Теоретические основы электротехники-1 (855784), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Ðàçóìååòñÿ, òàêîé çàêîíîìåðíîñòè íå áóäåò ïðèîòñóòñòâèè ñîâïàäåíèÿ íåíóëåâûõ ýëåìåíòîâ ó ìàòðèö CZ è Ct, ÷òî ìîæåò áûòü,åñëè Z — íåñèììåòðè÷íàÿ ìàòðèöà (äèàãîíàëüíàÿ ìàòðèöà ñèììåòðè÷íà).Ñòðîêà ìàòðèöû C îïðåäåëÿåò âåòâè, âõîäÿùèå â äàííûé êîíòóð, ïîýòîìóýëåìåíò Zkk, âû÷èñëÿåìûé êàê ïðîèçâåäåíèå k-é ñòðîêè ìàòðèöû CZ íà k-é ñòîëáåö ìàòðèöû Ct, îïðåäåëèò ñ î á ñ ò â å í í î å ñ î ï ð î ò è â ë å í è å k-ãî êîíòóðà,ðàâíîå ñóììå âñåõ êîìïëåêñíûõ ñîïðîòèâëåíèé âåòâåé, âõîäÿùèõ â k-é êîíòóð.Òî÷íî òàê æå ïðîèçâåäåíèå k-é ñòðîêè ìàòðèöû CZ íà m-é ñòîëáåö ìàòðèöû Ctîïðåäåëèò î á ù å å ñ î ï ð î ò è â ë å í è å ê î í ò ó ð î â k è m, ðàâíîå ñóììå êîìïëåêñíûõ ñîïðîòèâëåíèé òåõ âåòâåé äåðåâà, êîòîðûå âõîäÿò â k-é è â m-é êîíòóðû. Ïðè ýòîì ñîïðîòèâëåíèÿ òåõ âåòâåé, êîíòóðíûå òîêè â êîòîðûõ ñîâïàäàþòïî íàïðàâëåíèþ, âîéäóò â ñóììó ñî çíàêîì «ïëþñ», â ïðîòèâíîì ñëó÷àå — ñîçíàêîì «ìèíóñ».Óðàâíåíèÿ îòíîñèòåëüíî êîíòóðíûõ òîêîâ äëÿ íå î÷åíü ñëîæíûõ öåïåé ìîæíîñîñòàâèòü íåïîñðåäñòâåííî, ðàññìàòðèâàÿ ñõåìó öåïè.
Äëÿ ýòîãî ñëåäóåò âûäåëèòü êîíòóðû, ïî êîòîðûì ïðîõîäÿò ýòè òîêè. Âûäåëèì â êà÷åñòâå òàêîâûõ òîêèI&I , I&II , I&III , ïîêàçàííûå íà ðèñ. 5.10. Äëÿ íèõ ìîæíî ñîñòàâèòü ñèñòåìó èç òðåõ óðàâíåíèé. Äëÿ ñîñòàâëåíèÿ ñèñòåìû óðàâíåíèé îòíîñèòåëüíî n êîíòóðíûõ òîêîâïðîíóìåðóåì êîíòóðíûå òîêè îò 1 äî n è âûáåðåì êîíòóðû òàêèì îáðàçîì, ÷òîáûâ íèõ îáÿçàòåëüíî âõîäèëà êàêàÿ-ëèáî íîâàÿ âåòâü (ïðîùå âñåãî â êà÷åñòâå êîíòóðíûõ òîêîâ âûáèðàòü òîêè â ñâÿçÿõ è íóìåðîâàòü ñâÿçè îò 1 äî n).
Âûáåðåì ïðîèçâîëüíî ïîëîæèòåëüíûå íàïðàâëåíèÿ îáõîäîâ êîíòóðîâ è áóäåì ñ÷èòàòü ýòè íàïðàâëåíèÿ òàêæå ïîëîæèòåëüíûìè íàïðàâëåíèÿìè êîíòóðíûõ òîêîâ. Îáîçíà÷èì÷åðåç E& kk ñóììó ÝÄÑ, âõîäÿùèõ â êîíòóð k. ÝÄÑ, íàïðàâëåíèå êîòîðûõ ñîâïàäàåòñ íàïðàâëåíèåì îáõîäà, ñëåäóåò áðàòü ñî çíàêîì «ïëþñ», à íåñîâïàäàþùèå — ñîçíàêîì «ìèíóñ». Îáîçíà÷èì ÷åðåç Zkk ñóììó ñîïðîòèâëåíèé, âõîäÿùèõ â êîíòóð k,è íàçîâåì âåëè÷èíó Zkk ñîáñòâåííûì ñîïðîòèâëåíèåì êîíòóðà. Ñóììó ñîïðîòèâëåíèé â îáùåé äëÿ êîíòóðîâ k è m âåòâè îáîçíà÷èì ÷åðåç Zkm èëè Zmk è íàçîâåì îáùèìñîïðîòèâëåíèåì êîíòóðîâ k è m.
Ñîãëàñíî âòîðîìó çàêîíó Êèðõãîôà, ïîëó÷àåì äëÿn íåçàâèñèìûõ êîíòóðîâ ñëåäóþùóþ ñèñòåìó èç n ëèíåéíûõ óðàâíåíèé:Z 11 I&1 + Z 12 I&2 +K + Z 1n I&n = E& 11 ;Z 21 I&1 + Z 22 I&2 +K + Z 2 n I&n = E& 22 ;. . . . . . . . . . . . . . . .Z n1 I&1 + Z n 2 I&2 +K + Z nn I&n = E& nn .Ñîñòàâëåíèå òàêèõ óðàâíåíèé, ñîäåðæàùèõ n êîíòóðíûõ òîêîâ, è ðåøåíèå èõîòíîñèòåëüíî ýòèõ òîêîâ è ÿâëÿåòñÿ ñîäåðæàíèåì ìåòîäà êîíòóðíûõ òîêîâ.Ãëàâà 5. Ðàñ÷åò öåïåé ïðè ñèíóñîèäàëüíîì è ïîñòîÿííîì òîêàõ247Äëÿ ñîáëþäåíèÿ åäèíîîáðàçèÿ â íàïèñàíèè óðàâíåíèé ïåðåä âñåìè ÷ëåíàìè,ñîäåðæàùèìè îáùèå ñîïðîòèâëåíèÿ Zkm, ñòàâèì çíàê «ïëþñ».
Ïðè ýòîì ñëåäóåòñ÷èòàòü Zkm = Zmk = rkm + jxkm, åñëè óñëîâíûå ïîëîæèòåëüíûå íàïðàâëåíèÿ êîíòóðíûõ òîêîâ â îáùåé âåòâè êîíòóðîâ k è m ñîâïàäàþò, è Zkm = Zmk = – rkm – jxkm,åñëè îíè ïðîòèâîïîëîæíû.  ýòèõ âûðàæåíèÿõ rkm è xkm — àëãåáðàè÷åñêèå ñóììû àêòèâíûõ è ðåàêòèâíûõ ñîïðîòèâëåíèé â îáùåé âåòâè.Óïðîùåíèå, äîñòèãàåìîå ââåäåíèåì ïîíÿòèÿ êîíòóðíûõ òîêîâ, íå îãðàíè÷èâàåòñÿ óìåíüøåíèåì ÷èñëà óðàâíåíèé, îíî îïðåäåëÿåòñÿ åùå è òåì, ÷òî äîñòèãàåòñÿ íåêîòîðûé àâòîìàòèçì â çàïèñè ñèñòåìû óðàâíåíèé. Òàê, ïðèâåäåííàÿ âûøå ñèñòåìàèç n óðàâíåíèé çàïèñàíà äàæå áåç ðàññìîòðåíèÿ êîíêðåòíûõ êîíòóðîâ öåïè — âûÿñíåíî ëèøü ÷èñëî íåçàâèñèìûõ êîíòóðîâ. Åñòåñòâåííî, äëÿ îïðåäåëåíèÿ âåëè÷èíZkk, Zkm è E& kk íåîáõîäèìî ó÷åñòü âõîäÿùèå â êîíòóðû êîíêðåòíûå ñîïðîòèâëåíèÿ èÝÄÑ, à òàêæå âûáðàííûå ïîëîæèòåëüíûå íàïðàâëåíèÿ òîêîâ è ÝÄÑ.Ðåøàÿ ïðèâåäåííóþ âûøå ñèñòåìó óðàâíåíèé äëÿ êîíòóðíîãî òîêà I&k â êîíòóðå k, íàéäåìDDDDI&k = E& 11 k1 + E& 22 k 2 +K + E& mm km +K + E& nn kn ,DDDDãäå D — ãëàâíûé îïðåäåëèòåëü ñèñòåìû, ïðè÷åìD=Z 11Z 21Z 12Z 22Z 1nZ 23Z 31Z 32K Z 3n ,.
. . . . .Z n 3 K Z nn. . . . .Z n1 Z n 2KKZ 1nZ 2nZ 33à Dk1, Dk2, . . ., Dkm, . . ., Dkn — àëãåáðàè÷åñêèå äîïîëíåíèÿ, ïîëó÷àåìûå èç îïðåäåëèòåëÿ D ïóòåì âû÷åðêèâàíèÿ â íåì k-é ñòðîêè è m-ãî ñòîëáöà è óìíîæåíèÿ âíîâüïîëó÷åííîãî îïðåäåëèòåëÿ íà (–1)k+m. Âåñüìà ñóùåñòâåííî çàìåòèòü, ÷òî äëÿ ëèíåéíûõ öåïåé áåç çàâèñèìûõ èñòî÷íèêîâ ýíåðãèè Dkm = Dmk.. Äåéñòâèòåëüíî, Dkmïîëó÷àåòñÿ èç D ïóòåì âû÷åðêèâàíèÿ k-é ñòðîêè è m-ãî ñòîëáöà, à Dmk — ïóòåìâû÷åðêèâàíèÿ m-é ñòðîêè è k-ãî ñòîëáöà. Òàê êàê ïðè îòñóòñòâèè çàâèñèìûõ èñòî÷íèêîâ ýíåðãèè Zkm = Zmk, òî â ðåçóëüòàòå âû÷åðêèâàíèÿ ïîëó÷àþòñÿ äâà îïðåäåëèòåëÿ, â êîòîðûõ ýëåìåíòû ñòðîê îäíîãî ðàâíû ýëåìåíòàì ñîîòâåòñòâóþùèõñòîëáöîâ äðóãîãî, à òàêèå îïðåäåëèòåëè, êàê èçâåñòíî, ðàâíû äðóã äðóãó. ìàòðè÷íîé ôîðìå ðåøåíèå äëÿ êîíòóðíûõ òîêîâ çàïèñûâàåòñÿ â âèäå~I 2 = (CZC t ) -1 C(E + ZÁ),ãäå (CZCt)–1(CZCt) = 1, ò.
å. (CZCt)–1 — îáðàòíàÿ ìàòðèöàêîíòóðíûõ ñîïðîòèâëåíèé. êà÷åñòâå ïðèìåðà ðàññìîòðèì öåïü, èçîáðàæåííóþ íàðèñ. 5.11. Ïîëîæèòåëüíûå íàïðàâëåíèÿ êîíòóðíûõ òîêîâ I&1è I&2 íàïðàâèì òàê, êàê óêàçàíî ñòðåëêàìè. Êîíòóðíûå òîêèÐèñ. 5.11I&1 è I&2 â äàííîì ÷àñòíîì ñëó÷àå ðàâíû äåéñòâèòåëüíûì òîêàì â ïåðâîé è âî âòîðîé âåòâÿõ. Äåéñòâèòåëüíûé æå òîê â òðåòüåé âåòâè ðàâåí248×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåéñóììå êîíòóðíûõ òîêîâ I&1 è I&2 . Ïîëüçóÿñü ìåòîäîì êîíòóðíûõ òîêîâ, èìååìòîëüêî äâà óðàâíåíèÿ:Z 11 I&1 + Z 12 I&2 = E& 11 ; Z 21 I&1 + Z 22 I&2 = E& 22 ,ïðè÷åì ñîáñòâåííûå ñîïðîòèâëåíèÿ êîíòóðîâZ 11 = Z 1 + Z 3è îáùåå ñîïðîòèâëåíèåêðîìå òîãî, E& 11 = E& 1 ; E& 22 = E& 2 .Îïðåäåëèòåëü ñèñòåìûD=Z 11Z 21èZ 22 = Z 2 + Z 3Z 12 = Z 21 = Z 3 ;Z 12= Z 11 Z 22 - Z 122 = ( Z 1 + Z 3 )( Z 2 + Z 3 ) - Z 32 =Z 22= Z 1 Z 2 + Z 2 Z 3 + Z 3 Z 1 = D.Ñîîòâåòñòâåííî,D 11 = Z 22 = Z 2 + Z 3 ; D 22 = Z 11 = Z 1 + Z 3 ;D 12 = D 21 = -Z 12 = -Z 3 .Ïîëó÷àåìZ + Z3ZZZ + Z3I&1 = E& 1 2.- E& 2 3 ; I&2 = -E& 1 3 - E& 2 1DDDDÒîê I&3 ïîëó÷àåòñÿ àëãåáðàè÷åñêèì ñóììèðîâàíèåìòîêîâ I&1 è I&2 :ZZI&3 = I&1 + I&2 = E& 1 2 + E& 2 1 .DDÑîñòàâèì óðàâíåíèÿ ïî ìåòîäó êîíòóðíûõ òîêîâäëÿ öåïè, èçîáðàæåííîé íà ðèñ.
5.12, ïðè÷åì èçáåðåìíåçàâèñèìûå êîíòóðû è ïîëîæèòåëüíûå íàïðàâëåíèÿêîíòóðíûõ òîêîâ â íèõ ñîãëàñíî ðèñ. 5.12. Ýòèõ óðàâíåíèé áóäåò òîëüêî òðè, è îíè èìåþò âèäÐèñ. 5.12Z 11 I&1 + Z 12 I&2 + Z 13 I&3 = E& 11 ;Z 21 I&1 + Z 22 I&2 + Z 23 I&3 = E& 22 ;Z I& + Z I& + Z I& = E& ,31 132233333ïðè÷åìZ 11 = Z 4 + Z 6 + Z 1 ; Z 22 = Z 2 + Z 5 + Z 6 ; Z 33 = Z 3 + Z 5 + Z 4 ;Z 12 = Z 21 = Z 6 ; Z 23 = Z 32 = Z 5 ; Z 13 = Z 31 = -Z 4 ;E& 11 = E& 4 ; E& 22 = E& 2 ; E& 33 = E& 3 - E& 4 .Ãëàâà 5. Ðàñ÷åò öåïåé ïðè ñèíóñîèäàëüíîì è ïîñòîÿííîì òîêàõ249Çäåñü ïîëó÷àåì îïðåäåëèòåëü òðåòüåãî ïîðÿäêà, âûðàæåíèå äëÿ êîòîðîãî óæåäîñòàòî÷íî ãðîìîçäêî. Ñ óâåëè÷åíèåì ÷èñëà óðàâíåíèé ðåøåíèå ñòàíîâèòñÿ âñåáîëåå òðóäîåìêèì.Åñëè â öåïè äåéñòâóåò ëèøü îäíà ÝÄÑ E& kk = E& k , òî äëÿ òîêîâ èìååìDDDDDI&1 = 1k E& k ; I&2 = 2 k E& k ; K ; I&k = kk E& k ; K ; I&m = mk E& k ; K ; I&n = nk E& k .DDDDDÇäåñü âåëè÷èíó D/Dkk, èìåþùóþ ðàçìåðíîñòü ñîïðîòèâëåíèÿ è îïðåäåëÿþùóþ òîê â k-ì êîíòóðå îò ÝÄÑ, ñîäåðæàùåéñÿ â ýòîì æå êîíòóðå, íàçîâåìâ õ î ä í û ì ñ î ï ð î ò è â ë å í è å ì k-ãî êîíòóðà.Âåëè÷èíó D/Dmk, îïðåäåëÿþùóþ òîê â m-ì êîíòóðå îò ÝÄÑ, äåéñòâóþùåéâ k-ì êîíòóðå, íàçîâåì â ç à è ì í û ì ñ î ï ð î ò è â ë å í è å ì îò k-ãî êîíòóðàê m-ìó êîíòóðó.
Âõîäíîå è âçàèìíîå ñîïðîòèâëåíèÿ îïðåäåëåíû çäåñü äëÿ êîíòóðîâ öåïè. Îäíàêî èõ âñåãäà ìîæíî îïðåäåëÿòü è äëÿ âåòâåé öåïè. Ýòî ÿñíî èçòîãî, ÷òî âñåãäà ìîæíî âûáðàòü íåçàâèñèìûå êîíòóðû òàê, ÷òîáû äâå âåòâè, íàïðèìåð âåòâè ab è cd, âîøëè êàæäàÿ òîëüêî â îäèí êîíòóð, ñêàæåì, âåòâü ab —â k-é êîíòóð, à âåòâü cd — â m-é êîíòóð.Îáðàòèì âíèìàíèå íà òî, ÷òî âçàèìíîå è îáùåå ñîïðîòèâëåíèÿ — âåëè÷èíûñóùåñòâåííî ðàçëè÷íûå. Îáùåå ñîïðîòèâëåíèå Zkm åñòü ñîïðîòèâëåíèå âåòâè,âõîäÿùåé êàê â k-é, òàê è â m-é êîíòóð.
Äëÿ íåãî, êàê è äëÿ ñîïðîòèâëåíèÿ ëþáîé âåòâè, èìååò ìåñòî ñîîòíîøåíèå Zkm = Zmk. Âçàèìíîå æå ñîïðîòèâëåíèå ìîæåòîòíîñèòüñÿ ê äâóì ëþáûì êîíòóðàì öåïè, â îáùåì ñëó÷àå è íå èìåþùèì îáùåéâåòâè. Ïîýòîìó åñëè îáîçíà÷àòü âçàèìíûå ñîïðîòèâëåíèÿ E& k I&m è E& m I&k òàêæå÷åðåç Zkm è Zmk, òî äëÿ íèõ ñâÿçü Zkm = Zmk áóäåò èìåòü ìåñòî òîëüêî ïðè äîïîëíèòåëüíîì óñëîâèè, ÷òî ïîëîæèòåëüíûå íàïðàâëåíèÿ äëÿ ÝÄÑ E& k è òîêà I&k â k-ìêîíòóðå ñîãëàñîâàíû ìåæäó ñîáîé, òàê æå êàê è äëÿ ÝÄÑ E& m è òîêà I&m â m-ì êîíòóðå, ò. å. â îáîèõ êîíòóðàõ ïîëîæèòåëüíûå íàïðàâëåíèÿ ÝÄÑ è òîêà ïðèíÿòû âîäíîì íàïðàâëåíèè èëè æå â îáîèõ êîíòóðàõ ïîëîæèòåëüíûå íàïðàâëåíèÿ ÝÄÑè òîêà äðóã äðóãó ïðîòèâîïîëîæíû.
 ïðîòèâíîì ñëó÷àå äëÿ âçàèìíûõ ñîïðîòèâëåíèé áóäåò Zkm = – Zmk. Ýòî âàæíîå îáñòîÿòåëüñòâî áîëåå äåòàëüíî áóäåòîáîñíîâàíî â § 5.16 ïðè ðàññìîòðåíèè ïðèíöèïà âçàèìíîñòè.Ñóùåñòâåííî ðàçëè÷íûé ñìûñë èìåþò òàêæå âõîäíîå è ñîáñòâåííîå ñîïðîòèâëåíèÿ êîíòóðà. Ñîáñòâåííîå ñîïðîòèâëåíèå åñòü ñóììà âñåõ ñîïðîòèâëåíèé,âõîäÿùèõ òîëüêî â äàííûé êîíòóð. Âõîäíîå æå ñîïðîòèâëåíèå åñòü ñîïðîòèâëåíèå âñåé öåïè, îïðåäåëåííîå ïî îòíîøåíèþ ê èñòî÷íèêó ÝÄÑ â äàííîì êîíòóðåïðè óñëîâèè, ÷òî ÝÄÑ âñåõ äðóãèõ èñòî÷íèêîâ ïðèíÿòû ðàâíûìè íóëþ.Çàìåòèì åùå, ÷òî ïðè îïðåäåëåíèè âõîäíîãî è âçàèìíîãî ñîïðîòèâëåíèéìîæíî èñõîäèòü íå èç ÝÄÑ â êîíòóðå èëè â âåòâè, à èç íàïðÿæåíèÿ ìåæäó äâóìÿòî÷êàìè êîíòóðà èëè âåòâè, íàïðèìåð íàïðÿæåíèÿ íà âõîäíûõ èëè âûõîäíûõçàæèìàõ â êàêîé-íèáóäü ÷àñòè öåïè.
Ïðè ýòîì, åñòåñòâåííî, â ñîáñòâåííîì ñîïðîòèâëåíèè ýòîãî êîíòóðà íåîáõîäèìî ó÷åñòü òîëüêî ñîïðîòèâëåíèÿ ó÷àñòêîâêîíòóðà ìåæäó ýòèìè çàæèìàìè, âõîäÿùèõ â ðàññìàòðèâàåìóþ öåïü.5.12. Ìåòîä óçëîâûõ íàïðÿæåíèéÏðè ðàñ÷åòå ñëîæíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé, êîãäà óìåíüøåííîå íà åäèíèöó ÷èñëî óçëîâ ìåíüøå ÷èñëà íåçàâèñèìûõ êîíòóðîâ, öåëåñîîáðàçíî âîñïîëüçîâàòüñÿ250×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåéìåòîäîì óçëîâûõ íàïðÿæåíèé. Ó ç ë î â û ì è í à ï ð ÿ æ å í è ÿ ì è, êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ èñêîìûìè âåëè÷èíàìè ïðè ýòîì ìåòîäå, íàçûâàþò íàïðÿæåíèÿ ìåæäó êàæäûì èç q – 1 óçëîâ è îäíèì îïðåäåëåííûì, íî ïðîèçâîëüíî âûáðàííûì î ï î ð í û ì ó ç ë î ì, êîòîðûé îáîçíà÷èì èíäåêñîì 0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
