Теоретические основы электротехники-1 (855784), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Ìåòîä ñå÷åíèéÀíàëîãè÷íî ìåòîäó óçëîâûõ íàïðÿæåíèé, ìîæíî óìåíüøèòü ÷èñëî èñêîìûõ âåëè÷èí äî q – 1 âûáîðîì â êà÷åñòâå íåèçâåñòíûõ — íàïðÿæåíèé âåòâåé äåðåâà~ ~~~U 1 , U 2 , K , U q -1 èëè ìàòðèöû-ñòîëáöà U 1 , èìåÿ â âèäó, ÷òî ïðîèçâåäåíà óïîðÿäî÷åííàÿ íóìåðàöèÿ âåòâåé ãðàôà ñõåìû, à èìåííî ñíà÷àëà ïðîíóìåðîâàíû âåòâèäåðåâà, à çàòåì ñâÿçè. Îáðàòèì âíèìàíèå íà òî îáñòîÿòåëüñòâî, ÷òî äëÿ ìåòîäàóçëîâûõ íàïðÿæåíèé íåò òàêîé íåîáõîäèìîñòè. Ñîãëàñíî âòîðîìó çàêîíó Êèðõãîôà, èìååì1K( q - 1),~CU =qMpFqK p1´~U1~U2=0~~èëè U 2 = –FU 1.256×àñòü 2.
Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåéÒîãäà íàïðÿæåíèÿ âñåõ îáîáùåííûõ âåòâåé ãðàôà ñõåìû ìîæíî âûðàçèòü ÷åðåçíàïðÿæåíèÿ âåòâåé äåðåâà â ñëåäóþùåì âèäå:Çàïèøåì òàêæå ñëåäóþùèå ñîîòíîøåíèÿ äëÿ àêòèâíûõ è ïàññèâíûõ ýëåìåíòîâ öåïè:~~U = U - E ; I = I + Á.Äëÿ ñå÷åíèé öåïè èìååì~DI = 0 èëè DI = -DÁ.~Ó÷èòûâàÿ, ÷òî I = YU è U = U + E, ìîæíî çàïèñàòü~DYU = -D(Á + YE).~~Ñ ó÷åòîì òîãî, ÷òî U=D t U 1 , ïîëó÷èì~DYD t U 1 = -D(Á + YE).Ìû ïîëó÷èëè â ìàòðè÷íîé ôîðìå óðàâíåíèå îòíîñèòåëüíî íàïðÿæåíèé âåòâåé äåðåâà (q – 1 ñêàëÿðíûõ óðàâíåíèé), êóäà âõîäÿò:DYDt — êâàäðàòíàÿ ìàòðèöà ïðîâîäèìîñòåé ñå÷åíèé ïîðÿäêà (q – 1) ´ (q – 1).Ýòó ìàòðèöó çàïèøåì â âèäå, àíàëîãè÷íîì ìàòðèöå óçëîâûõ ïðîâîäèìîñòåé,à èìåííî:Y11Y12KY1, q -1Y21Y22KY2 , q -1DYD t =,. . .
. . . . . . . . .K Yq -1, q -1Yq -1,1 Yq -1, 2ãäå Ykk — ñîáñòâåííàÿ ïðîâîäèìîñòü k-ãî ñå÷åíèÿ; Ykm — îáùàÿ ïðîâîäèìîñòü ñå÷åíèé k è m;DÁÁ — ìàòðèöà-ñòîëáåö ïîðÿäêà (q – 1) ´ 1, ñîñòîÿùàÿ èç ýëåìåíòîâ, ïðåäñòàâëÿþùèõ ñîáîé ñóììû òîêîâ èñòî÷íèêîâ òîêà âåòâåé, ïåðåñåêàåìûõ äàííûìñå÷åíèåì, íîìåð êîòîðîãî îïðåäåëÿåò íîìåð âåòâè äåðåâà;D (YE) — ìàòðèöà-ñòîëáåö ïîðÿäêà (q – 1) ´ 1, ñîñòîÿùàÿ èç ýëåìåíòîâ, ïðåäñòàâëÿþùèõ ñîáîé ñóììû òîêîâ ýêâèâàëåíòíûõ èñòî÷íèêîâ òîêà, îáðàçîâàííûõçà ñ÷åò ïðåîáðàçîâàíèÿ èñòî÷íèêîâ ÝÄÑ â âåòâÿõ â èñòî÷íèêè òîêà (YE). ðàçâåðíóòîé ôîðìå ñîâîêóïíîñòü óðàâíåíèé, ïîëó÷åííûõ ïî ìåòîäó ñå÷åíèé, èìååò âèä~~~Y U + Y U +K + Y U= Á& ;1111221, q -1q -111. .
. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .~~~Yq -1,1U 1 + Yq -1, 2U 2 +K + Yq -1, q -1U q -1 = Á& q -1, q -1 .257Ãëàâà 5. Ðàñ÷åò öåïåé ïðè ñèíóñîèäàëüíîì è ïîñòîÿííîì òîêàõÇäåñüYkk =pådj =1Y j d jk ;Ykm =kjpådj =1pÁ kk = -å d k j (Á& j + Y j E& j ).Y j d jm ;kjj =1Ðåøåíèå ýòîé ñèñòåìû â ìàòðè÷íîé ôîðìå ìîæíî çàïèñàòü â âèäå~U 1 = -(DYD t ) –1D (Á + YE).Äëÿ íàïðÿæåíèÿ k-é âåòâè äåðåâà ìîæíî çàïèñàòüD q -1, k~DU& k = Á& 11 1k +K+Á& q -1, q -1,DDãäå D — ãëàâíûé îïðåäåëèòåëü ìàòðèöû ïðîâîäèìîñòåé ñå÷åíèé è Dmk — åãî àëãåáðàè÷åñêîå äîïîëíåíèå. êà÷åñòâå ïðèìåðà ñîñòàâèì óðàâíåíèå ïî ìåòîäó ñå÷åíèé äëÿ öåïè, èçîáðàæåííîé íà ðèñ. 5.5, à è á, ãðàôû êîòîðîé ïðåäñòàâëåíû íà ðèñ.
5.5, â, ã è ä. Èìååìñëåäóþùèå èñõîäíûå äàííûå:E t = E& 1 0 E& 3 0 E& 5 0 ;~~ ~~~~~U t = U1 U 2 U 3 U 4 U 5 U 6 ;Á& t = 0 0 0 0 0 Á& 6 ;Y = diag (Y1Y2Y3Y4Y5Y6 ).Äëÿ ãðàôà ñõåìû (ñì. ðèñ. 5.5) èìååì òðè ñå÷åíèÿ: 1, 2, 3 (ñîãëàñíî òðåì íîìåðàì âåòâåé äåðåâà). Òîãäà11D=23231411561–1 –11 Y1–1 –1 ;1–13 – Y4 – Y54Y3–Y4Y5– Y4 – Y5– Y5– Y5Y3 + Y 4 + Y 5(YE) t = Y1 E& 1 0 Y3 E& 3 0 Y5 E& 5 0 ;3 Y3 E& 3 + Y5 E& 56–Y5 –Y6 ;Y2 + Y 5 + Y 61 Y1 E& 1 – Y5 E& 5 – Á& 6D(ÁÁ+YE) = 2 – Y5 E& 5 – Á& 65Y4 –Y5 –Y631 Y1 + Y4 + Y5 + Y6 Y5 + Y6DYDt = 2 Y5 + Y63Y2DY = 212Á& 11= – Á& 22 .Á&Ñëåäîâàòåëüíî, èìååì ñëåäóþùóþ ñèñòåìó óðàâíåíèé:33;258×àñòü 2.
Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé~~~Y11U 1 + Y12U 2 + Y13U 3 = Á& 11 ;~~~Y21U 1 + Y22U 2 + Y23U 3 = Á& 22 ;~~~Y31U 1 + Y32U 2 + Y33U 3 = Á& 33 ,ãäåY11 = Y1 + Y4 + Y5 + Y6 ; Y22 = Y2 + Y5 + Y6 ;Y21 = Y12 = Y5 + Y6 ; Y13 = Y31 = -Y4 - Y5 ;Á& 11 = Á& 6 - Y1 E& 1 + Y5 E& 5 ; Á& 22 = Á& 6 + Y5 E& 5 ;Y33 = Y3 + Y4 + Y5 ;Y23 = Y32 = -Y5 ;Á& 33 = -Y3 E& 3 - Y5 E& 5 .Âñå ýòè âåëè÷èíû ìîãóò áûòü ïîëó÷åíû ïóòåì ôîðìàëüíûõ ìàòðè÷íûõ îïåðàöèé è àíàëèçà ýëåìåíòîâ ìàòðèöû D òî÷íî òàê, êàê ýòî äåëàëîñü â § 5.11è 5.12.Ìåòîä ñå÷åíèé è ìåòîä óçëîâûõ íàïðÿæåíèé ñâîäÿòñÿ ê ôîðìèðîâàíèþ è ðåøåíèþ ñèñòåìû, ñîñòîÿùåé èç q – 1 óðàâíåíèé, è â ýòîì îòíîøåíèè îíè ðàâíîöåííû.
Îäíàêî â ìåòîäå óçëîâûõ íàïðÿæåíèé èñïîëüçóåòñÿ ìàòðèöà ñîåäèíåíèé, ñîñòàâëåíèå êîòîðîé âî âñåõ ñëó÷àÿõ ÿâëÿåòñÿ îáÿçàòåëüíûì, åñëè ðå÷üèäåò íå î íåïîñðåäñòâåííîé çàïèñè óðàâíåíèé ïðè ïîìîùè âèçóàëüíîãî ñïîñîáàñîñòàâëåíèÿ ìàòðèö êîíòóðîâ è ñå÷åíèé. Ïðè èñïîëüçîâàíèè âû÷èñëèòåëüíûõìàøèí ïðîöåäóðà ñîñòàâëåíèÿ ìàòðèö C è D äîëæíà áûòü ôîðìàëèçîâàíà. Îäíèì èç òàêèõ ìåòîäîâ ÿâëÿåòñÿ ðàñ÷åò ìàòðèöû F ÷åðåç ïîäìàòðèöû A1 è A2.Ïîýòîìó â âû÷èñëèòåëüíîì îòíîøåíèè ìåòîä óçëîâûõ íàïðÿæåíèé áîëåå ýêîíîìè÷åí. Îäíàêî ìåòîäû ñå÷åíèé è êîíòóðíûõ òîêîâ ïîçâîëÿþò âûäåëèòü òåíàïðÿæåíèÿ è òîêè, êîòîðûå ìîãóò ïðåäñòàâëÿòü íåïîñðåäñòâåííûé èíòåðåñ,à ïîýòîìó äàííûå ìåòîäû äàæå â îòíîøåíèè èñïîëüçîâàíèÿ âû÷èñëèòåëüíîéòåõíèêè èìåþò ñâîè îáëàñòè ïðèìåíåíèÿ.5.14.
Ìåòîä ñìåøàííûõ âåëè÷èíÏðè ðåøåíèè íåêîòîðûõ çàäà÷, îñîáåííî çàäà÷ ðàñ÷åòà ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ,÷àñòü âåòâåé öåëåñîîáðàçíî õàðàêòåðèçîâàòü ñîïðîòèâëåíèåì, à äðóãóþ ÷àñòü —ïðîâîäèìîñòüþ, ò. å. äëÿ ÷àñòè ñõåìû ìîæåò áûòü çàäàíî Iy = YyUy, à äëÿ äðóãîé÷àñòè — Uz = ZzIz. Çäåñü èíäåêñû y è z ïîêàçûâàþò ïðèíàäëåæíîñòü ìàòðèöy- èëè z-âåòâÿì (íàçîâåì äëÿ êðàòêîñòè âåòâè, õàðàêòåðèçóåìûå ïðîâîäèìîñòüþ,y-â å ò â ÿ ì è, à âåòâè, õàðàêòåðèçóåìûå ñîïðîòèâëåíèåì, z-â å ò â ÿ ì è).Ðàçëè÷íûé âèä çàïèñè çàêîíà Îìà ïðåäîïðåäåëÿåò è âûáîð ñîîòâåòñòâóþùèõ èñêîìûõ âåëè÷èí. Äëÿ Y-÷àñòè ñõåìû (÷àñòü ñõåìû èëè ãðàôà ñõåìû, ñîäåðæàùàÿ òîëüêî y-âåòâè) öåëåñîîáðàçíî â êà÷åñòâå èñêîìûõ âåëè÷èí âûáèðàòü íàïðÿæåíèÿ âåòâåé äåðåâà.
Äëÿ Z-÷àñòè ñõåìû (÷àñòü ñõåìû èëè ãðàôà ñõåìû,ñîäåðæàùàÿ òîëüêî z-âåòâè) öåëåñîîáðàçíî â êà÷åñòâå èñêîìûõ âåëè÷èí (èñêîìûõ ïåðåìåííûõ, êàê èíîãäà ãîâîðÿò) âûáèðàòü òîêè â ñâÿçÿõ. Èñõîäÿ èç ýòîéîñîáåííîñòè, ñëåäóåò y-âåòâè îòíåñòè ê âåòâÿì äåðåâà è òîëüêî ïðè íåâîçìîæíî-Ãëàâà 5. Ðàñ÷åò öåïåé ïðè ñèíóñîèäàëüíîì è ïîñòîÿííîì òîêàõ259ñòè ýòîãî, êîãäà äîáàâëåíèå íîâîé y-âåòâè ê ïðåäûäóùèì ïðèâîäèò ê îáðàçîâàíèþ êîíòóðà, îòíåñòè ýòè âåòâè ê ñâÿçÿì. Åñëè y-âåòâè íå îáðàçóþò äåðåâî ãðàôàñõåìû, ÷àñòü z-âåòâåé âîéäåò â ñîñòàâ âåòâåé äåðåâà, ïîýòîìó z-âåòâè ìîãóò ñîäåðæàòüñÿ òàêæå è â âåòâÿõ äåðåâà ãðàôà ñõåìû.Âñïîìíèì, ÷òî F-ìàòðèöà îïðåäåëÿåò êîíòóðû (íîìåðà êîòîðûõ ñîâïàäàþòñ íîìåðàìè âåòâåé, îòíåñåííûõ ê ñâÿçÿì) è âõîäÿùèå â ýòè êîíòóðû âåòâè äåðåâà.
Ïðè ñîñòàâëåíèè äåðåâà ãðàôà ñíà÷àëà òîëüêî èç y-âåòâåé, à çàòåì óæå äîïîëíåíèåì äåðåâà äî êîíöà ñâÿçÿìè (åñëè íå õâàòàåò äëÿ ýòîãî y-âåòâåé) ñòðóêòóðà F-ìàòðèöû áóäåò ñëåäóþùåé:F-ìàòðèöà ðàçáèâàåòñÿ íà áëîêè, ó êîòîðûõ ïåðâûé íèæíèé èíäåêñ ïîêàçûâàåò õàðàêòåð ñâÿçè, îáðàçóþùåé êîíòóð, à âòîðîé èíäåêñ — õàðàêòåð âåòâè äåðåâà (y èëè z), âõîäÿùåé â äàííûé êîíòóð.  êîíòóðàõ, îáðàçîâàííûõ èç y-ñâÿçåé,íå ìîãóò íàõîäèòüñÿ z-âåòâè äåðåâà, òàê êàê y-âåòâü ñòàíîâèòñÿ ñâÿçüþ ïðè óñëîâèè îáðàçîâàíèÿ êîíòóðà òîëüêî èç y-âåòâåé; ïîýòîìó Fyz = 0 âñåãäà.
Èíäåêñ yz,ñîãëàñíî ïðàâèëàì èíäåêñàöèè, ïîêàçûâàåò, ÷òî êîíòóðû îáðàçîâàíû y-ñâÿçÿìèè z-âåòâÿìè äåðåâà.Ñòîëáöû êîíòóðíîé ìàòðèöû C ðàçäåëèì íà ÷åòûðå ãðóïïû è ïðîíóìåðóåìñòîëáöû ïîñëåäîâàòåëüíî: äëÿ ãðóïïû y-âåòâåé äåðåâà, çàòåì äëÿ y-ñâÿçåé, ïîñëå÷åãî äëÿ z-âåòâåé äåðåâà è çàâåðøèì íóìåðàöèþ z-ñâÿçÿìè. Ñîîòâåòñòâåííî,ñòðîêè ìàòðèöû C îïðåäåëÿòñÿ ñíà÷àëà y-ñâÿçÿìè, à çàòåì óæå z-ñâÿçÿìè. Ïðèóñëîâèè òàêîãî ðàçáèåíèÿ C-ìàòðèöó ìîæíî çàïèñàòü òàê:Ïðè ðàçäåëåíèè âåòâåé íà ÷åòûðå ãðóïïû ìàòðèöó ñå÷åíèé D òàêæå ìîæíîçàïèñàòü â âèäå260×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåéãäå-Fyyt1= Dy.Ñîîòâåòñòâåííî òàêîìó ðàçäåëåíèþ òîïîëîãè÷åñêèõ ìàòðèö äîëæíî áûòüïðîâåäåíî ðàçäåëåíèå ìàòðèö Z è Y. Êàæäàÿ èç ýòèõ ìàòðèö áóäåò ñîñòîÿòü èçäâóõ äèàãîíàëüíûõ áëîêîâ.
Ñîãëàñíî ïðèîðèòåòó âåòâåé, â âåðõíåé ëåâîé ÷àñòèáóäóò ðàñïîëîæåíû âåòâè, îòíåñåííûå ê äåðåâó, â íèæíåé ïðàâîé ÷àñòè — îòíåñåííûå ê ñâÿçÿì. Ñîîòâåòñòâåííî, âåðõíèì ïîäìàòðèöàì ïàðàìåòðîâ âåòâåé äåðåâà ïðèïèøåì íèæíèé èíäåêñ 1, íèæíèì ïîäìàòðèöàì ïàðàìåòðîâ ñâÿçåé —íèæíèé èíäåêñ 2. Ýòè ìàòðèöû áóäóò èìåòü âèäY1Yy =Y2;Zz =Z1Z2.Ìàòðèöû-ñòîëáöû òîêîâ, íàïðÿæåíèé, èñòî÷íèêîâ ÝÄÑ è òîêà òàêæå ðàçäåëèì ïî ýòîìó ïðèíöèïó. Èìååì~I 1y~~Iy~ I 2y~I= ~ = ~ ; U=IzI 1z~I 2zãäå Iy =I1yI2y;~U 1yE 1y~~U 2yUyE 2yEy;=;E==~~U 1zUzE 1zEz~U 2zE 2zIz =I1zI2zÁ 1yÁ=Á 2yÁ 1z=ÁyÁz,Á 2zè ò.
ä.Ïðèìåíèì ê ÷àñòè ãðàôà ñõåìû, ñîñòàâëåííîé èç y-âåòâåé, ìåòîä ñå÷åíèé.Çàïèñü óðàâíåíèé áóäåò àíàëîãè÷íà çàïèñè ñèñòåìû óðàâíåíèé äëÿ ñå÷åíèé(ñì. § 5.13) ñ äîïîëíèòåëüíûì ÷ëåíîì, ó÷èòûâàþùèì òîêè z-ñâÿçåé, ðàâíûì~–Fzyt I 2 z . Èìååì~~D y Yy D yt U1y - Fzyt I 2 z = -D y (Yy E y + Á y ).Ãëàâà 5. Ðàñ÷åò öåïåé ïðè ñèíóñîèäàëüíîì è ïîñòîÿííîì òîêàõ261Òî÷íî òàê æå, åñëè ïðèìåíèòü ìåòîä êîíòóðíûõ òîêîâ ê ÷àñòè ãðàôà, ñîñòàâëåííîé èç z-âåòâåé, ìîæíî çàïèñàòü ìàòðè÷íîå óðàâíåíèå, àíàëîãè÷íîå ïîëó÷åí~íîìó â § 5.11 ñ äîáàâëåíèåì íàïðÿæåíèé y-âåòâåé äåðåâà, êîòîðûå ðàâíû FzyU 1y .Èìååì~~C z Z z C tz I 2 z + Fzy U 1y = C z (Z z Á z + E z ).Ýòè óðàâíåíèÿ ìîæíî çàïèñàòü âìåñòå:~D y Yy D yt-Fzyt-D y (Yy E y + Á y )U 1y=.~tFzyC zZ zC zC z (Z z Á z + E z )I 2zÝòà ñèñòåìà ìàòðè÷íûõ óðàâíåíèé è ñîñòàâëÿåòñèñòåìó óðàâíåíèé äëÿ ñìåøàííûõ âåëè÷èí.Íåòðóäíî çàìåòèòü, ÷òî åñëè âñå âåòâè ñõåìû îòíåñòè èëè ê y-âåòâÿì, èëè ê z-âåòâÿì, òî ïîëó÷èì, ñîîòâåòñòâåííî, óðàâíåíèå ìåòîäà ñå÷åíèé èëè ìåòîäà êîíòóðíûõ òîêîâ.Äëÿ ãðàôà ñõåìû (ðèñ.
5.15) èìååìÐèñ. 5.154C =12–11618–11D =2354–1678¬ y-ñâÿçü–11–111251–171331–1451611–11178–111111–1üïý z-ñâÿçüïþüïý y-äåðåâîïþ1 ¬ z-äåðåâî262×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé12Fyy = 4 –1112636-Fzzt = 5;16-Fzyt = 2–1 ;8 –11566 –1118;18 –112343–1 ;1Z6~U 1y =;Z7Zz =~I6~U1~I 2z =~U2 ;E& 1E& 5E& 2E& 6Ez =E& 7E& 8;Z8~U3E& 4–1Z5Y3;;1Y4E& 311Y2Ey =–11Dy = 2Y1Yy =81117137Cz = 71 ;1–1813–1Fzy = 77;Á y=~I7 ;~I8Á& 1Á& 5Á& 2Á& 6Á& 3Á& 4;Áz =Á& 7Á& 8.Ãëàâà 5. Ðàñ÷åò öåïåé ïðè ñèíóñîèäàëüíîì è ïîñòîÿííîì òîêàõ263Ìàòðèöû ïàðàìåòðîâ Zz, Yy â äàííîì ÷àñòíîì ñëó÷àå çàïèñàíû â ôîðìå ñèììåòðè÷íûõ äèàãîíàëüíûõ ìàòðèö. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî â öåïè îòñóòñòâóþò èíäóêòèâíî ñâÿçàííûå êàòóøêè è çàâèñèìûå èñòî÷íèêè. Ïðè íàëè÷èè èíäóêòèâíîñâÿçàííûõ êàòóøåê âåòâè, ñîäåðæàùèå ýòè êàòóøêè, äîëæíû áûòü îòíåñåíû êz-âåòâÿì, è òîãäà âçàèìíàÿ èíäóêòèâíîñòü ìîæåò áûòü ó÷òåíà äîáàâëåíèåìíåäèàãîíàëüíûõ ñèììåòðè÷íî ðàñïîëîæåííûõ ýëåìåíòîâ â ìàòðèöå Zz (ñì.§ 5.18). Íàëè÷èå çàâèñèìûõ èñòî÷íèêîâ òàêæå ìîæåò áûòü ó÷òåíî â ýòîì ñëó÷àåäîáàâëåíèåì ÷ëåíîâ â Z- è Y-ìàòðèöàõ.Äîïóñòèì, èìååòñÿ çàâèñèìûé èñòî÷íèê òîêà â 4-é âåòâè, óïðàâëÿåìûé íàïðÿæåíèåì 2-é âåòâè: Á& 42 = Y42 U& 2 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
