 ' 7 16 2) 2 и 1; 3) 5 и 1; 4) )' Гб н у 3; 5) 2 н 3 ! 6) 3 и 5 ! 7) 1 н 2 1 214 1 ! 1 ) 1 и 4; 9) — и — 10) — и 1. 447, 1) 5 и 3; 2) Р, (-4; 0), 5 31 3 4 25 ф~(4', 0); 3) в= —; 4) х= ж —. 448. 16 кв, ед. 449. 1) )т5 и 3; 5! Рис, 94. Рис, 93 у Рнс. 96. Рис.
95. Рис. 98. Рис, 97. 2 9 4)~5 :::, 2) у,(0;-2), Ге(0,2)! 3) в= 3! 4) у ж 2' 450. 4о 45!. —. 452. См. рис. 98. 463. ~-д! — Я, ~-3; у). 454. Тес~и с А, и А, лежат на эллипсе; А,, А, и Аа-внутри эллипса; А„А„ хт ут А„А, и А~о — вие эллипса, 456, 1) Полонина эллипса Гб + — = 1, Рис. 104.
Рис. 103. Рис. 105 Рис. 106 210 2!7 рас," ложекпая е верхяей полуплоскости (рис. 99); 2) половина эллипса — + -"- 1, располо.кенная и пикскей полуплоскости(рнс.10; к х. у-' 3) половина элл пса — + — '„1, расположенная в леной полу- плоскости (р'с. 101), 4) половика эллипса х'+ — ° 1, распол;- 49 женися е правой полуплоскостк (рнс. 102). 456. 15. 457.
458,;;х .1- 12у Л- '0 †. О. х — 2 - О. 459. г, = 2,6, г, 7,4. 460. 461. 1О. 462. ( — 5 3) 3) и ( — 5; — 3)' 3). 463. ~ — 2; — ) 2 — 2; — — Р 464. 3 и 7. 465. 1) — +-- ~ 1; л' )'21) х' ег-' :1В 9 .2) —,+; —; —, 1; 3) —,+ '— '=1; 4) — +'— .=-1; 10 '"! ' 20 15 ' 2О 4 25" !'.:2 ' 15 6 466. 1) —:, -; 2) —; 3) —; 4) УЗ „)'2, )'3 2'3'2' Рис. 100.. Ркс.
101. Рис. 102, 467. с =- --;,=. а7 Эа лу+ 4) = 1 470 !х+ 3)' (у — 2)' 16 + — —— 2 1) С !3; — 1!. пот;осп 3 и У5, е = — ', урааасиия 3' дпректрсс: 2х — !5=0, 2х+ 3 =0: 2) С ( —.1; 2), полуоси 5 п 4, 3 е== —, уравнения директрис: Зх — 22= 0, Зх+ 23 = 0; 3) С (1; — 2), 1 полуоси 2р 3 и 4, е —, уравнения директрис: У-О=О, у+!0=~6 (х — 3)-' (у + 7)' 472. 1) Половила эллипса ' + ' .*=1, расположенная над прямой у+ 7 =0 (рис, 103); 2) половина эллипса — + (х+ 3)' 9 ':: (у- !)' '-; — = 1, расположенная яод прямой у — 1 0 (рнс 104); 16 : )' половина эллипса — + х- (у+ ЗР 16 4 = 1, расположенная в леной ' луплоскости(рнс. 105); 4) половика эллипса — — + — =1, (х '-5).
"(У-1)' 4 9 "неположенная вправо от прямой х+ 5 = О (рис. !06). ц — -(- — = 1; 2) 2х' — 2ху+ 2У' — 3=0: 3) 68х + (х — 2)" у" 25 + 48ху (- 32У 625 0; 4) 11х'+ 2ху+ !1У 48х — 4ВУ вЂ” 24= О. *',174 5хт.! Оу' -(-4х — 18У вЂ” 55= 0. 475. 4х"+ЗУ"+32х — 14У+о9=0. ,476. 4хт "!" Вут -1- 14х + 4ОУ + 81 —.— О. 477. 7хт — 2ху+ 7У' — 46х+ ; )-2У 1„7! — О. 478.
17х. + Вху + 23у" + ЗОх — 40ч — !75 = О !7479 а ! 2ут — Ох + 24У-1-31 = О. 480, ( 4; †), (3; 2) 481. ( 3; †)— 2)' ' '(,' 5) !!:- прямая касается эллипса. 482. Прямая проходят вне эллипса. !,.483, 1) Прямая пересекает эллипс; 2) проходит вне эллипса; "3) касаетск эллипса. 484, 1) При !пт)<5 — пересекае эллипс; . 2) при т = ~ 5- касается эллипса; 3) при ) лт (> 5 — проходит вне ' эллипса. 485.
й'а'+Ь'=тт. 486. —;+ — ',, 1. 488. Зх+2У-10=0 ат 51 и Зх+2У+10 О. 489. х+у — 5 0 и х+ у+5=0. 490. 2х— у — 12 О, 2х-у+12=0; И=* —, 491. М1(-312); Н= )т13, 24 т'Т 5 '! 492, х+ у — 5=0 и х+ 4У вЂ” 10 О. 493. 4х — Зу — 10=0. с х' 4У' х' у' А 494. И = 18. 495. — + — 1 или — + — аа 1. 496. — + — 1.
20 5 60 5 ' ' 40 10 Рис, 109 Рис. 108 Рис. 107. Рис. 110. Рис. 1!1. 213 з, 219 хз уз 499, — + — !. У к а э а н н е. Воспользоваться свойством эллипса '17 8 1 х уз сформулированным в задаче 498. 500. — + — !. Указание 25 4 Воспользоваться свойством эллипса, сформулированным в задаче 498 502. 2х+11у — 10=0. Указание. Воспользоваться свойствен эллипса, сформулированным в задаче 501. 503. (3; 2) и (3; -2), 504, Д~ "" ', 505. 10,6 у'3. 506. ~р 60'. 507. 16,8.
508, 60'. )г'лз'+ и' ' хз уз 509. В эллипс, уравнение которого — + — 1. 610. х'+ у'=9. 25 16 х' у'" 4 2 4 4 61!. — + — !. 512. 4 —, 513. 4 = 3, 514. 4~ = — д, = —, 36 !6 3 3' 3' з 5' х" у' хз у' х' у' хз Б! 5, 1) — — *ап 1; 2) — — вв 1; 3) — — аю 1; 4) 25 16 ' 9 !6 ' 4 5 ' 64 у2 хз уз х~ у" хз уз — — ~1! 5) —, — —,* *!! 6) — — —,.
= 1: 7) Зб ' 36 64 ' 144 25 ' !6 9 уз хг уз хз уз 8) — — — 1; 9) — — — 1. 4 5 ' 64 36 ' ' 36 324 516. !) х" ус х' у' х' уз 2) — — — — 11 3) — — — — 1; 4) 16 9 ' 100 576 ' 24 25 5) — ' — — = — 1. 517.!) а 3, Ь 2; 2) а=4, Ь=1; 3) а=4, у 9 16 5 5 1 Ь=2, 4) а=1, Ь=1; 5) и= —, Ь= —; 6) а= —, Ь=- — -' 2' 3' 5' 41 7) а=- —, Ь- — - —. 518. !) а=З, Ь=4; 2) Р,(-5; 0), Рз(5; О); 1 1 5 4 9 3) е —; 4) У=~ — х; 5) х=й —.
519, 1) а 3, Ь=4; 5 4 1; 2) Е,(0! — 5), и'з(0',5); 3) Е= 4, '4) у ж — Х; 5) у й —, хз и2 620. 12 кв. ед. 521. 1) Часть гиперболы — -~4 1, расположенная в верхней полуплоскости (рис. 107); 2) ветвь гиперболы уз х' — — =* — 1, расположенная в нижней полуплоскости (рис. 108); 9 хз у' 3) ветвь гиперболы — — — 1, расположенная в левой полупло- 16 9 '""ти (рис. 109); 4) веть гиперболы — — — = — 1, расположена" уз 25 4 "' в верхней полуплоскостн (ряс. 1!О).
522. х — 4 У 5 у + 10 = 0 10 =- О. 523. г, 2 — г, 10 †. 524. 8 525. 12. 526. !О. 1 ! 4' ' 4' 27. 528, ~!О; ! и 1О: 1, 529. ( — 6; 4 $' 3 ) и (-6; — 4 У 3 ). (У уа х О, 2 — и 26 —, 531. См. рис, 111. 532. 1) 1 хз уз !2 12 ' ' ' ' ' ' 32 8 ) х~ — Ьл =- 16! 3) — — — 1; 4) — — — и ! или 5 ' зЧ вЂ” 1; 5) — - — — 1. 533. е=)'2. 534, с=~ з. х) у' х'-' у' (х-хз)з (у — у„,у ,.:;.. ' 4 12 ' " 60 40 а' Ьз . — — — = 1, 536„— — — 1. 540, 1) —, (х — хзр Ь вЂ” ус)' а' Ьз !. 1) С(2; -3), а=З, Ь- 4, В = "'/з, уравнения директрис: :бх — 1 = О, 5х — 19 = О, уравнения Г '' имптот: 4х — Зу — 17=0. 4х+Зу4-!=О; 2) С(-5;1), а=8, 6, е = 1,25, уравнения директрис: х = — !1,4 и х = 1,4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
