Теоретические основы электротехники-1 (855784), страница 60
Текст из файла (страница 60)
å. åñëèE& k ¹ 0.Äëÿ âû÷èñëåíèÿ æå òîêà â âåòâè, â êîòîðîé íåò èñòî÷íèêà ÝÄÑ (s < k £ p),ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ ýòîé æå ôîðìóëîé, åñëè ïðåäïîëîæèòü, ÷òî â ýòó âåòâüâêëþ÷åí ôèêòèâíûé èñòî÷íèê ÝÄÑ E& k ôèêò ¹ 0; òîãäàI&k =så I&(m =1k ôèêò )mE& mE& k ôèêò(k > s).Ïîñêîëüêó ñóììèðîâàíèå èäåò òîëüêî äî m = s, k > s, òî òîê â k-é âåòâè îò äåéñòâèÿ ôèêòèâíîãî èñòî÷íèêà, êîãäà îí âêëþ÷åí â ýòó æå k-þ âåòâü, íå ó÷èòûâàåòñÿ.Ãëàâà 5. Ðàñ÷åò öåïåé ïðè ñèíóñîèäàëüíîì è ïîñòîÿííîì òîêàõ2675.17.
Ìåòîä ýêâèâàëåíòíîãî ãåíåðàòîðàÇàäà÷à îòûñêàíèÿ òîêà â îäíîé âûäåëåííîé âåòâè, ðàññìîòðåííàÿ â ïðåäûäóùåìïàðàãðàôå, ìîæåò áûòü ðåøåíà òàêæå ñ ïîìîùüþ ì å ò î ä à ý ê â è â à ë å í ò í î ã î ã å í å ð à ò î ð à, èëè, êàê èíîãäà ãîâîðÿò, ñ ïîìîùüþ ò å î ð å ì û î á ý ê â è â à ë å í ò í î ì ã å í å ð à ò î ð å. Ñóùíîñòü ýòîãî ìåòîäà çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî ïîîòíîøåíèþ ê âûäåëåííîé âåòâè ab ñ ñîïðîòèâëåíèåì Zab âñÿ îñòàëüíàÿ ÷àñòüñëîæíîé öåïè, ñîäåðæàùàÿ èñòî÷íèêè ÝÄÑ, ìîæåò áûòü çàìåíåíà îäíèì ýêâèâàëåíòíûì ãåíåðàòîðîì ñ ÝÄÑ E& ã è âíóòðåííèì ñîïðîòèâëåíèåì Zã.Ïóñòü âåòâü ñ ñîïðîòèâëåíèåì Zab âõîäèò â êîíòóð 1 è ÿâëÿåòñÿ ñâÿçüþâ ìåòîäå êîíòóðíûõ òîêîâ. Ñîáñòâåííîå ñîïðîòèâëåíèå ýòîãî êîíòóðà çàïèøåìâ âèäå Z 11 = Z ab + Z 110 , èìåÿ â âèäó, ÷òî Z 110 åñòü ñîáñòâåííîå ñîïðîòèâëåíèå êîíòóðà, êîãäà Zab = 0. Ïîñêîëüêó âûäåëåííàÿ âåòâü ÿâëÿåòñÿ ñâÿçüþ, òî Zab íå âîéäåò íè â êàêèå äðóãèå ýëåìåíòû ìàòðèöû êîíòóðíûõ ñîïðîòèâëåíèé.
Ñîãëàñíîìåòîäó êîíòóðíûõ òîêîâ, èìååìnnDI&ab = I&I = å E& kk 1k èëè I&ab D = å E& kk D 1k .Dk =1k =1Ðàçëîæèì D ïî ýëåìåíòàì ïåðâîé ñòðîêè. ÒîãäàD = Z 11 D 11 + Z 12 D 12 + K + Z 1n D 1n = (Z ab + Z 110 )D 11 + Z 12 D 12 + K ++ Z 1n D 1n = Z ab D 11 + Z 110 D 11 + Z 12 D 12 + K + Z 1n D 1n = Z ab D 11 + D 0 .Çäåñü D0 — îïðåäåëèòåëü ìàòðèöû êîíòóðíûõ ñîïðîòèâëåíèé ïðè óñëîâèè,÷òî Zab = 0. Ó÷èòûâàÿ ýòî, ïðåäûäóùåå ðàâåíñòâî ìîæíî çàïèñàòü â âèäåZ ab I&ab +èëèD0 &I ab =D 11D 1k &E kk = E& 0åD11(Z ab + Z ã )I&ab = E& 0 .Ïîñëåäíåìó ðàâåíñòâó ñîîòâåòñòâóåò ñõåìà, èçîáðàæåííàÿ íà ðèñ. 5.17.
Ýòàñõåìà è ñâèäåòåëüñòâóåò î âîçìîæíîñòè çàìåíû àêòèâíîãî äâóõïîëþñíèêà A ýêâèâàëåíòíûì ãåíåðàòîðîì ñ ÝÄÑ E& ã = E& 0 = U& 0 è ñîïðîòèâëåíèåì Zã. Ñëåäîâàòåëüíî, èñêîìûé òîê â âåòâè abU& 0I&ab =,Z ã + Z ab÷òî ïðåäñòàâëÿåò ìàòåìàòè÷åñêóþ ôîðìóëèðîâêó òåîðåìû Òåâåíåíà.Âûøå ïî ñóùåñòâó, áûë èçëîæåí ìåòîä çàìåíû ñëîæíîé àêòèâíîéöåïè ïî îòíîøåíèþ ê âûäåëåííîé ïàðå çàæèìîâ äâóõïîëþñíèêîì,ñîäåðæàùèì íåèäåàëüíûé èñòî÷íèê ýíåðãèè.  äàííîì ñëó÷àå òàêîéèñòî÷íèê áûë ïðåäñòàâëåí èñòî÷íèêîì ÝÄÑ E& 0 ñ âíóòðåííèì íåíóëåâûì ñîïðîòèâëåíèåì Zã.
Çàìåíèì èñòî÷íèê ÝÄÑ èñòî÷íèêîì òîêàÁ& 0 = E& 0 / Z ã = E& 0Yã è ïàðàëëåëüíî ïðèñîåäèíåííîé ê èñòî÷íèêó òîêà ïðîâîäèìîñòüþ Yã = 1/Zã. Òîãäà íàïðÿæåíèå U&ab íà çàæèìàõ âûäåÐèñ. 5.17ëåííîé âåòâè ab ìîæåò áûòü îïðåäåëåíî ïðè ïîìîùè âûðàæåíèÿ268×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåéU& ab =Á& 0,Yã + Yab÷òî ïðåäñòàâëÿåò ìàòåìàòè÷åñêóþ ôîðìóëèðîâêó òåîðåìû Íîðòîíà. Íåòðóäíîçàìåòèòü, ÷òî òîê Á& 0 = E& 0Yã ðàâåí òîêó â âåòâè ab ïðè Zab = 0.Òàêèì îáðàçîì, äëÿ îïðåäåëåíèÿ òîêà I&ab â èíòåðåñóþùåé íàñ âåòâè íåîáõîäèìî ýêñïåðèìåíòàëüíî èëè ðàñ÷åòíûì ïóòåì íàéòè íàïðÿæåíèå U& 0 ïðè ðàçðûâå âåòâè ab è ñîïðîòèâëåíèå Zã âñåé ïðî÷åé ÷àñòè öåïè ïðè çàìêíóòûõ íàêîðîòêî ñîäåðæàùèõñÿ â íåé èñòî÷íèêàõ ÝÄÑ. ðåàëüíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïÿõ âåëè÷èíà Zã ìîæåò áûòü îïðåäåëåíà òàêæå èýêñïåðèìåíòàëüíî.
Îáîçíà÷èì òîê â âåòâè ab ïðè Zab = 0, ò. å. ïðè çàìûêàíèèýòîé âåòâè íàêîðîòêî, ÷åðåç I&k . Òîãäà èç âûðàæåíèÿ äëÿ I&ab ïîëó÷èì Zã = U& 0 I&k ,ò. å. Zã ìîæíî îïðåäåëèòü ýêñïåðèìåíòàëüíî êàê îòíîøåíèå íàïðÿæåíèÿ U& 0 íàçàæèìàõ ab öåïè ïðè õîëîñòîì õîäå ê òîêó I&k ïðè åå êîðîòêîì çàìûêàíèè.Ðèñ. 5.19Ðèñ. 5.18Ðèñ. 5.20Ïðèìåíèì òåîðåìó îá ýêâèâàëåíòíîì ãåíåðàòîðå äëÿ îïðåäåëåíèÿ òîêîâ â öåïè, èçîáðàæåííîé íà ðèñ.
5.11. Äëÿ îïðåäåëåíèÿ òîêà I&1 ðàçîìêíåì ïåðâóþ âåòâüè íàéäåì íàïðÿæåíèå íà åå çàæèìàõ (ðèñ. 5.18), ïðè÷åì ïîëîæèòåëüíîå íàïðàâëåíèå ïðèìåì ñîâïàäàþùèì ñ ïðèíÿòûì íà ðèñóíêå ïîëîæèòåëüíûì íàïðàâëåíèåì èñêîìîãî òîêà I&1 . Èìååì& = E& ;U& 0 + IZ31&EE& (Z + Z 3 ) - E& 2 Z 32& = E& .U& 0 = E& 1 - IZZ3 = 1 231Z2 + Z3Z2 + Z3Ñîïðîòèâëåíèå Zã íàéäåì êàê ñîïðîòèâëåíèå âñåé ïðî÷åé öåïè ìåæäó çàæèìàìè ab ïðè çàìêíóòûõ íàêîðîòêî èñòî÷íèêàõ ÝÄÑ (ðèñ. 5.19):Zã =Z2Z3.Z2 + Z3Ñëåäîâàòåëüíî, èñêîìûé òîêI&1 =U& 0E& (Z + Z 3 ) - E& 2 Z 3= 1 2.Z ã + Z1DÄëÿ îïðåäåëåíèÿ ýòèì ìåòîäîì òîêà I&3 ðàçîìêíåì òðåòüþ âåòâü (ðèñ. 5.20).Íàïðÿæåíèå íà åå çàæèìàõ ïðè ýòîì èìååò çíà÷åíèå&&&&& = E& - E 1 - E 2 Z = E 1 Z 2 + E 2 Z 1 .U& 0 = E& 1 - IZ111Z1 + Z 2Z1 + Z 2Ãëàâà 5.
Ðàñ÷åò öåïåé ïðè ñèíóñîèäàëüíîì è ïîñòîÿííîì òîêàõ269Âåëè÷èíà Zã â ýòîì ñëó÷àå ðàâíàZã =Z 1Z 2.Z1 + Z 2Ñëåäîâàòåëüíî,I&3 =U& 0E& Z + E& 2 Z 1= 1 2.Zã + Z3D êà÷åñòâå åùå îäíîãî ïðèìåðà ïðèìåíåíèÿ òåîðåìû îá ýêâèâàëåíòíîì ãåíåðàòîðå ðàññìîòðèì çàäà÷ó îá îïðåäåëåíèè òîêà I&0 â âåòâè ab èçìåðèòåëüíîãîïðèáîðà íåóðàâíîâåøåííîé ìîñòîâîé ñõåìû (ðèñ. 5.21) â ñëó÷àå, êîãäà ìîæíîïðåíåáðå÷ü âíóòðåííèì ñîïðîòèâëåíèåì èñòî÷íèêà ÝÄÑ, ïèòàþùåãî ìîñò. Ïðåäïîëîæèâ, ÷òî âåòâü ab ðàçîìêíóòà (ðèñ.
5.22), íàéäåì íàïðÿæåíèå U& 0 íà åå çàæèìàõ:æ Z3Z1 ö÷÷ .U& 0 = U& cb - U& ca = E& ççè Z 3 + Z 4 Z1 + Z 2 øÄëÿ ñîïðîòèâëåíèÿ Zã öåïè ìåæäó òî÷êàìè a è b ïðè ðàçîìêíóòîé âåòâè èçìåðèòåëüíîãî ïðèáîðà è ïðè çàìûêàíèè íàêîðîòêî òî÷åê c è d (ðèñ. 5.23) áóäåìèìåòü âûðàæåíèåZ 1Z 2Z3Z4Zã =+.Z1 + Z 2 Z 3 + Z 4Ñëåäîâàòåëüíî, èñêîìûé òîêæ Z3Z1I&0 = E& ççè Z 3 + Z 4 Z1 + Z 2ö÷÷øæZ ZZ3Z4çç Z ab + 1 2 +Z1 + Z 2 Z 3 + Z 4èö÷÷ ,øãäå Zab — ñîïðîòèâëåíèå èçìåðèòåëüíîãî ïðèáîðà.Ðèñ. 5.21Ðèñ. 5.22Ðèñ. 5.23 çàêëþ÷åíèå ðàññìîòðèì åùå îäèí ïðèìåð èñïîëüçîâàíèÿ òåîðåìû îá ýêâèâàëåíòíîì ãåíåðàòîðå, à èìåííî çàäà÷ó ïîäáîðà ïàðàìåòðîâ â äàííîé âåòâè,ïîäêëþ÷åííîé ê ñëîæíîé öåïè ñ öåëüþ ïîëó÷åíèÿ ìàêñèìàëüíîé àêòèâíîéìîùíîñòè. Ïðèìåíèâ òåîðåìó îá ýêâèâàëåíòíîì ãåíåðàòîðå, ìîæíî îïðåäåëèòüòîê â ïðèåìíèêå:U& 0U& 0=I&ïð =.Z ã + Z ïð (rã + rïð ) + j (x ã + x ïð )270×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåéÀêòèâíàÿ ìîùíîñòü2P = I ïðrïð =U 02 rïð(rã + rïð ) 2 + (x ã + x ïð ) 2.Èç âûðàæåíèÿ äëÿ P ïðè rïð ¹ 0 ñëåäóåò, ÷òî ìàêñèìóì ìîùíîñòè ìîæíî îáåñïå÷èòü ïðè óìåíüøåíèè çíàìåíàòåëÿ, äîáèâàÿñü ðàâåíñòâà xïð + xã = 0 (xïð è xãìîãóò áûòü ðàçíîãî õàðàêòåðà — èíäóêòèâíîãî èëè åìêîñòíîãî).
Ïðè ýòîìP =U 02 rïð(rã + rïð ) 2.Ó÷èòûâàÿ, ÷òî rã — âåëè÷èíà çàäàííàÿ, ìîæíî íàéòè Pmax, èçìåíÿÿ rïð. Óñëîâèåì îáåñïå÷åíèÿ àáñîëþòíîãî ìàêñèìóìà áóäåò ðàâåíñòâî rã = rïð. Ïðè ýòîìPmax =2I ïðrïð × 100 rïð × 100U 02P= 50%,è h = 2 × 100 = 2=4rãP0I ïð (rã + rïð ) rã + rïðãäå h — êîýôôèöèåíò ïîëåçíîãî äåéñòâèÿ ðàññìàòðèâàåìîãî óñòðîéñòâà. Ðåæèììàêñèìàëüíîé ìîùíîñòè ïðåäñòàâëÿåò èíòåðåñ â ìàëîìîùíûõ ïåðåäàòî÷íûõóñòðîéñòâàõ, ïðèìåíÿåìûõ â ýëåêòðîèçìåðèòåëüíîé òåõíèêå, â ðàäèîòåõíèêå,ðàäèîýëåêòðîíèêå è àâòîìàòèêå.
 ýòèõ ñëó÷àÿõ ïîëó÷åíèå êàê ìîæíî áîëüøåéìîùíîñòè íåðåäêî ÿâëÿåòñÿ áîëåå âàæíûì, ÷åì äîñòèæåíèå áîëüøîãî çíà÷åíèÿêîýôôèöèåíòà ïîëåçíîãî äåéñòâèÿ.5.18. Ðàñ÷åò öåïåé ïðè íàëè÷èè âçàèìíîé èíäóêöèèÏðàâèëî ñîñòàâëåíèÿ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé öåïè ïðè íàëè÷èè âçàèìíîé èíäóêöèè, ðàññìîòðåííîå â § 3.7, ïîëîæèì â îñíîâó äëÿ ðàñ÷åòà öåïåé ñ âçàèìíîé èíäóêöèåé ïðè ïðîòåêàíèè ñèíóñîèäàëüíûõ òîêîâ. Ïðèìåíèâ êîìïëåêñíûé ìåòîä, àëãåáðàèçèðóåì ýòè óðàâíåíèÿ.Íàïîìíèì ïðàâèëî, îïðåäåëÿþùåå çíàê ÝÄÑ âçàèìíîé èíäóêöèè èëè ïàäåíèÿ íàïðÿæåíèÿ, êîìïåíñèðóþùåãî ýòó ÝÄÑ.
Òî÷êè, ïîñòàâëåííûå íà îäíîì èççàæèìîâ êàæäîé êàòóøêè, îçíà÷àþò ñëåäóþùåå: åñëè ïîëîæèòåëüíîå íàïðàâëåíèå òîêà â ïåðâîé êàòóøêå ïðèíÿòî îò òî÷êè, òî ïîëîæèòåëüíîå íàïðàâëåíèåÝÄÑ âçàèìíîé èíäóêöèè, âîçíèêàþùåé â äðóãîé êàòóøêå, òàêæå äîëæíî áûòüïðèíÿòî òî òî÷êè. Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî äëÿ äàííîé ñèñòåìû òî÷åê, îòìå÷åííûõ íàçàæèìàõ âñåõ èíäóêòèâíîñâÿçàííûõ êàòóøåê, èçâåñòíû êîýôôèöèåíòû âçàèìíîé èíäóêöèè ïî âåëè÷èíå è çíàêó.Äëÿ ðàñ÷åòà öåïåé, ñîäåðæàùèõ èíäóêòèâíî-ñâÿçàííûå âåòâè, íåïîñðåäñòâåííî ïðèìåíèìû âñå èçëîæåííûå ðàíåå ìåòîäû, çà èñêëþ÷åíèåì ìåòîäà óçëîâûõ íàïðÿæåíèé è ôîðìóë ïðåîáðàçîâàíèÿ ñîåäèíåíèÿ òðåóãîëüíèêà â ýêâèâàëåíòíîå ñîåäèíåíèå çâåçäîé è îáðàòíî.
Ïðèìåíåíèå ýòèõ ïîñëåäíèõ òðåáóåòââåäåíèÿ íåêîòîðûõ äîïîëíèòåëüíûõ ïðàâèë.Ðàññ÷èòàåì öåïü, èçîáðàæåííóþ íà ðèñ. 5.24. Êàòóøêè L1 è L2 èíäóêòèâíîñâÿçàíû, ïðè÷åì äëÿ äàííîé ñèñòåìû òî÷åê çàäàí êîýôôèöèåíò âçàèìíîé èíäóêöèè M12 = M21 = M.Ãëàâà 5. Ðàñ÷åò öåïåé ïðè ñèíóñîèäàëüíîì è ïîñòîÿííîì òîêàõ271Ñîñòàâèì óðàâíåíèå ïî âòîðîìó çàêîíó Êèðõãîôà äëÿêîíòóðà, îáõîä êîòîðîãî ïðîèçâîäèì ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå.Ïóñòü ïîëîæèòåëüíûå íàïðàâëåíèÿ òîêà è îáõîäà êîíòóðàñîâïàäàþò.  êîíòóð âõîäÿò ïÿòü ÝÄÑ: ÝÄÑ E& âíåøíåãîèñòî÷íèêà, ÝÄÑ ñàìîèíäóêöèè E& 1L = – jwL1I& è E& 2L = – jwL2I&Ðèñ. 5.24&&&&è ÝÄÑ âçàèìíîé èíäóêöèè E 1M = – jwMI è E 2M = – jwMI.
Ïîëîæèòåëüíûå íàïðàâëåíèÿ ÝÄÑ ñàìîèíäóêöèè E& 1L è E& 2L ñîâïàäàþò ñ ïîëîæèòåëüíûì íàïðàâëåíèåìòîêà â öåïè.Òàê êàê ïîëîæèòåëüíîå íàïðàâëåíèå òîêà â îáåèõ êàòóøêàõ âçÿòî îò òî÷êè, òîâ îáåèõ êàòóøêàõ ïîëîæèòåëüíîå íàïðàâëåíèå ÝÄÑ âçàèìíîé èíäóêöèè E& 1M è E& 2Mòàêæå áóäåò îò òî÷åê. Ïîýòîìó âñå ÝÄÑ âîéäóò â óðàâíåíèå ñ îäèíàêîâûì ïîëîæèòåëüíûì çíàêîì:E& + E& 1L + E& 2L + E& 1M + E& 2M = I&(r1 + r2 ).Âñïîìíèì, ÷òî âñå ñêàçàííîå ìîæíî îòíîñèòü ê ïàäåíèÿì íàïðÿæåíèÿ, äëÿêîòîðûõ èìååì U& L = -E& L è U& M = -E& M , è, ñëåäîâàòåëüíî,E& = U& 1L + U& 1M + U& 2L + U& 2M + I&(r1 + r2 )èëèîòêóäàE& = jwL1 I& + jwMI& + jwL 2 I& + jwMI& + I&(r1 + r2 ),& .E& = I&(r1 + r2 ) + Ij& w(L1 + L 2 + 2 M ) = I&(rý + jwL ý ) = IZýÂåëè÷èíà Lý = L1 + L2 + 2M ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ýêâèâàëåíòíóþ èíäóêòèâíîñòü âñåé öåïè.Ýêâèâàëåíòíàÿ èíäóêòèâíîñòü âñåãäà ïîëîæèòåëüíà, ÷òî âûòåêàåò èç ðàâåíñòâà Wì = 12 Lýi2 > 0, òàê êàê ýíåðãèÿ ìàãíèòíîãî ïîëÿ âñåé öåïè âñåãäà ïîëîæèòåëüíà.Ýêâèâàëåíòíàÿ èíäóêòèâíîñòü çàâèñèò îò çíàêà âçàèìíîé èíäóêòèâíîñòè. çàâèñèìîñòè îò çíàêà M ðàçëè÷àþò äâà ñïîñîáà âêëþ÷åíèÿ êàòóøåê: ñîãëàñíîåâêëþ÷åíèå, êîãäà M > 0 (M = |M |), è âñòðå÷íîå âêëþ÷åíèå, êîãäà M < 0 (M = –|M |).Ïðè ñîãëàñíîì âêëþ÷åíèè ìàãíèòíûå ïîòîêè ñàìîèíäóêöèè è âçàèìíîé èíäóêöèè ñîâïàäàþò ïî íàïðàâëåíèþ, ÷òî ïðèâîäèò ê óâåëè÷åíèþ ýêâèâàëåíòíîé èíäóêòèâíîñòè âñåé öåïè: L ý¢ = L1 + L2 + 2|M |.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
