Теоретические основы электротехники-1 (855784), страница 57
Текст из файла (страница 57)
Óçëîâîå íàïðÿæåíèå U& k 0 èìååòïîëîæèòåëüíîå íàïðàâëåíèå îò k-ãî óçëà (k = 1, 2, . . ., q – 1) ê îïîðíîìó óçëó.Îïðåäåëèâ q – 1 èñêîìûõ óçëîâûõ íàïðÿæåíèé, íåòðóäíî íàéòè íàïðÿæåíèÿìåæäó ëþáûìè ïàðàìè óçëîâ è òîêè â âåòâÿõ öåïè. Ïîñêîëüêó ïî ïåðâîìó çàêîíó Êèðõãîôà ìîæíî çàïèñàòüq – 1 íåçàâèñèìûõ óðàâíåíèé, òî âûðàçèì âñå òîêè â âåòâÿõ ÷åðåç èñêîìûå óçëîâûå íàïðÿæåíèÿ äëÿ ïîëó÷åíèÿñèñòåìû óðàâíåíèé, çàïèñàííûõ îòíîñèòåëüíî q – 1 èñêîìûõ âåëè÷èí.Óñëîâèìñÿ íàïðàâëÿòü óçëîâîå íàïðÿæåíèå îò k-ãî óçëà ê îïîðíîìó, èëè áàçèñíîìó, óçëó.
Îáîçíà÷èì óçëîâîåíàïðÿæåíèå ìåæäó k-ì è áàçèñíûì óçëàìè ÷åðåç U& k 0Ðèñ. 5.13(ðèñ. 5.13). Òîãäà íàïðÿæåíèå íåêîòîðîé îáîáùåííîéâåòâè s, ïðèñîåäèíåííîé ê óçëàì k è m, áóäåò ðàâíî~&U = U& = U& - U& = a U& + a U& .skmk0m0skk0smm0Çàìåòèì, ÷òî íîìåðà óçëîâûõ íàïðÿæåíèé ñîâïàäàþò ñ íîìåðàìè óçëîâ ãðàôà ñõåìû è ýòè íàïðÿæåíèÿ âõîäÿò â âûðàæåíèå äëÿ íàïðÿæåíèÿ s-é âåòâè îáÿçàòåëüíî ñ ðàçíûìè çíàêàìè. Ïðèìåì ask = 1, åñëè íàïðÿæåíèå s-é âåòâè íàïðàâëåíî îò k-ãî óçëà, è ask = –1, åñëè íàïðÿæåíèå s-é âåòâè íàïðàâëåíî ê m-ìó óçëó.Åñëè ñîïîñòàâèòü ýòè ïðàâèëà ñ ïðàâèëàìè çàïîëíåíèÿ ìàòðèöû óçëîâûõ ñîåäèíåíèé A, òî ìîæíî çàìåòèòü, ÷òî ìàòðèöà-ñòîëáåö íàïðÿæåíèé âåòâåé ãðàôà ñõåìû ïðåäñòàâëÿåòñÿ ÷åðåç ìàòðèöó-ñòîëáåö óçëîâûõ íàïðÿæåíèé êàê ïðîèçâåäåíèåU& 10~tt.U = A U0 = AMU&q -1,0Äåéñòâèòåëüíî, ñòðîêè ìàòðèöû At îïðåäåëÿþòñÿ âåòâÿìè ãðàôà ñõåìû,à ñòîëáöû — óçëàìè, è ïîýòîìó, åñëè äàííàÿ âåòâü íå ñîåäèíåíà ñ îïîðíûì (èëèáàçèñíûì) óçëîì, òî â äàííîé ñòðîêå áóäóò òîëüêî äâà íåíóëåâûõ (åäèíè÷íûõ)ýëåìåíòà îáÿçàòåëüíî ñ ïðîòèâîïîëîæíûìè çíàêàìè.
Ïðîèçâåäåíèå äàííîé ìàòðèöû-ñòðîêè íà ìàòðèöó-ñòîëáåö óçëîâûõ íàïðÿæåíèé ðàâíî ðàçíîñòè äâóõ óçëîâûõ íàïðÿæåíèé, êîòîðàÿ è îïðåäåëÿåò íàïðÿæåíèå äàííîé îáîáùåííîé âåòâè.Äëÿ ôîðìèðîâàíèÿ ñèñòåìû óðàâíåíèé îòíîñèòåëüíî óçëîâûõ íàïðÿæåíèé~âûðàçèì U ÷åðåç ïàðàìåòðû ïàññèâíûõ è àêòèâíûõ ýëåìåíòîâ îáîáùåííîé âåòâè, òàê êàê â îáùåì ñëó÷àå òàêèå âåòâè ñîäåðæàò è èñòî÷íèêè ÝÄÑ, è èñòî÷íèêèòîêà.
Ïîëó÷èì~~U = U - E; I = I + Á è I = YU.Ñîãëàñíî ïåðâîìó çàêîíó Êèðõãîôà, äëÿ óçëîâ ãðàôà ñõåìû èìååì~AI = AI + AÁ = 0 èëè AYU = -AÁ.Ãëàâà 5. Ðàñ÷åò öåïåé ïðè ñèíóñîèäàëüíîì è ïîñòîÿííîì òîêàõ251~Íî U = U + E = At U0 + E, ïîýòîìóAYA t U 0 = -A(Á + YE).Ìû ïîëó÷èëè â ìàòðè÷íîé ôîðìå óðàâíåíèå äëÿ óçëîâûõ íàïðÿæåíèé (q – 1ñêàëÿðíûõ óðàâíåíèé), ñîäåðæàùåå ñëåäóþùèå ÷ëåíû:AYAt — êâàäðàòíàÿ ìàòðèöà óçëîâûõ ïðîâîäèìîñòåé ïîðÿäêà (q – 1) ´ (q – 1).Ýòó ìàòðèöó çàïèøåì â âèäåY11AYA t =Y12KY1, q -1Y21Y22KY2 , q -1,.
. . . . . . . . . . .K Yq -1, q -1Yq -1,1 Yq -1, 2ãäå Ykk — ñ î á ñ ò â å í í à ÿ ï ð î â î ä è ì î ñ ò ü k-ãî óçëà; Ykm — î á ù à ÿ ï ð î â î ä è ì î ñ ò ü óçëîâ k è m;AÁÁ — ìàòðèöà-ñòîëáåö ïîðÿäêà (q – 1) ´ 1, ñîñòîÿùàÿ èç ýëåìåíòîâ, ïðåäñòàâëÿþùèõ ñîáîé ñóììû òîêîâ èñòî÷íèêîâ òîêîâ âåòâåé, ñîåäèíåííûõ ñ äàííûì óçëîì, íîìåð êîòîðîãî îïðåäåëÿåò íîìåð ýëåìåíòà;A (YE) — ìàòðèöà-ñòîëáåö ïîðÿäêà (q – 1) ´ 1, ýëåìåíòû êîòîðîé ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ñóììû òîêîâ ýêâèâàëåíòíûõ èñòî÷íèêîâ òîêà, îáðàçîâàííûõ çà ñ÷åòïðåîáðàçîâàíèÿ èñòî÷íèêîâ ÝÄÑ (E) â âåòâÿõ â èñòî÷íèêè òîêà (YE).Ïðàâàÿ ÷àñòü ìàòðè÷íîãî ðàâåíñòâà, òàêèì îáðàçîì, îïðåäåëÿåò ñóììó òîêîâèñòî÷íèêîâ òîêîâ, êîòîðóþ çàïèøåì â âèäåÁ& 11Á& 22-A(Á + YE) =.MÁ&q -1, q -1Ðåøèâ òåì èëè èíûì ñïîñîáîì ñèñòåìó óðàâíåíèé îòíîñèòåëüíî óçëîâûõ íàïðÿæåíèé U 0 , ïîëó÷èì âîçìîæíîñòü îïðåäåëèòü íàïðÿæåíèÿ âñåõ âåòâåé ãðàôà~ñõåìû èç âûðàæåíèÿ U = AtU0, íàïðÿæåíèÿ íà ïàññèâíûõ ýëåìåíòàõ öåïè èç~ôîðìóëû U= E + U, òîêè â ýòèõ ýëåìåíòàõ I = YU è òîêè â îáîáùåííûõ âåòâÿõ~ãðàôà ñõåìû I = I + Á.Çäåñü, òàê æå êàê è â ìåòîäå êîíòóðíûõ òîêîâ, ïðîèçâåäåíèå AY (ïðè óñëîâèèäèàãîíàëüíîñòè ìàòðèöû Y) îïðåäåëèò ìàòðèöó, îòëè÷àþùóþñÿ îò A òåì, ÷òîâìåñòî åäèíèö â ñòîëáöàõ áóäóò êîìïëåêñíûå ïðîâîäèìîñòè, íîìåðà êîòîðûõñîâïàäàþò ñ íîìåðàìè ñòîëáöîâ (íîìåðàìè âåòâåé) ìàòðèöû A.
ÏðîèçâåäåíèåAY íà At îïðåäåëÿåò ýëåìåíòû ìàòðèöû óçëîâûõ ïðîâîäèìîñòåé. Ïðîèçâåäåíèåk-é ñòðîêè ìàòðèöû AY íà k-é ñòîëáåö ìàòðèöû At îïðåäåëèò ñîáñòâåííóþ ïðîâîäèìîñòü k-ãî óçëà, ðàâíóþ ñóììå êîìïëåêñíûõ ïðîâîäèìîñòåé âåòâåé, ñîåäèíåííûõ ñ k-ì óçëîì. Ïðîèçâåäåíèå k-é ñòðîêè ìàòðèöû AY íà m-é ñòîëáåö ìàòðèöû At îïðåäåëèò îáùóþ ïðîâîäèìîñòü óçëîâ k è m è áóäåò âñåãäà ðàâíî ñóììåïðîâîäèìîñòåé âåòâåé, ñîåäèíÿþùèõ óçëû k è m, âçÿòîé ñ îáðàòíûì çíàêîì. ðàçâåðíóòîé ôîðìå ñîâîêóïíîñòü óðàâíåíèé ïî ìåòîäó óçëîâûõ íàïðÿæåíèé èìååò âèä252×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåéY11U& 10 + Y12U& 20 +K + Y1, q -1U& q -1, 0 = Á& 11 ;Y21U& 10 + Y22U& 20 +K + Y2 , q -1U& q -1, 0 = Á& 22 ;. .
. . . . . . . . . . . . . .Yq -1,1U& 10 + Yq -1, 2U& 20 +K + Yq -1, q -1U& q -1, 0 = Á& q -1, q -1 .ÇäåñüYkk =påaj =1Y j ajk ;kjYk m =påaj =1pÁ k k = -å ak j (Á& j + Y j E& j ).Y j ajm ;kjj =1Ðåøèâ ýòó ñèñòåìó, íàéäåì óçëîâûå íàïðÿæåíèÿ, ïðè÷åì äëÿ k-ãî óçëà âåëè÷èíà U& k 0 áóäåò ðàâíàD q -1, kDDU& k0 = Á& 11 1k + Á& 22 2 k +K + Á& q -1, q -1,DDDãäå D — ãëàâíûé îïðåäåëèòåëü ñèñòåìû è Dkm — åãî àëãåáðàè÷åñêîå äîïîëíåíèå. ìàòðè÷íîé ôîðìå ðåøåíèå ñèñòåìû óçëîâûõ óðàâíåíèé çàïèñûâàåòñÿ â âèäåU 0 = -(AYA t ) –1 A(Á + YE),ãäå (AYAt)–1(AYAt) = 1, ò. å.
(AYAt)–1 — îáðàòíàÿ ìàòðèöà óçëîâûõ ïðîâîäèìîñòåé.Åñëè ìàòðèöó óçëîâûõ ïðîâîäèìîñòåé çàïèñàòü â âèäå || Yjk ||, òî îáðàòíóþ åéD jk–11ìàòðèöó çàïèøåì â ôîðìå Y jk==D jk , ãäå D è Djk — îïðåäåëèòåëüDDè åãî àëãåáðàè÷åñêîå äîïîëíåíèå. Ïî ðàçìåðíîñòè ýëåìåíòû îáðàòíîé ìàòðèöûïðîâîäèìîñòåé ÿâëÿþòñÿ êîìïëåêñíûìè ñîïðîòèâëåíèÿìè. êà÷åñòâå ïðèìåðà ñîñòàâèì óðàâíåíèÿ ïî ìåòîäó óçëîâûõ íàïðÿæåíèé äëÿöåïè, èçîáðàæåííîé íà ðèñ. 5.14, à, â êîòîðîé èìåþòñÿ èñòî÷íèêè ÝÄÑ è òîêà:Á1 = Á1m sin(wt + y 1 ); e5 = E 5 m sin(wt + y 5 );e6 = E 6 m sin(wt + y 6 ); e7 = E 7 m sin(wt + y 7 );e8 = E 8 m sin(wt + y 8 ).Ïðåæäå âñåãî çàïèøåì â êîìïëåêñíîé ôîðìå âñå èñõîäíûå äàííûå, ñîîòâåòñòâóþùèå ñõåìå çàìåùåíèÿ öåïè (ðèñ. 5.14, á):ÁÁ& 1 = 1m e jy1 = Á1 e jy1 ; E& 5 = E 5 e jy5 ; E& 6 = E 6 e jy 6 ; E& 7 = E 7 e jy7 ;2&E = E e jy8 ; Y = 1 (r + jwL ); Y = 1 r ; Y = 1 ( jwL );8811æ1Y4 = 1 çç r4 + jwL 4 +jwC 4è1223öæ1÷÷ ; Y5 = 1 çç r5 +jwC 5øèæ1 ö÷.Y7 = 1 r7 ; Y8 = 1 çç jwL 8 +jC 8 ÷øwè3ö÷÷ ; Y6 = jwC 6 ;øÃëàâà 5.
Ðàñ÷åò öåïåé ïðè ñèíóñîèäàëüíîì è ïîñòîÿííîì òîêàõ253Ðèñ. 5.14Ìàòðèöà ñîåäèíåíèé äëÿ ãðàôà ñõåìû (ðèñ. 5.14, â) ðàâíà (çäåñü, êàê è ðàíåå,ïóñòûå êëåòêè îáîçíà÷àþò íóëåâûå ýëåìåíòû)123451 –1À=2311–11678–1111–1–1.–1Êðîìå òîãî, ìîæåì çàïèñàòü~~ ~~~~~~~U t = U1 U 2 U 3 U 4 U 5 U 6 U 7 U 8 ;E t = 0 0 0 0 E& 5E& 6E& 7E& 8 ;Y = diag (Y1 Y2 Y3 Y4 Y5 Y6 Y7 Y8 );I t = I&1 I&2 I&3 I&4 I&5 I&6 I&7 I&8 ;Á t = Á& 1 0 0 0 0 0 0 0 ;U t0 = U& 10 U& 20 U& 30 .Çäåñü äëÿ óäîáñòâà çàïèñè âìåñòî ìàòðèöû-ñòîëáöà íàïðÿæåíèé îáîáùåííûõ~âåòâåé U çàïèñàíà åå òðàíñïîíèðîâàííàÿ ìàòðèöà â âèäå ìàòðèöû-ñòðîêè.
Àíàëîãè÷íàÿ çàïèñü ñäåëàíà äëÿ îñòàëüíûõ ìàòðèö-ñòîëáöîâ. Òàêæå äëÿ óäîáñòâà254×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåéè êâàäðàòíàÿ äèàãîíàëüíàÿ ìàòðèöà ïðîâîäèìîñòåé öåïè Y çàïèñàíà â êðàòêîéôîðìå.Èìåÿ â âèäó îñîáåííîñòè ìàòðè÷íîãî ïðîèçâåäåíèÿ AY è äèàãîíàëüíûé õàðàêòåð Y-ìàòðèöû, ýëåìåíòû ìàòðèöû AY ìîæíî çàïèñàòü íåïîñðåäñòâåííî ïîìàòðèöå A (ñì. § 5.11). Èìååì123451 –Y1AY = 2Y2Y3 –Y41 Y1 + Y6 + Y7 + Y83 – Y878–Y6Y7Y8Y6 –Y7Y4 –Y53è AYAt = 2 – Y6 – Y76–Y8– Y6 – Y 7– Y8Y2 + Y 3 + Y 4 + Y 6 + Y 7– Y4– Y4Y4 + Y 5 + Y 8.Ïðîèçâåäåíèå AY íà At ìîæíî, êîíå÷íî, ïîëó÷èòü ïî ôîðìàëüíûì ïðàâèëàììàòðè÷íîãî óìíîæåíèÿ. Íî ýòîò æå ðåçóëüòàò ìîæíî ïîëó÷èòü ïðîñòûì ñîïîñòàâëåíèåì ñòðîê ìàòðèöû A (èëè AY), êàê ýòî ñäåëàíî â § 5.11 ñ ìàòðèöåé êîíòóðîâ.Ïðîèçâåäåíèå YE åñòü ìàòðèöà-ñòîëáåö, êîòîðàÿ â òðàíñïîíèðîâàííîì âèäåðàâíà(YE) t = 0 0 0 0 Y5 E& 5 Y6 E& 6 Y7 E& 7 Y8 E& 8 ,÷òî î÷åíü ïðîñòî çàïèñàòü íåïîñðåäñòâåííî ïî ìàòðèöå E.Òàê êàê (Á + YE) t = Á& 1 0 0 0 Y5 E& 5 Y6 E& 6 Y7 E& 7 Y8 E& 8 , òî1 – Á& 1 – Y6 E& 6 + Y7 E& 7 + Y8 E& 8A(Á + YE) = 2 Y6 E& 6 – Y7 E& 73 – Y5 E& 5 – Y8 E& 8Á& 11= –Á& 22Á& 33îïðåäåëÿåò ìàòðèöó-ñòîëáåö, ýëåìåíòû êîòîðîé ÿâëÿþòñÿ ñóììîé òåõ ýëåìåíòîâìàòðèöû (Á + YE), íîìåðà êîòîðûõ ñîâïàäàþò ñ íîìåðàìè ñòîëáöîâ ìàòðèöû Añ íåíóëåâûìè ýëåìåíòàìè.
Íàïðèìåð, âî âòîðîé ñòðîêå ìàòðèöû A èìåþòñÿëèøü ñëåäóþùèå íåíóëåâûå ýëåìåíòû: a22 = 1, a23 = 1, a24 = –1, a26 = 1, a27 = –1.Ñëåäîâàòåëüíî, èìååì ñóììó Y6E6 – Y7E7. ðåçóëüòàòå âñåõ îïåðàöèé ïîëó÷àåìÃëàâà 5. Ðàñ÷åò öåïåé ïðè ñèíóñîèäàëüíîì è ïîñòîÿííîì òîêàõAYAtU0 =Y11Y12Y13Y21Y22Y23Y31èëèY32U& 10U&´=20U& 30Y33255Á& 11Á&22Á& 33Y11U& 10 + Y12U& 20 + Y13U& 30 = Á& 11 ;Y21U& 10 + Y22U& 20 + Y23U& 30 = Á& 22 ;Y U& + Y U& + Y U& = Á& ,31103220333033ãäåY11 = Y1 + Y6 + Y7 + Y8 ; Y22 = Y2 + Y3 + Y4 + Y6 + Y7 ;Á& 11Y12 = Y21 = -Y6 - Y7 ; Y13 = Y31 = -Y8 ;= Á& 1 + Y6 E& 6 - Y7 E& 7 - Y8 E& 8 ; Á& 22 = -Y6 E& 6 + Y7 E& 7 ;Y33 = Y4 + Y5 + Y8 ;Y23 = Y32 = -Y4 ;Á& 33 = Y5 E& 5 + Y8 E& 8 .Òàêèì îáðàçîì, ñîáñòâåííàÿ ïðîâîäèìîñòü óçëîâ åñòü ñóììà ïðîâîäèìîñòåé,ïðèñîåäèíåííûõ ê äàííîìó óçëó, à îáùàÿ ïðîâîäèìîñòü óçëîâ åñòü ñóììà ïðîâîäèìîñòåé âåòâåé, ñîåäèíÿþùèõ äàííóþ ïàðó óçëîâ, âçÿòàÿ ñ îáðàòíûì çíàêîì.Ïðè íàëè÷èè â öåïè òîëüêî îäíîãî èñòî÷íèêà òîêà Á& 0k , ïîäêëþ÷åííîãî ìåæäó îïîðíûì è k-ì óçëîì, èìååìDDDU& 10 = Á& 0 k 1k ; K ; U& k 0 = Á& 0 k kk ; K ; U& m 0 = Á& 0 k mk .DDDÂåëè÷èíó D/Dkk, èìåþùóþ ðàçìåðíîñòü ïðîâîäèìîñòè, íàçîâåì â õ î ä í î éï ð î â î ä è ì î ñ ò ü þ ìåæäó îïîðíûì è k-ì óçëàìè, à âåëè÷èíó D/Dmk — â ç à è ì í î é ï ð î â î ä è ì î ñ ò ü þ ìåæäó k-ì è m-ì óçëàìè.5.13.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
