Теоретические основы электротехники-1 (855784), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Òîê ýòîãî èñòî÷íèêà òîêà ìîæíî ïåðåíåñòè âëåâóþ ÷àñòü ðàâåíñòâà è ó÷èòûâàòü åãî äîáàâëåíèåì â ìàòðèöå Yy íåíóëåâîãîýëåìåíòà Y42. Çàìåòèì, ÷òî ýëåìåíò Y24 ¹ 0, è ïîýòîìó ìàòðèöà Yy ñòàíîâèòñÿíåñèììåòðè÷íîé. Òî÷íî òàê æå, åñëè â íåêîòîðîé âåòâè (íàïðèìåð, 7) èìååòñÿóïðàâëÿåìûé òîêîì (íàïðèìåð, òîêîì âåòâè 5) èñòî÷íèê ÝÄÑ E& 75 = Z75 I&5 , òî åãîìîæíî ó÷åñòü â âèäå äîïîëíèòåëüíîãî ïàäåíèÿ íàïðÿæåíèÿ â êîíòóðå 7 îò òîêàI5 äîáàâëåíèåì â ìàòðèöå Zz íåäèàãîíàëüíîãî ýëåìåíòà –Z75.Ìåòîä ñìåøàííûõ âåëè÷èí äàåò âîçìîæíîñòü áåç ýêâèâàëåíòíûõ ïðåîáðàçîâàíèé ó÷åñòü óïðàâëÿåìûå íàïðÿæåíèåì èñòî÷íèêè òîêà è óïðàâëÿåìûå òîêîìèñòî÷íèêè ÝÄÑ, åñëè èõ ðàçäåëüíî ðàñïîëîæèòü, ñîîòâåòñòâåííî, â y-ïîäãðàôåñõåìû è z-ïîäãðàôå ñõåìû, ò.
å. ðàçäåëåíèå ãðàôà ïðîèçâîäèòü ñ ó÷åòîì è ýòîãîîáñòîÿòåëüñòâà. Çàìåòèì, ÷òî ÷èñëî èåèçâåñòíûõ, à ñëåäîâàòåëüíî, è ïîðÿäîê ñèñòåìû óðàâíåíèé íåìèíèìàëüíû.  ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå ÷èñëî íåèçâåñòíûõðàâíî øåñòè, â òî âðåìÿ êàê ïî ìåòîäó êîíòóðíûõ òîêîâ è ïî ìåòîäó ñå÷åíèé(è óçëîâûõ íàïðÿæåíèé) îíî ðàâíî ÷åòûðåì.  ýòîì îòíîøåíèè ìåòîä ñìåøàííûõ ïåðåìåííûõ óñòóïàåò äðóãèì ìåòîäàì.5.15.
Ïðèíöèï íàëîæåíèÿè îñíîâàííûé íà íåì ìåòîä ðàñ÷åòà öåïè âûðàæåíèè äëÿ òîêà I&k , ïîëó÷åííîì ïî ìåòîäó êîíòóðíûõ òîêîâ, âåëè÷èíûE& 11 , E& 22 , K , E& nn ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé êàæäàÿ ñóììó ÝÄÑ âñåõ èñòî÷íèêîâ, âõîäÿùèõ â ñîîòâåòñòâóþùèå êîíòóðû. Òî÷íî òàê æå â âûðàæåíèè äëÿ óçëîâîãî íàïðÿæåíèÿ U& k 0 , ïîëó÷åííîì ïî ìåòîäó óçëîâûõ íàïðÿæåíèé, âåëè÷èíû Á& 1 , Á& 2 , K , Á& q -1ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé êàæäàÿ ñóììó òîêîâ âñåõ èñòî÷íèêîâ òîêîâ, ïîäêëþ÷åííûõê ñîîòâåòñòâóþùèì óçëàì.
Âûïèñàâ ýòè ñóììû ÿâíî è ñãðóïïèðîâàâ â âûðàæåíèÿõ äëÿ I&k è U& k 0 ÷ëåíû, ñîäåðæàùèå ÝÄÑ èëè òîêè îòäåëüíûõ èñòî÷íèêîâ, ïîëó÷èì âûðàæåíèÿ äëÿ I&k è U& k 0 â âèäå ñëàãàåìûõ, êàæäîå èç êîòîðûõ áóäåò èìåòüìíîæèòåëåì ÝÄÑ èëè òîê òîãî èëè èíîãî èñòî÷íèêà. Èç ýòîãî ñëåäóåò, ÷òî êîíòóðíûé òîê â ëþáîì êîíòóðå ðàâåí ñóììå òîêîâ, âûçûâàåìûõ â ýòîì êîíòóðåêàæäîé èç ÝÄÑ â îòäåëüíîñòè, è, ñîîòâåòñòâåííî, óçëîâîå íàïðÿæåíèå ìåæäóëþáûì óçëîì è îïîðíûì ðàâíî ñóììå óçëîâûõ íàïðÿæåíèé, ñîçäàííûõ ìåæäóýòèì óçëîì è îïîðíûì êàæäûì â îòäåëüíîñòè èñòî÷íèêîì òîêà (èëè èñòî÷íèêîì ÝÄÑ âåòâè, ïðèêëþ÷åííîé ê äàííîìó óçëó).
Ýòî âåñüìà âàæíîå ïîëîæåíèåî íåçàâèñèìîñòè äåéñòâèÿ èñòî÷íèêîâ ÝÄÑ èëè òîêà, èçâåñòíîå ïîä íàèìåíîâàíèåì ï ð è í ö è ï à í à ë î æ å í è ÿ, âûòåêàåò èç ëèíåéíîñòè óðàâíåíèé, ïîëó÷àåìûõ íà îñíîâàíèè çàêîíîâ Êèðõãîôà äëÿ ëèíåéíûõ öåïåé, ò. å. öåïåé ñ ïàðàìåòðàìè, íå çàâèñÿùèìè îò òîêîâ è íàïðÿæåíèé.264×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåéÏðèíöèï íàëîæåíèÿ ñïðàâåäëèâ íå òîëüêî äëÿ ëþáîãî êîíòóðíîãî òîêà, íî èäëÿ òîêà â ëþáîé âåòâè, òàê êàê âñåãäà ìîæíî âûáðàòü ñîâîêóïíîñòü êîíòóðîâòàê, ÷òî èíòåðåñóþùàÿ íàñ âåòâü âîéäåò òîëüêî â îäèí êîíòóð.
Ýòî íåïîñðåäñòâåííî âûòåêàåò òàêæå èç ëèíåéíîñòè ñèñòåìû óðàâíåíèé, çàïèñàííûõ â îòíîøåíèè èñòèííûõ òîêîâ â âåòâÿõ ïî çàêîíàì Êèðõãîôà.Ñëåäóåò èìåòü â âèäó, ÷òî ïðèíöèï íàëîæåíèÿ íå ïðèìåíèì äëÿ êâàäðàòè÷íûõ ôîðì, êàêîâûìè ÿâëÿþòñÿ âûðàæåíèÿ äëÿ ìîùíîñòåé.Ïðèíöèï íàëîæåíèÿ ïîçâîëÿåò ðàñ÷ëåíèòü ñëîæíóþ çàäà÷ó íà ðÿä áîëåå ïðîñòûõ, â êàæäîé èç êîòîðûõ â ðàññìàòðèâàåìîé ñëîæíîé öåïè äåéñòâóåò òîëüêîîäíà ÝÄÑ èëè îäèí èñòî÷íèê òîêà, à âñåîñòàëüíûå èñòî÷íèêè ýíåðãèè ïðåäïîëàãàþòñÿ îòñóòñòâóþùèìè. Ïðè ýòîì âñåäðóãèå èñòî÷íèêè ÝÄÑ äîëæíû áûòüçàìêíóòû íàêîðîòêî ñ ñîõðàíåíèåì â âåòÐèñ.
5.16âÿõ èõ âíóòðåííèõ ñîïðîòèâëåíèé, à âñåäðóãèå èñòî÷íèêè òîêà äîëæíû áûòü ðàçîìêíóòû, íî â ñîîòâåòñòâóþùèõ âåòâÿõäîëæíû áûòü ñîõðàíåíû èõ âíóòðåííèå ïðîâîäèìîñòè.Ïðèìåíÿÿ, íàïðèìåð, ïðèíöèï íàëîæåíèÿ äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è ðàñ÷åòà öåïè,èçîáðàæåííîé íà ðèñ. 5.11, ïîëó÷àåì äâå áîëåå ïðîñòûå çàäà÷è (ðèñ. 5.16), òîêèâ êîòîðûõ íàõîäÿòñÿ ïðîñòî:E& 1E& 1 (Z 2 + Z 3 )E& (Z + Z 3 )== 1 2;Z2Z3DZ 1Z 2 + Z 2 Z 3 + Z 3 Z 1Z1 +Z2 + Z3E& ZZ3E& ZZ2I&2¢ = I&1¢= 1 3 ; I&3¢ = I&1¢= 1 2;DZ2 + Z3DZ2 + Z3&&E2E (Z + Z 3 )I&2¢¢ == 2 1;Z ZDZ2 + 1 3Z1 + Z 3Z3E& ZZ2E& ZI&1¢¢ = I&2¢¢= 2 3 ; I&3¢¢ = I&2¢¢= 2 1.Z1 + Z 3DZ1 + Z 3DI&1¢ =Ñëåäîâàòåëüíî, äåéñòâèòåëüíûå òîêè â âåòâÿõ ïðè äåéñòâèè îáîèõ èñòî÷íèêîâ ÝÄÑ ñ ó÷åòîì íàïðàâëåíèÿ ñòðåëîê íà ðèñ.
5.16 ðàâíû:E& (Z + Z 3 ) - E& 2 Z 3I&1 = I&1¢ - I&1¢¢ = 1 2;DE& (Z + Z 3 ) - E& 1 Z 3;I&2 = I&¢¢2 - I&¢2 = 2 1DE& Z + E& 2 Z 1I&3 = I&¢3 + I&¢¢3 = 1 2.DÃëàâà 5. Ðàñ÷åò öåïåé ïðè ñèíóñîèäàëüíîì è ïîñòîÿííîì òîêàõ265Çàäà÷à ðàñ÷åòà öåïè, èçîáðàæåííîé íà ðèñ.
5.12, ñ ïîìîùüþ ïðèíöèïà íàëîæåíèÿ ñîîòâåòñòâåííî ìîæåò áûòü ðàñ÷ëåíåíà íà òðè áîëåå ïðîñòûå çàäà÷è ðàñ÷åòà òîé æå öåïè ïðè äåéñòâèè îäíîé ÝÄÑ E& 2 , E& 3 èëè E& 4 .5.16. Ïðèíöèï âçàèìíîñòèè îñíîâàííûé íà íåì ìåòîä ðàñ÷åòà öåïèÄëÿ ëèíåéíûõ öåïåé ñïðàâåäëèâ âàæíûé ï ð è í ö è ï â ç à è ì í î ñ ò è, óñòàíîâëåííûé Ìàêñâåëëîì, êîòîðûé ãëàñèò: åñëè ÝÄÑ E& ab = E& , äåéñòâóÿ â âåòâè abñêîëü óãîäíî ñëîæíîé öåïè, ïðè îòñóòñòâèè â öåïè ïðî÷èõ ÝÄÑ âûçûâàåò â äðóãîé âåòâè cd ýòîé öåïè òîê I&cd = I&, òî òàêàÿ æå ÝÄÑ E& cd = E& , äåéñòâóÿ â âåòâè cd,ïðè îòñóòñòâèè ïðî÷èõ ÝÄÑ âûçîâåò â âåòâè ab òàêîé æå òîê I&ab = I&.Ýòî ïîëîæåíèå âûòåêàåò èç âûðàæåíèÿ äëÿ òîêà I&k ïî ìåòîäó êîíòóðíûõòîêîâ.
Âûáåðåì íåçàâèñèìûå êîíòóðû òàê, ÷òîáû âåòâü ab âõîäèëà òîëüêî â êîíòóð k, à âåòâü cd — òîëüêî â êîíòóð m, ÷òî ïî îòíîøåíèþ ê äâóì âåòâÿì, êàê óæåîòìå÷àëîñü ðàíåå, âñåãäà ìîæíî ñäåëàòü. Òîãäà èç ðàâåíñòâDDI&ab = I&k = E& km è I&cd = I&m = E& mkDDñëåäóåò, ÷òî I&ab = I&cd = I&, òàê êàê Dmk = Dkm. Ïðè ýòîì îòíîøåíèå E& ab I&cd = E& I&åñòü âçàèìíîå ñîïðîòèâëåíèå Zkm îò k-ãî êîíòóðà ê m-ìó êîíòóðó, à îòíîøåíèåE& cd I&ab = E& I& åñòü âçàèìíîå ñîïðîòèâëåíèå Zmk îò m-ãî êîíòóðà ê k-ìó êîíòóðó.Òàêèì îáðàçîì, ñôîðìóëèðîâàííûé óêàçàííûì îáðàçîì ïðèíöèï âçàèìíîñòèïðèâîäèò ê ðàâåíñòâó ýòèõ âçàèìíûõ ñîïðîòèâëåíèé: Zkm = Zmk. Îáðàòèì âíèìàíèå, ÷òî çäåñü, ïåðåñòàâëÿÿ ÝÄÑ E& èç îäíîé âåòâè â äðóãóþ, ìû îäèíàêîâî ñîãëàñîâûâàëè ïîëîæèòåëüíûå íàïðàâëåíèÿ ÝÄÑ è òîêîâ â êàæäîé èç ýòèõ âåòâåé, à èìåííî: ìû ïðèíÿëè E& = E& ab è I& = I&ab , à òàêæå E& = E& cd è I& = I&cd .Åñëè áû ïðè ïåðåñòàíîâêå ÝÄÑ E& èç âåòâè ab â âåòâü cd ìû èçìåíèëè åå ïîëîæèòåëüíîå íàïðàâëåíèå, ò.
å. ïðèíÿëè E& = E& ab è E& = E& dc = -E& cd , à ïîëîæèòåëüíûå íàïðàâëåíèÿ òîêîâ îñòàâèëè ïðåæíèìè, ò. å. ïðèíÿëè ïî-ïðåæíåìó I& = I&ab èI& = I&cd , òî, î÷åâèäíî, ïîëó÷èëè áûZ km =E& ab E&=I&cdI&èZ mk =E& cdE&E&= - dc = - ,I&abI&abI&ò. å. ïîëó÷èëè áû ñîîòíîøåíèå Zkm = –Zmk, íà ÷òî áûëî óæå óêàçàíî â § 5.11. äàëüíåéøåì, ïîëüçóÿñü ïðèíöèïîì âçàèìíîñòè, áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òîïîëîæèòåëüíûå íàïðàâëåíèÿ ÝÄÑ è òîêîâ âî âñåõ âåòâÿõ ïðèíÿòû ñîãëàñîâàííûìè îäèíàêîâî, ò.
å. áóäåì ïðè ýòîì èìåòü Zkm = Zmk.Ïðèíöèï âçàèìíîñòè â ñî÷åòàíèè ñ ïðèíöèïîì íàëîæåíèÿ äàåò âîçìîæíîñòüñóùåñòâåííî ñíèçèòü òðóäîåìêîñòü ðàñ÷åòà ñëîæíîé öåïè, â êîòîðîé äåéñòâóåòîäíîâðåìåííî íåñêîëüêî ÝÄÑ, îñîáåííî â ñëó÷àå, êîãäà òðåáóåòñÿ îïðåäåëèòüòîê â îäíîé âåòâè ýòîé öåïè.Ïóñòü ñëîæíàÿ öåïü, ñîñòîÿùàÿ èç p âåòâåé, ñîäåðæèò s èñòî÷íèêîâ ÝÄÑ E& 1 ,&E 2 , . .
., E& s â s ïåðâûõ ïî ïîðÿäêó íîìåðîâ âåòâÿõ. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî â öåïè äåéñòâóåò òîëüêî îäíà ÝÄÑ E& k â k-é âåòâè (1 £ k £ s), à îñòàëüíûå èñòî÷íèêè ÝÄÑ266×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåéçàêîðî÷åíû ñ ñîõðàíåíèåì â âåòâÿõ èõ âíóòðåííèõ ñîïðîòèâëåíèé. Íàçîâåì ýòóñðàâíèòåëüíî ïðîñòóþ çàäà÷ó îñíîâíîé. Âû÷èñëèì â ýòîé çàäà÷å òîêè âî âñåõ p(k ) (k ) (k )(k )(k )âåòâÿõ: I&1 , I&2 , I&3 , .
. ., I&m , . . ., I& p . Çäåñü âåðõíèé èíäåêñ â ñêîáêàõ ïîêàçûâàåò,ïîä äåéñòâèåì êàêîé ÝÄÑ âîçíèêàåò òîê, à íèæíèé — â êàêîé âåòâè ðàññìàòðèâàåòñÿ òîê.Åñëè åäèíñòâåííûé èñòî÷íèê ñ ÝÄÑ E& k ïåðåñòàâèòü â m-þ âåòâü, òî, ñîãëàñíîïðèíöèïó âçàèìíîñòè, â k-é âåòâè ïîéäåò òàêîé æå òîê, êàê â m-é âåòâè â îñíîâ(k )íîé çàäà÷å, ò. å. ïðè ýòîì òîê â k-é âåòâè áóäåò ðàâåí òîêó I&m , âû÷èñëåííîìóâ îñíîâíîé çàäà÷å. äåéñòâèòåëüíîñòè â m-é âåòâè äåéñòâóåò èñòî÷íèê ÝÄÑ E& m .
Î÷åâèäíî, òîêâ k-é âåòâè, âîçíèêàþùèé ïîä äåéñòâèåì åäèíñòâåííîãî èñòî÷íèêà ÝÄÑ E& m ,âêëþ÷åííîãî â m-þ âåòâü, ðàâåí(m)( k ) E& mI&k = I&m.E& kÏåðåñòàâëÿÿ ïîñëåäîâàòåëüíî åäèíñòâåííûé èñòî÷íèê ÝÄÑ E& k âî âñå âåòâè,â êîòîðûõ â èññëåäóåìîé ðåàëüíîé öåïè äåéñòâóþò èñòî÷íèêè ÝÄÑ, ò. å.
èçìåíÿÿ èíäåêñ m îò åäèíèöû äî s, âêëþ÷àÿ è çíà÷åíèå m = k, è îñóùåñòâëÿÿ ïðîïîðöèîíàëüíûé ïåðåñ÷åò çíà÷åíèé òîêîâ îò ÝÄÑ E& k ê äåéñòâèòåëüíûì çíà÷åíèÿìÝÄÑ E& m , âû÷èñëèì òàêèì ìåòîäîì òîêè â k-é âåòâè, âîçíèêàþùèå â íåé ïðè äåéñòâèè âñåõ äåéñòâèòåëüíûõ ÝÄÑ ïîîäèíî÷êå.Ñîãëàñíî ïðèíöèïó íàëîæåíèÿ, òîê I&k â k-é âåòâè, âîçíèêàþùèé ïðè äåéñòâèè âñåõ çàäàííûõ ÝÄÑ îäíîâðåìåííî, ðàâåíI&k =små I&(k ) =m =1sE& må I&( ) E&m =1km.kÒàêèì îáðàçîì, äîñòàòî÷íî ðåøèòü òîëüêî ñðàâíèòåëüíî ïðîñòóþ îñíîâíóþ(k )çàäà÷ó, ò. å. ðàññ÷èòàòü òîêè I&m âî âñåõ âåòâÿõ, êîãäà äåéñòâóåò òîëüêî îäíà ÝÄÑE& k â òîé âåòâè (k-é), â êîòîðîé õîòèì íàéòè òîê I&k , ïîñëå ÷åãî èñêîìûé òîê I&kâû÷èñëÿåòñÿ ïî ïîñëåäíåé ôîðìóëå. Ýòà ôîðìóëà íåïîñðåäñòâåííî ïðèãîäíàäëÿ âû÷èñëåíèÿ òîêà â âåòâè, ñîäåðæàùåé èñòî÷íèê ÝÄÑ (1 £ k £ s), ò.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
