Теоретические основы электротехники-1 (855784), страница 52
Текст из файла (страница 52)
(Ð) Íà ðèñ. Â4.22 èçîáðàæåíû äâå ýëåêòðè÷åñêèå öåïè. Óêàæèòå äèàïàçîí èçìåíåíèÿ ÷àñòîòû w òîêà, ïðè êîòîðîì ýòè öåïè ìîãóò ðàññìàòðèâàòüñÿ êàê ïîñëåäîâàòåëüíûå rL-öåïè.2. Èçâåñòíû ðåàêòèâíàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ ïðèëîæåííîãî ê öåïè íàïðÿæåíèÿ Uð, ðåàêòèâíàÿ ñîñòàâëÿþùàÿòîêà öåïè Ið, àêòèâíàÿ ìîùíîñòü Ð, ïîòðåáëÿåìàÿöåïüþ. Ïîëó÷èòå âûðàæåíèÿ äëÿ îïðåäåëåíèÿ ñëåäóþùèõ âåëè÷èí: cos j, r, x, z, à òàêæå àêòèâíûõñîñòàâëÿþùèõ òîêà è íàïðÿæåíèÿ.Ðèñ. Â4.223. (Ð) Öåïü ñîñòîèò èç ïîñëåäîâàòåëüíî ñîåäèíåííûõ èñòî÷íèêà ñèíóñîèäàëüíîé ÝÄÑ, äåéñòâóþùåå çíà÷åíèå êîòîðîé ðàâíî Å, è äâóõïîëþñíèêà, ýêâèâàëåíòíûå àêòèâíîå è ðåàêòèâíîå ñîïðîòèâëåíèÿ êîòîðîãî ðàâíû, ñîîòâåòñòâåííî, rý è xý.
Îïðåäåëèòå àêòèâíóþ Ià è ðåàêòèâíóþ Ið ñîñòàâëÿþùèå òîêà äâóõïîëþñíèêà.Ãëàâà ïÿòàÿÌåòîäû ðàñ÷åòà ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåéïðè óñòàíîâèâøèõñÿ ñèíóñîèäàëüíîìè ïîñòîÿííîì òîêàõ5.1. Êîìïëåêñíûé ìåòîä íàñòîÿùåé ãëàâå ðàññìîòðèì ìåòîäû ðàñ÷åòà óñòàíîâèâøèõñÿ ðåæèìîâ â ëèíåéíîé ýëåêòðè÷åñêîé öåïè, êîãäà ÝÄÑ, òîêè è íàïðÿæåíèÿ ÿâëÿþòñÿ ñèíóñîèäàëüíûìè ôóíêöèÿìè âðåìåíè. Êàê áûëî îòìå÷åíî ðàíåå, îïðåäåëåíèå òîêîâ èíàïðÿæåíèé â òàêèõ öåïÿõ ñâÿçàíî ñ íàõîæäåíèåì ÷àñòíûõ ðåøåíèé íåîäíîðîäíûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé, çàïèñàííûõ íà îñíîâå çàêîíîâ Êèðõãîôà.Âû÷èñëåíèå íåïîñðåäñòâåííî ïî ïåðâîìó çàêîíó Êèðõãîôà íåêîòîðîãî òîêàïî äðóãèì óæå íàéäåííûì òîêàì, ñõîäÿùèìñÿ ê äàííîìó óçëó öåïè, èëè âû÷èñëåíèå ïî âòîðîìó çàêîíó Êèðõãîôà ïàäåíèÿ íàïðÿæåíèÿ íà íåêîòîðîì ó÷àñòêåêîíòóðà öåïè ïî óæå íàéäåííûì ïàäåíèÿì íàïðÿæåíèÿ íà äðóãèõ ó÷àñòêàõ êîíòóðà è ÝÄÑ, âõîäÿùèì â äàííûé êîíòóð öåïè, òðåáóþò ñóììèðîâàíèÿ ñèíóñîèäàëüíûõ òîêîâ èëè íàïðÿæåíèé è ÝÄÑ.
Îäíàêî ýòà îïåðàöèÿ ñâÿçàíà ñ ãðîìîçäêèìè è òðóäîåìêèìè âû÷èñëåíèÿìè.Ãðîìîçäêîñòü ïîäîáíûõ âû÷èñëåíèé ÿâëÿåòñÿ ñëåäñòâèåì òîãî, ÷òî ñèíóñîèäàëüíàÿ âåëè÷èíà — òîê, íàïðÿæåíèå, ÝÄÑ — ïðè çàäàííîé ÷àñòîòå w îïðåäåëÿåòñÿ äâóìÿ âåëè÷èíàìè — à ì ï ë è ò ó ä î é è í à ÷ à ë ü í î é ô à ç î é.Ñóùåñòâåííîå óïðîùåíèå äîñòèãàåòñÿ èçîáðàæåíèåì ñèíóñîèäàëüíûõ ôóíê& òàê êàê êàæäîå êîìïëåêñíîå ÷èñëî ñîöèé âðåìåíè êîìïëåêñíûìè ÷èñëàìè A,äåðæèò â ñåáå äâå âåëè÷èíû — ì î ä ó ë ü A è à ð ã ó ì å í ò yA ïðè ïîêàçàòåëüíîéôîðìå çàïèñèA& = Ae jyAèëè â å ù å ñ ò â å í í ó þ a1 = A cos yA è ì í è ì ó þ ja2 = jA sin yA ñîñòàâëÿþùèåïðè àëãåáðàè÷åñêîé è òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ôîðìàõ çàïèñèA& = a1 + ja2 = A cos y A + jA sin y A ,ãäå j = -1 è e — îñíîâàíèå íàòóðàëüíûõ ëîãàðèôìîâ.Ìåòîä, îñíîâàííûé íà ñèìâîëè÷åñêîì èçîáðàæåíèè äåéñòâèòåëüíûõ ñèíóñîèäàëüíûõ ôóíêöèé âðåìåíè êîìïëåêñíûìè ÷èñëàìè, ââåäåííûé â òåîðèþïåðåìåííûõ òîêîâ Øòåéíìåöîì, à çàòåì â øèðîêîå óïîòðåáëåíèå â Ðîññèè àêàäåìèêîì Â.
Ô. Ìèòêåâè÷åì, áóäåì íàçûâàòü ê î ì ï ë å ê ñ í û ì ì å ò î ä î ì. Åãîíàçûâàþò òàêæå ñ è ì â î ë è ÷ å ñ ê è ì ì å ò î ä î ì, òàê êàê îí îñíîâàí íà ñèìâîëè÷åñêîì èçîáðàæåíèè äåéñòâèòåëüíûõ ñèíóñîèäàëüíûõ ôóíêöèé âðåìåíèêîìïëåêñíûìè ÷èñëàìè.Äëÿ âåùåñòâåííîé è ìíèìîé ÷àñòåé êîìïëåêñíîãî ÷èñëà óïîòðåáëÿþò òàêæå& a2 = Im (A).&îáîçíà÷åíèÿ a1 = Re (A),Ñóùåñòâóþò ñëåäóþùèå î÷åâèäíûå ñâÿçè:aa1 = Re (A& ) = A cos y A ; a2 = Im (A& ) = A sin y A ; A = a12 + a22 ; y A = arctg 2 .a1Ãëàâà 5.
Ðàñ÷åò öåïåé ïðè ñèíóñîèäàëüíîì è ïîñòîÿííîì òîêàõ225Çàìåòèì òàêæå, ÷òîjpj = e 2;p-j1= - j = e 2 ; j 2 = -1.jÄâå êîìïëåêñíûå âåëè÷èíû, èìåþùèå ðàâíûå ìîäóëè è ðàâíûå, íî ïðîòèâîïîëîæíûå ïî çíàêó àðãóìåíòû, íàçûâàþò ñ î ï ð ÿ æ å í í û ì è. Åñëè èìååì êîìïëåêñíîå ÷èñëî A& = Ae jyA = a1 + ja2, òî ñîïðÿæåííîå åìó êîìïëåêñíîå ÷èñëî çàïè*øåòñÿ â ôîðìå A = Ae - jyA = a1 – ja2. Âàæíî îòìåòèòü ñëåäóþùèå ñâîéñòâàñîïðÿæåííûõ êîìïëåêñíûõ ÷èñåë:& * = Ae jyA Ae - jyA = A 2 ;AA*1Re (A& ) = (A& + A );2Im (A& ) =1 & *(A - A ).2jÏóñòü èìååòñÿ ñèíóñîèäàëüíî èçìåíÿþùèéñÿ òîê i = Im sin (wt + yi). Åãî ìîæíî ïðåäñòàâèòü â ôîðìåi = I m sin(wt + y i ) =zj( wt +y i )- j( wt +y i ) ù1 éIe- I mz emêú = Im2jëûj( wt +y i )éêI m eëùú,û÷òî âèäíî òàêæå èç ñîîòíîøåíèÿImej( wt +y i )= I m cos(wt + y i ) + jI m sin(wt + y i ).Êîìïëåêñíîå ÷èñëîImej( wt +y i )= I m e jyi e jwt = I&m e jwtè áóäåì ðàññìàòðèâàòü êàê ñèìâîëè÷åñêîå èçîáðàæåíèå äåéñòâèòåëüíîãî ñèíóñîèäàëüíîãî òîêà i = Im sin (wt + yi); îíî, òàê æå êàê è âåëè÷èíà i, îïðåäåëÿåòñÿïðè çàäàííîé ÷àñòîòå w äâóìÿ âåëè÷èíàìè — àìïëèòóäîé Im è íà÷àëüíîé ôà çîé yi.
Êîìïëåêñíîå ÷èñëî I m e jyi íàçûâàþò ê î ì ï ë å ê ñ í î é à ì ï ë è ò ó ä î éòîêà. Ââîäÿ çíàê èçîáðàæåíèÿ Þ, áóäåì ïèñàòüi = I m sin (wt + y i ) Þ I m ej( wt +y i )= I&m e jwt .Òàêèì îáðàçîì, äëÿ ïåðåõîäà îò äåéñòâèòåëüíîé ñèíóñîèäàëüíîé ôóíêöèè,íàçîâåì åå îðèãèíàëîì, ê åå èçîáðàæàþùåé êîìïëåêñíîé âåëè÷èíå íåîáõîäèìîìîäóëü ïîñëåäíåé âçÿòü ðàâíûì àìïëèòóäå ñèíóñîèäàëüíîé ôóíêöèè è àðãóìåíò âçÿòü ðàâíûì àðãóìåíòó ñèíóñîèäàëüíîé ôóíêöèè.Äëÿ îáðàòíîãî ïåðåõîäà îò êîìïëåêñíîãî ÷èñëà, èçîáðàæàþùåãî äåéñòâèòåëüíóþ ôóíêöèþ, ê ñàìîé äåéñòâèòåëüíîé ôóíêöèè, ò.
å. ê îðèãèíàëó, íåîáõîäèìîâçÿòü êîýôôèöèåíò ïðè j ìíèìîé ÷àñòè êîìïëåêñíîãî ÷èñëà.Ðàññìîòðèì òåïåðü âûðàæåíèå äëÿ ïðîèçâîäíîé ïî âðåìåíè îò ñèíóñîèäàëüíîãî òîêàdipöæ= wI m cos (wt + y i ) = wI m sin ç wt + y i + ÷ .dt2èøÈç òîëüêî ÷òî ñêàçàííîãî âûòåêàåò, ÷òî åå èçîáðàæåíèå áóäåò èìåòü âèä226×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåéwI m eæpöj çç wt +y i + ÷÷2øèjp= wI m e 2 ej( wt +y i )= jwI m ej( wt +y i )= jwI&m e jwt .Òàêèì îáðàçîì,diÞ jwI&m e jwt ,dtò.
å. îïåðàöèÿ âçÿòèÿ ïðîèçâîäíîé îò äåéñòâèòåëüíîé ôóíêöèè çàìåíÿåòñÿ óìíîæåíèåì íà jw åå êîìïëåêñíîãî èçîáðàæåíèÿ. Ñîîòâåòñòâåííî, äëÿ ïðîèçâîäíîén-ãî ïîðÿäêà èìååìd niÞ ( jw) n I&m e jwt .ndtÐàññìîòðèì âûðàæåíèå äëÿ çàðÿäà, ðàâíîãî èíòåãðàëó îò ñèíóñîèäàëüíîãîòîêà:tq (t) = ò i dt + q (0) = 0IméIùcos (wt + y i ) + ê m cos y i + q (0)ú.wëwûÒàê êàê ìû ðàññìàòðèâàåì òîëüêî ñëó÷àè, êîãäà ïðèëîæåííîå ê çàæèìàìöåïè íàïðÿæåíèå è ÝÄÑ, äåéñòâóþùèå â öåïè, ñèíóñîèäàëüíû è íå ñîäåðæàò ïîñòîÿííûõ ñîñòàâëÿþùèõ, òî, êàê óæå áûëî ïîëó÷åíî â § 4.4, íàïðÿæåíèÿ íà êîíäåíñàòîðàõ, à ñëåäîâàòåëüíî, è çàðÿäû íà êîíäåíñàòîðàõ òàêæå íå ñîäåðæàò ïîñòîÿííûõ ñîñòàâëÿþùèõ è, ñîîòâåòñòâåííî,éI mùê w cos y i + q (0)ú = 0.ëûÒàêèì îáðàçîì,tò i dt + q(0) = 0ImIpöæcos (wt + y i ) = m sin ç wt + y i - ÷.ww2øèÈñêîìîå èçîáðàæåíèå áóäåò èìåòü âèätò i dt + q(0) Þ0æpöpI m j ççè wt+yi - 2 ÷÷ø I m - j 2 j( wt+yi ) I m jyi jwt I&m jwte=e e=e e =e ,wwjwjwò.
å. îïåðàöèÿ èíòåãðèðîâàíèÿ äåéñòâèòåëüíîé ôóíêöèè çàìåíÿåòñÿ äåëåíèåì íàjw åå êîìïëåêñíîãî èçîáðàæåíèÿ.Òàêèì îáðàçîì, êîìïëåêñíûé ìåòîä ÿâëÿåòñÿ ìåòîäîì àëãåáðàèçàöèè äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé. Ñóùíîñòü åãî çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî ñíà÷àëà âñå çàäàííûå ôóíêöèè âðåìåíè çàìåíÿåì èõ êîìïëåêñíûìè èçîáðàæåíèÿìè è âñåäèôôåðåíöèàëüíûå è àëãåáðàè÷åñêèå óðàâíåíèÿ, ñîñòàâëåííûå ïî çàêîíàìÊèðõãîôà, çàìåíÿåì àëãåáðàè÷åñêèìè óðàâíåíèÿìè â êîìïëåêñíîé ôîðìå, ñîäåðæàùèìè êîìïëåêñíûå âåëè÷èíû çàäàííûõ è èñêîìûõ ôóíêöèé è èõ ïðîèçâîäíûõ è èíòåãðàëîâ. Ðåøàÿ ýòè àëãåáðàè÷åñêèå óðàâíåíèÿ, íàõîäèì êîìïëåêñíûå âûðàæåíèÿ èñêîìûõ ôóíêöèé è îò íèõ ïåðåõîäèì ê îðèãèíàëàì ýòèõôóíêöèé.Ãëàâà 5.
Ðàñ÷åò öåïåé ïðè ñèíóñîèäàëüíîì è ïîñòîÿííîì òîêàõ227 âèäå ïðèìåðà ðàññìîòðèì óðàâíåíèå Êèðõãîôà äëÿ öåïè ñ ïîñëåäîâàòåëüíîñîåäèíåííûìè ó÷àñòêàìè r, L è C, ê çàæèìàì êîòîðîé ïðèëîæåíî íàïðÿæåíèåu = Um sin (wt + yu). Îíî èìååò âèäri + Ltùdi 1 é+ êò i dt + q (0)ú = u.dt C êë 0úûtÈçîáðàçèâ íàïðÿæåíèå u, òîê i, åãî ïðîèçâîäíóþ di/dt è èíòåãðàë ò i dt + q(0)0èõ êîìïëåêñíûìè âûðàæåíèÿìèU& m e jwt , I&m e jwt , jwI&m e jwtèI&m jwte ,jwãäå U& m = U m e jyu è I&m = I m e jyi , ïîëó÷èì àëãåáðàè÷åñêîå óðàâíåíèå â êîìïëåêñíîéôîðìå1 & jwtrI&m e jwt + jwLI&m e jwt +I m e = U& m e jwt .jwCÑîêðàòèâ åãî íà ejwt, íàéäåìæ1 ö &I&m çç r + jwL +÷ =UmjwC ÷øèèëèI&m =U& m.r + jwL + 1 ( jwC)Èç ïîñëåäíåãî óðàâíåíèÿ ëåãêî îïðåäåëÿåòñÿ êîìïëåêñíàÿ àìïëèòóäà òîêàI&m = I m e jyi , íàéäÿ êîòîðóþ, ñðàçó ìîæíî íàïèñàòü ðàçûñêèâàåìîå ÷àñòíîå ðåøåíèå, ò.
å. âûðàæåíèå äëÿ ìãíîâåííîãî òîêà óñòàíîâèâøåãîñÿ ðåæèìà, à èìåííîi = Im (I& e jwt ) = I (sin wt + y ).mmiÍàñ îáû÷íî èíòåðåñóþò äåéñòâóþùèå òîêè è íàïðÿæåíèÿ. Òàê êàê äåéñòâóþùèå ñèíóñîèäàëüíûå òîêè è íàïðÿæåíèÿ ìåíüøå èõ àìïëèòóä â 2 ðàç, òî îáû÷íî âìåñòî êîìïëåêñíûõ àìïëèòóä ðàññìàòðèâàþò ê î ì ï ë å ê ñ í û å ä å é ñ ò â ó þ ù è å â å ë è ÷ è í û:I&U&I& = m = Ie jyi ; U& = m = Ue jyu .22 äàëüíåéøåì êîìïëåêñíûå äåéñòâóþùèå òîê, íàïðÿæåíèå èëè ÝÄÑ áóäåìäëÿ êðàòêîñòè èìåíîâàòü ê î ì ï ë å ê ñ í û ì è ò î ê î ì , í à ï ð ÿ æ å í è å ì èëèÝÄÑ.Èíòåðåñóÿñü òîëüêî äåéñòâóþùèìè òîêàìè è íàïðÿæåíèÿìè è èõ íà÷àëüíûìè ôàçàìè, à ñîîòâåòñòâåííî, è ñäâèãàìè ôàç, áóäåì îïóñêàòü ìíîæèòåëü ejwt.Óñòàíîâèì ñîîòâåòñòâèå èçîáðàæåíèé ñèíóñîèäàëüíûõ òîêîâ, íàïðÿæåíèéè ÝÄÑ êîìïëåêñíûìè äåéñòâóþùèìè çíà÷åíèÿìè ñ èõ èçîáðàæåíèÿìè ñ ïîìîùüþ âåêòîðîâ.228×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåéÁóäåì îòêëàäûâàòü âåêòîðû â êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè. Ïî âåðòèêàëüíîé îñè,íàçûâàåìîé î ñ ü þ â å ù å ñ ò â å í í û õ, îòêëàäûâàåì âåùåñòâåííûå ÷èñëà.
Ïî ãîðèçîíòàëüíîé îñè, íàçûâàåìîé î ñ ü þ ì í è ì û õ, îòêëàäûâàåì ìíèìûå ÷èñëà.Ïîëîæèòåëüíûå íàïðàâëåíèÿ îñåé áóäåì îòìå÷àòü çíàêàìè «+1» è «+j» (ðèñ. 5.1).Ïîêàçàííàÿ íà ðèñ. 5.1 îðèåíòàöèÿ îñåé îáû÷íî ïðèíèìàåòñÿ ïðè ïîñòðîåíèèâåêòîðíûõ äèàãðàìì.Óñëîâèìñÿ íà÷àëà âåêòîðîâ ñîâìåùàòü ñ íà÷àëîì êîîðäèíàò,äëèíû âåêòîðîâ â ñîîòâåòñòâóþùåì ìàñøòàáå áðàòü ðàâíûìèäåéñòâóþùèì òîêó, íàïðÿæåíèþ èëè ÝÄÑ è óãëû ìåæäó îñüþâåùåñòâåííûõ è âåêòîðàìè ïðèíèìàòü ðàâíûìè íà÷àëüíûì ôàçàì ñîîòâåòñòâóþùèõ âåëè÷èí. Ïðè ýòèõ óñëîâèÿõ êàæäîé êîìïëåêñíîé âåëè÷èíå ñîîòâåòñòâóåò îïðåäåëåííûé âåêòîð. Ñîïðÿæåííûì êîìïëåêñíûì ÷èñëàì ñîîòâåòñòâóþò âåêòîðû,ÿâëÿþùèåñÿ çåðêàëüíûìè èçîáðàæåíèÿìè äðóã äðóãà îòíîñèÐèñ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
