Теоретические основы электротехники-1 (855784), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Âîçìîæíû è ñëó÷àè,êîãäà ýêâèâàëåíòíîå ïðåîáðàçîâàíèåïðèâîäèò ê ïîÿâëåíèþ îòðèöàòåëüíûõàêòèâíûõ ñîïðîòèâëåíèé â îòäåëüíûõëó÷àõ çâåçäû èëè ñòîðîíàõ òðåóãîëüíèêà, îçíà÷àþùåìó íåâîçìîæíîñòü ðåàëèçàöèè òàêèõ ñõåì ïðè ïîìîùè îäíèõ ýëåÐèñ. 5.7ìåíòîâ r, L, C. Íà õîä ðàñ÷åòà ïîñëåäíååîáñòîÿòåëüñòâî íå âëèÿåò.  îêîí÷àòåëüíîì âûðàæåíèè êîìïëåêñíîå ñîïðîòèâëåíèå âñåé ïàññèâíîé öåïè ñîäåðæèò ïîëîæèòåëüíóþ âåùåñòâåííóþ ÷àñòü.Óïðîùåíèå ðàñ÷åòà ñëîæíîé öåïè ïðè ïîìîùè ýêâèâàëåíòíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ êîíôèãóðàöèè öåïè ìîæíî ïðîñëåäèòü íà ïðèìåðå ðàñ÷åòà öåïè, èçîáðàæåííîé íà ðèñ.
5.7, à.  ýòîé öåïè óïðîùåíèå äîñòèãàåòñÿ ïðåîáðàçîâàíèåì òðåóãîëüíèêà Z12, Z23, Z31 (ðèñ. 5.7, à) â ýêâèâàëåíòíóþ çâåçäó Z1, Z2, Z3 (ðèñ. 5.7, á). Ïîñëåòàêîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ ïîëó÷àåì ïðîñòóþ öåïü ñ ïîñëåäîâàòåëüíî-ïàðàëëåëüíûìñîåäèíåíèåì ó÷àñòêîâ.5.10. Ïðåîáðàçîâàíèå èñòî÷íèêîâ ÝÄÑ è òîêàÄëÿ óäîáñòâà ðàñ÷åòà ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé èíîãäà ïîëåçíî ïðîèçâîäèòü çàìåíóèñòî÷íèêà ÝÄÑ ýêâèâàëåíòíûì èñòî÷íèêîì òîêà èëè âûïîëíÿòü îáðàòíóþ çàìåíó èñòî÷íèêà òîêà ýêâèâàëåíòíûì èñòî÷íèêîì ÝÄÑ.Èñòî÷íèêè ÝÄÑ è òîêà ÿâëÿþòñÿ ýêâèâàëåíòíûìè, åñëè îíè îáëàäàþò îäíîé èòîé æå âíåøíåé õàðàêòåðèñòèêîé u = f (i) (èëè i = j (u)). Ïðè ïðèñîåäèíåíèè êíèì ïðèåìíèêà ñ íåêîòîðûì ñîïðîòèâëåíèåì rïð = 1/gïð (èëè Zïð = 1/Yïð) íàïðÿ& è òîê i (èëè I)& â ïðèåìíèêå áóäóò â îáîèõ ñëó÷àÿõ îäèíàêîâû.æåíèå u (èëè U)Óðàâíåíèå âíåøíåé õàðàêòåðèñòèêè èñòî÷íèêà ÝÄÑ èìååò âèä u = e – râíi(èëè U& = E& - Z âí I&).
Çàïèøåì ýòî óðàâíåíèå èíà÷å, à èìåííî: i = e/râí – u/râí (èëèI& = E& Z âí - U& Z âí ). Óðàâíåíèå âíåøíåé õàðàêòåðèñòèêè èñòî÷íèêà òîêà èìååòâèä i = Á – ugâí (èëè I& = Á& - YâíU& ). Ýòè âíåøíèå õàðàêòåðèñòèêè ñîâïàäóò, åñëèñîáëþäàòü óñëîâèÿÃëàâà 5. Ðàñ÷åò öåïåé ïðè ñèíóñîèäàëüíîì è ïîñòîÿííîì òîêàõ241E&1.èëè Á& =è Yâí =Z âíZ âíÏî ýòèì ðàâåíñòâàì ìîæíî âû÷èñëèòü ïàðàìåòðû Á è gâí (Á& è Yâí) èñòî÷íèêà òîêà, ýêâèâàëåíòíîãî çàäàííîìó èñòî÷íèêó ÝÄÑ, èìåþùåìó ïàðàìåòðû e è râí (E&è Zâí). Ñîîòâåòñòâåííî, èç ñîîòíîøåíèée = Á g âí è râí = 1 g âí èëè E& = Á& Yâí è Z âí = 1 Yâíìîæíî ïîëó÷èòü ïàðàìåòðû èñòî÷íèêà ÝÄÑ, ýêâèâàëåíòíîãî èñòî÷íèêó òîêà.Ýêâèâàëåíòíûå çàìåíû ìîãóò áûòú ïðîèçâåäåíû è äëÿ çàâèñèìûõ èñòî÷íèêîâ.Ïóñòü â íåêîòîðîé âåòâè p ñ ïðîâîäèìîñòüþ Yp èìååòñÿ çàâèñèìûé, óïðàâëÿåìûé òîêîì I&q âåòâè q èñòî÷íèê òîêà Á& p = bI&q .
Ñîãëàñíî âûøåïðèâåäåííûì ôîðe1Á& =è g âí =râírâíìóëàì, ìîæíî ïðåîáðàçîâàòü óïðàâëÿåìûé òîêîì èñòî÷íèê òîêà â óïðàâëÿåìûéòîêîì èñòî÷íèê ÝÄÑ. Çíà÷åíèå ÝÄÑ áóäåò ðàâíî E& p = bI&q /Yp, è âíóòðåííåå ñîïðîòèâëåíèå Zâí = Zp = 1/ Yp.Ïðåîáðàçóåì äâå ïàðàëëåëüíî ñîåäèíåííûå âåòâè, ñîäåðæàùèå èñòî÷íèêèÝÄÑ E& 1 è E& 2 è ñîïðîòèâëåíèÿ Z1 = 1/ Y1 è Z2 = 1/ Y2 (ðèñ. 5.8), â îäíó ýêâèâàëåíòíóþ âåòâü.Ðàññìàòðèâàÿ ïàðàëëåëüíî ñîåäèíåííûå íà ðèñ. 5.8 âåòâè êàê èñòî÷íèêè ÝÄÑE& 1 è E& 2 ñ âíóòðåííèìè ñîïðîòèâëåíèÿìè Z1 è Z2, çàìåíèì èõ ýêâèâàëåíòíûìè èñòî÷íèêàìè òîêà Á& 1 = E& 1 Y1 è Á& 2 = E& 2 Y2 ñ âíóòðåííèìè ïðîâîäèìîñòÿìè Y1 = 1/ Z1 èY2 = 1/ Z2 (ðèñ.
5.8). Îáúåäèíèâ ýòè äâà èñòî÷íèêà òîêà â îäèí Á& = Á& 1 + Á& 2 ñ âíóòðåííåé ïðîâîäèìîñòüþ Y = Y1 + Y2, ïåðåéäåì îò íåãî ê èñòî÷íèêó ÝÄÑÁ& E& Y + E& 1Y2E& 1 = = 1 1YY1 + Y21.ñ âíóòðåííèì ñîïðîòèâëåíèåì Z =Y1 + Y2Ðèñ. 5.8Ðàñïðîñòðàíÿÿ ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò íà n ïàðàëëåëüíî ñîåäèíåííûõ âåòâåé,íàéäåì, ÷òî çàìåíÿþùàÿ èõ ýêâèâàëåíòíàÿ âåòâü ñîäåðæèò èñòî÷íèê ÝÄÑ.nE& Y + E& 1Y2 + K + E& nYnE& = 1 1=Y1 + Y2 + K + Ynå E& Yk =1nkåYk =1kk242×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåéè ñîïðîòèâëåíèåZ =1.Y1 + Y2 + K + Yn5.11. Ìåòîä êîíòóðíûõ òîêîâÒî îáñòîÿòåëüñòâî, ÷òî êîíòóð, îáðàçîâàííûé äàííîé ñâÿçüþ ãðàôà ñõåìû, ïðîõîäèò òîëüêî ïî âåòâÿì äåðåâà, äàåò âîçìîæíîñòü âûðàçèòü òîêè â âåòâÿõ äåðåâà÷åðåç òîêè â ñâÿçÿõ.
Òàêàÿ ñâÿçü â ìàòðè÷íîì âèäå çàïèñûâàåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì (ñì. § 3.16):~~I 1 = -D 2 I 2 .~Çäåñü I 1 — ìàòðèöà-ñòîëáåö ïîðÿäêà (q – 1) ´ 1, ýëåìåíòàìè êîòîðîé ÿâëÿþòñÿ~& ~&~òîêè I 1K I q -1 â îáîáùåííûõ âåòâÿõ äåðåâà; I 2 — ìàòðèöà-ñòîëáåö ïîðÿäêà n ´ 1,~ ~ýëåìåíòàìè êîòîðîé ÿâëÿþòñÿ òîêè îáîáùåííûõ âåòâåé-ñâÿçåé ãðàôà I&q K I& p .Íàïîìíèì, ÷òî â îáîáùåííûõ âåòâÿõ íàðÿäó ñ ïàññèâíûìè ýëåìåíòàìè Z è Y ñîäåðæàòñÿ òàêæå èñòî÷íèêè ÝÄÑ è òîêà (ñì.
§ 3.10). Ïîäìàòðèöà D2 = – Ft ÿâëÿåòñÿ ïðÿìîóãîëüíîé ìàòðèöåé ïîðÿäêà (q – 1) ´ n, ñîñòîÿùåé èç ýëåìåíòîâ ±1è 0. Ñòðîêè ýòîé ìàòðèöû íóìåðóþòñÿ ñîãëàñíî íîìåðàì âåòâåé äåðåâà, à ñòîëáöû — ñîãëàñíî íîìåðàì ñâÿçåé ãðàôà ñõåìû (ñì. § 3.15). Ìàòðèöó-ñòîëáåö òîêîââî âñåõ âåòâÿõ ãðàôà ñõåìû ìîæíî îïðåäåëèòü ÷åðåç ìàòðèöó òîêîâ â ñâÿçÿõ,èìåÿ â âèäó, ÷òî~~-D 2 ~-D 2 I 2Ft ~~ I1I= ~ ==I=I2.2~1I2I21~Ñðàâíèâàÿ ìíîæèòåëü-ìàòðèöó ó I 2 ñ ìàòðèöåé÷òî èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî, ìîæíî çàìåòèòü,Ft= Ct.1Òàêèì îáðàçîì, òîêè âî âñåõ îáîáùåííûõ âåòâÿõ ãðàôà ñõåìû âûðàæàþòñÿ~÷åðåç ìàòðèöó òîêîâ â ñâÿçÿõ (I 2 ) ðàâåíñòâîì~~I = C tI 2 .~Òîêè â ñâÿçÿõ, çàïèñàííûå â ìàòðè÷íîé ôîðìå áóêâîé I 2 , íàçûâàþò êîíòóðíûìè òîêàìè, òàê êàê ñâÿçè è îïðåäåëÿþò êîíòóðû. Êîíòóðíûå òîêè, ÷èñëî êîòîðûõ ðàâíî n, ìîæíî ïðèíÿòü çà èñêîìûå íåèçâåñòíûå è ñîñòàâèòü óðàâíåíèÿèìåííî äëÿ íèõ.
Íàïîìíèì, ÷òî ìàòðè÷íàÿ ñâÿçü ìåæäó òîêàìè âåòâåé äåðå~âà è òîêàìè ñâÿçåé ãðàôà ñõåìû ïîëó÷åíà èç ìàòðè÷íîãî ðàâåíñòâà D I = 0(ñì. § 3.15), çàïèñàííîãî íà îñíîâå ïåðâîãî çàêîíà Êèðõãîôà ïðèìåíèòåëüíî êñå÷åíèÿì ãðàôà ñõåìû.Óðàâíåíèÿ íà îñíîâå âòîðîãî çàêîíà Êèðõãîôà çàïèñûâàþòñÿ â âèäå~CU = 0 èëè CU = CE,Ãëàâà 5. Ðàñ÷åò öåïåé ïðè ñèíóñîèäàëüíîì è ïîñòîÿííîì òîêàõ243~ãäå U = ìàòðèöà-ñòîëáåö ïîðÿäêà ð ´ 1,ýëåìåíòàìè êîòîðîé ÿâëÿþòñÿ íàïðÿæåíèÿîáîáùåííûõ âåòâåé; U — ìàòðèöà-ñòîëáåöïîðÿäêà ð ´ 1, ýëåìåíòàìè êîòîðîé ÿâëÿþòñÿ íàïðÿæåíèÿ ïàññèâíûõ ýëåìåíòîâ îáîáùåííûõ âåòâåé (ðèñ.
5.9). Äëÿ ïàññèâíûõýëåìåíòîâ ìîæíî çàïèñàòü çàêîí Îìà âìàòðè÷íîé ôîðìå, à èìåííî:U = ZI,ãäå Z — êâàäðàòíàÿ ìàòðèöà ïîðÿäêà ð ´ pñîïðîòèâëåíèé âåòâåé öåïè (ñì. § 5.8).Êðîìå òîãî, ñïðàâåäëèâî ñîîòíîøåíèå~I&k = I&k - Á& kÐèñ. 5.9èëè â ìàòðè÷íîé ôîðìå~I = I - Á.Ïîäñòàâèì ýòè ñîîòíîøåíèÿ â êîíòóðíîå óðàâíåíèå, ïîëó÷èì~~CU = CZI = CZ ( I - Á) = CZI - CZÁ = CEèëè~CZI = C(E + ZÁ).~~Íî I = C t I 2 , ïîýòîìó îêîí÷àòåëüíî èìååì~C ZC t I 2 = C (E + Z( n ´ p ) ´ ( p ´ p ) ´ ( p ´n ) ´ ( n ´1)( n ´p )p ´1Á) .( p ´ p ) ´( p ´1)Ñèñòåìà óðàâíåíèé â ìàòðè÷íîé ôîðìå äëÿ êîíòóðíûõ òîêîâ ñîñòîèò èç nóðàâíåíèé è ñîäåðæèò ñëåäóþùèå ÷ëåíû:CZCt — êâàäðàòíóþ ìàòðèöó êîíòóðíûõ ñîïðîòèâëåíèé ïîðÿäêà n ´ n. Ýòàìàòðèöà ñâÿçûâàåò ïàäåíèÿ íàïðÿæåíèé â êîíòóðàõ ñ êîíòóðíûìè òîêàìè.
Îíàèìååò âèäZ 11ZCZC t = 21. .Z n1Z 12 K Z 1nZ 22 K Z 2 n;. . . . . .Z n 2 K Z nnCE — ìàòðèöó-ñòîëáåö ïîðÿäêà n ´ 1, ñîñòîÿùóþ èç ýëåìåíòîâ, ïðåäñòàâëÿþùèõ ñîáîé ñóììû ÝÄÑ âåòâåé, âõîäÿùèõ â êîíòóðû, îáðàçîâàííûå ñâÿçÿìè, íîìåðà êîòîðûõ îïðåäåëÿþò íîìåðà ýëåìåíòîâ;CZÁ = C(ZÁ) — ìàòðèöó-ñòîëáåö ïîðÿäêà n ´ 1, ñîñòîÿùóþ èç ýëåìåíòîâ, ïðåäñòàâëÿþùèõ ñîáîé ñóììû ÝÄÑ ýêâèâàëåíòíûõ èñòî÷íèêîâ ÝÄÑ, îáðàçîâàííûõçà ñ÷åò ïðåîáðàçîâàíèÿ èñòî÷íèêîâ òîêîâ Á â âåòâÿõ â èñòî÷íèêè ÝÄÑ ZÁÁ.244×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåéÏðàâàÿ ñòîðîíà ìàòðè÷íîãî ðàâåíñòâà, òàêèì îáðàçîì, îïðåäåëÿåò ñóììû ÝÄÑ,êîòîðûå âïðåäü áóäåì ïèñàòü â âèäåC(E + ZÁ) =E& 11E&22M&E.nnÐåøèâ ñèñòåìó óðàâíåíèé, íàéäåì êîíòóðíûå~òîêè (ìàòðèöó-ñòîëáåö I 2 ).~Çíàÿ I 2 , ìîæíî îïðåäåëèòü òîêè âî âñåõ îáîá~~ùåííûõ âåòâÿõ èç âûðàæåíèÿ I = C t I 2 , òîêè âî âñåõ~ïàññèâíûõ ýëåìåíòàõ öåïè — èç ôîðìóëû I = I - Á ,à òàêæå íàïðÿæåíèÿ íà ïàññèâíûõ ýëåìåíòàõ U = ZIè íàïðÿæåíèÿ îáîáùåííûõ âåòâåé (ìåæäó ïàðàìè~óçëîâ) U = U – E.Ðàññìîòðèì öåïü, èçîáðàæåííóþ íà ðèñ.
5.10(àíàëîãè÷íóþ ðèñ. 5.5, à). Âûäåëèì âåòâè 1, 2, 3 â êà÷åñòâå äåðåâà ãðàôà. Òîãäà âåòâè 4, 5 è 6 îïðåäåëÿòñâÿçè ýòîãî ãðàôà. Ìàòðèöû C, E, Á è Z ìîæíî çàïèñàòü â âèäåÐèñ. 5.10124 –1Ñ=5 116 113411–1561;E=1E& 10E&30&E50Z1Z2Z=Z3.Z4Z5Z60;Á =0000Á6;245Ãëàâà 5. Ðàñ÷åò öåïåé ïðè ñèíóñîèäàëüíîì è ïîñòîÿííîì òîêàõÌàòðèöû CZ, CZCt, ZÁÁ è C(E + ZÁ) ìîæíî ïîëó÷èòü, âûïîëíèâ ñîîòâåòñòâóþùèå ìàòðè÷íûå îïåðàöèè óìíîæåíèÿ:124 –Z1CZ = 5Z1Z26Z1Z234Z3Z4–Z356Z5;Z60Z1+Z3+Z4CZCt =–Z1–Z3–Z1–Z3Z1+Z2+Z3+Z5–Z1C(E + ZÁ) =Z1+Z2–Z1Z1+Z2=Z1+Z2+Z6Z11Z12 Z13Z21Z22 Z23 ; Z Á =Z31Z32 Z33000;0Z 6 Á& 6~-E& 1 + E& 3E& 11I&4I&I~~E& 1 - E& 3 + E& 5 = E& 22 ; I 2 = I&5 = I&II .~E& 1 + Z 6 Á 6E& 33I&6I&IIIÎêîí÷àòåëüíî ñèñòåìà óðàâíåíèé ïðèìåò âèä~CZC t I 2 =Z21 Z22 Z23 ´I&II&IIE& 11= E& 22Z31 Z32 Z33I&IIIE& 33Z11 Z12 Z13èëèZ 11 I&I + Z 12 I&II + Z 13 I&III = E& 11 ;Z 21 I&I + Z 22 I&II + Z 23 I&III = E& 22 ;Z I& + Z I& + Z I& = E& .31 I32 II33 III33Åñëè âíèìàòåëüíî ðàññìîòðåòü ìàòðèöó CZ, òî ìîæíî çàìåòèòü âåñüìà ïðîñòîå åå îòëè÷èå îò ìàòðèöû C.
Òàì, ãäå â ñòîëáöå ìàòðèöû C èìåþòñÿ íåíóëåâûåýëåìåíòû, â ìàòðèöå CZ ïîÿâëÿþòñÿ êîìïëåêñíûå ñîïðîòèâëåíèÿ, íîìåðà êîòîðûõ ñîâïàäàþò ñ íîìåðàìè ñòîëáöà. Ïîýòîìó çàïîëíåíèå ýòîé ìàòðèöû êàêâðó÷íóþ, òàê è ïðè ïîìîùè ÝÂÌ ìîæíî îñóùåñòâèòü ïðîñòûì ïåðåáîðîì ýëåìåíòîâ ìàòðèöû C, íå ïðèáåãàÿ äëÿ ýòîé öåëè ê ìàòðè÷íîìó óìíîæåíèþ. Ïðîèçâåäåíèå CZCt òàêæå ïðîñòî ïîëó÷èòü, ðàññìàòðèâàÿ ìàòðèöó C. Ïóñòü íàñ èíòåðåñóåò j, s-é ýëåìåíò CZCt. Äëÿ ýòîãî äîëæíî áûòü âûïîëíåíî óìíîæåíèå j-éñòðîêè ìàòðèöû CZ íà s-é ñòîëáåö ìàòðèöû Ct. Íî s-é ñòîëáåö ìàòðèöû Ct åñòüs-ÿ ñòðîêà ìàòðèöû C.
Ïîýòîìó j, s-é ýëåìåíò ìàòðèöû CZCt åñòü ñóììà ñîïðîòèâëåíèé òåõ ñòîëáöîâ ìàòðèöû CZ, ãäå â j-é è s-é ñòðîêàõ ìàòðèöû C îäíîâðåìåííî áóäóò ñîäåðæàòüñÿ íåíóëåâûå ýëåìåíòû, ïðè÷åì çíàê ñîïðîòèâëåíèÿ246×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåéâ ñóììå îïðåäåëèòñÿ ïî ñî÷åòàíèþ çíàêîâ íåíóëåâûõ ýëåìåíòîâ (çíàê «ïëþñ»åñëè çíàêè îäèíàêîâû, è «ìèíóñ» — åñëè îíè ðàçíûå). Òàê, íàïðèìåð, Z23 åñòüïðîèçâåäåíèå 2-é ñòðîêè ìàòðèöû CZ íà 3-é ñòîëáåö ìàòðèöû Ct èëè íà 3-þñòðîêó ìàòðèöû C, ðàññìîòðåííóþ êàê ñòîëáåö (ïî íîìåðàì 2-é ñòðîêå ñîîòâåòñòâóåò ÷èñëî 5, à 3-é ñòðîêå — ÷èñëî 6 â ìàòðèöå C).  ýòèõ ñòðîêàõ îäíîâðåìåííî íå ðàâíû íóëþ ýëåìåíòû â ñòîëáöàõ 1 (çíàêè ñîâïàäàþò) è 2 (çíàêè ñîâïàäàþò). Ïîýòîìó Z23 = Z1 + Z2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
