Теоретические основы электротехники-1 (855784), страница 63
Текст из файла (страница 63)
Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåéáóäóò âõîäèòü âåùåñòâåííûå âåëè÷èíû. Î÷åâèäíî, ÷òî ïðè ñîñòàâëåíèè óðàâíåíèé íàäî ñîáëþäàòü âñå ïðàâèëà çíàêîâ. îñîáîì ñëó÷àå, êîãäà â ñõåìå öåïè âî âñåõ âåòâÿõ âêëþ÷åíû èäåàëüíûå êîíäåíñàòîðû, ïðè äåéñòâèè ïîñòîÿííûõ ÝÄÑ òîê â òàêîé öåïè ðàâåí íóëþ è ìîæåòñòîÿòü âîïðîñ òîëüêî îá îòûñêàíèè ðàñïðåäåëåíèÿ íàïðÿæåíèÿ ïî êîíäåíñàòîðàì öåïè.  òàêîì èäåàëèçèðîâàííîì ñëó÷àå â ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî äî íà÷àëàäåéñòâèÿ ÝÄÑ âñå êîíäåíñàòîðû áûëè ðàçðÿæåíû, ðàñïðåäåëåíèå íàïðÿæåíèÿïîä äåéñòâèåì ïîñòîÿííûõ ÝÄÑ áóäåò òàêèì æå, êàê ðàñïðåäåëåíèå ñèíóñîèäàëüíîãî íàïðÿæåíèÿ â àíàëîãè÷íîé ñõåìå, íî ñîäåðæàùåé âî âñåõ âåòâÿõ òîëüêîèäåàëüíûå êîíäåíñàòîðû, åñëè â íåé äåéñòâóþò ñèíóñîèäàëüíûå ÝÄÑ, ðàâíûå ïîäåéñòâóþùåìó çíà÷åíèþ çàäàííûì ïîñòîÿííûì ÝÄÑ è íàõîäÿùèåñÿ äðóã ñ äðóãîì â ôàçå. ðåàëüíûõ öåïÿõ âñå êîíäåíñàòîðû îáëàäàþò êîíå÷íîé ïðîâîäèìîñòüþóòå÷êè.
Ïîýòîìó ïðè äåéñòâèè ïîñòîÿííûõ ÝÄÑ óñòàíîâèâøèåñÿ íàïðÿæåíèÿíà êîíäåíñàòîðàõ áóäóò îïðåäåëÿòüñÿ ñîïðîòèâëåíèÿìè èõ óòå÷åê è ñîïðîòèâëåíèÿìè îñòàëüíûõ ó÷àñòêîâ ñõåìû. Çíà÷åíèÿ åìêîñòè êîíäåíñàòîðîâ ïðè ýòîì íàðàñïðåäåëåíèå íàïðÿæåíèÿ íå îêàçûâàþò íèêàêîãî âëèÿíèÿ. Ïîñëåäíåå ñîîòâåòñòâóåò ñäåëàííîìó âûøå óêàçàíèþ, ÷òî â ýêâèâàëåíòíîé ñõåìå ó÷àñòêè ñ èäåàëüíûìè êîíäåíñàòîðàìè ïðè ðàñ÷åòå äîëæíû áûòü ðàçîìêíóòû.5.23. Ïðîáëåìû ðàñ÷åòà óñòàíîâèâøèõñÿ ðåæèìîâñëîæíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé ïðåäûäóùèõ ïàðàãðàôàõ â îñíîâíîì ðàññìàòðèâàëèñü íå ñòîëüêî ìåòîäû, ïîçâîëÿþùèå ïîëó÷èòü ðåøåíèå çàäà÷è, ñêîëüêî ìåòîäû ñîñòàâëåíèÿ ñèñòåìûóðàâíåíèé öåïè. Äëÿ âûïîëíåíèÿ àíàëèçà ïðîöåññîâ â öåïè ýòà ñèñòåìà äîëæíàáûòü ðåøåíà îòíîñèòåëüíî âûäåëåííûõ èñêîìûõ âåëè÷èí (èíîãäà ãîâîðÿò — èñêîìûõ ïåðåìåííûõ). ìàòåìàòè÷åñêîì ïëàíå òàêîå ðåøåíèå ñâîäèòñÿ ê îáðàùåíèþ ìàòðèö, ò.
å.ê íàõîæäåíèþ îïðåäåëèòåëÿ ìàòðèöû óçëîâûõ ïðîâîäèìîñòåé èëè ìàòðèöûïðîâîäèìîñòåé ñå÷åíèé è èõ q – 1 àëãåáðàè÷åñêèõ äîïîëíåíèé èëè æå ê íàõîæäåíèþ îïðåäåëèòåëÿ ìàòðèöû êîíòóðíûõ ñîïðîòèâëåíèé è åãî n àëãåáðàè÷åñêèõäîïîëíåíèé. Ïðè âûñîêîì ïîðÿäêå ýòèõ ìàòðèö òàêîå îáðàùåíèå ñâÿçàíî ñáîëüøèì ÷èñëîì âû÷èñëèòåëüíûõ îïåðàöèé. Åñëè âîñïîëüçîâàòüñÿ ôîðìóëîéÊðàìåðà, ñîãëàñíî êîòîðîé çàïèñàíû âûðàæåíèÿ äëÿ êîíòóðíûõ òîêîâ è óçëîâûõ íàïðÿæåíèé â § 5.11 è 5.12, ò.
å. íåïîñðåäñòâåííî ðàñêðûòü îïðåäåëèòåëèïðè ðåøåíèè ñèñòåìû ñ m íåèçâåñòíûìè, òî ïîòðåáóåòñÿ âûïîëíèòü ïîðÿäêà m×m!àðèôìåòè÷åñêèõ îïåðàöèé. Óæå äëÿ ñèñòåìû óðàâíåíèé ñ m = 15 ÷èñëî îïåðàöèéäîñòèãàåò 2×1013. È äàæå èñïîëüçîâàíèå ìîùíîé âû÷èñëèòåëüíîé ìàøèíû, êîòîðàÿ ìîæåò âûïîëíèòü 109 îïåðàöèé â ñåêóíäó, âðåìÿ ðåøåíèÿ çàòÿíåòñÿ íà2×104 ñ = 5,5 ÷. Ýòèìè ôîðìóëàìè èìååò ñìûñë ïîëüçîâàòüñÿ, åñëè m < 10. Ïîýòîé ïðè÷èíå ñèñòåìó óðàâíåíèé ðåøàþò ãëàâíûì îáðàçîì ìåòîäîì èñêëþ÷åíèÿ ïî Ãàóññó (èëè åãî ðàçíîâèäíîñòÿìè).
Ýòîò ìåòîä òðåáóåò âûïîëíåíèÿìåíüøåãî ÷èñëà îïåðàöèé — ïîðÿäêà 2m3. Îäíàêî è òàêîé ñïîñîá ðåøåíèÿ èìååòñìûñë ïðèìåíÿòü ïðè m < 10 000, òàê êàê óæå äëÿ m = 10 000 ÷èñëî îïåðàöèéðàâíî 2×1012, è âû÷èñëèòåëüíàÿ ìàøèíà ñ ïðîèçâîäèòåëüíîñòüþ 109 îïåðàöèé âñåêóíäó òàêèå çàäà÷è áóäåò ðåøàòü â òå÷åíèå 33 ìèí. Ìåòîä íåïîñðåäñòâåííîãîÃëàâà 5. Ðàñ÷åò öåïåé ïðè ñèíóñîèäàëüíîì è ïîñòîÿííîì òîêàõ283ðàñêðûòèÿ îïðåäåëèòåëåé è ìåòîä Ãàóññà ïîçâîëÿþò ïðè îòñóòñòâèè îêðóãëåíèéíàéòè òî÷íîå ðåøåíèå çàäà÷è.Îäíàêî ïðè èñïîëüçîâàíèè ÝÂÌ íåèçáåæíû îøèáêè îêðóãëåíèÿ, è ïîýòîìóïðè áîëüøîì ÷èñëå óðàâíåíèé ïîëó÷åííîå ðåøåíèå ìîæåò çàìåòíî îòëè÷àòüñÿîò òî÷íîãî.
Êðîìå òîãî, äëÿ ðàçìåùåíèÿ ýëåìåíòîâ ìàòðèöû è ïðîìåæóòî÷íûõðåçóëüòàòîâ â ïàìÿòè ÝÂÌ ïîòðåáóåòñÿ m2 ÿ÷ååê. Ïîýòîìó íàðÿäó ñî âðåìåíåìðåøåíèÿ ñóùåñòâåííûì ïàðàìåòðîì ÿâëÿåòñÿ è ÷èñëî èñïîëüçóåìûõ ÿ÷ååê ïàìÿòè, êîòîðîå ïðè m = 10 000 äîñòèãíåò 108.Ïî ýòîé ïðè÷èíå ïðè áîëüøîì ÷èñëå óðàâíåíèé ïðèõîäèòñÿ îòêàçûâàòüñÿ îòòî÷íûõ ìåòîäîâ ðåøåíèÿ è èñïîëüçîâàòü òå èëè èíûå èòåðàöèîííûå ìåòîäû, êîãäà ðåøåíèå íàõîäèòñÿ êàê ïðåäåë ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïðèáëèæåíèé (èòåðàöèé),íàïðèìåð âèäà (ïðîñòûå èòåðàöèè)I( n)= BI( n -1)+ a,ãäå I(n—1) — ìàòðèöà-ñòîëáåö ðåøåíèé íà (n – 1)-ì øàãå èòåðàöèé; I(n) — ìàòðèöà-ñòîëáåö óòî÷íåííûõ ðåøåíèé íà ñëåäóþùåì, n-ì, øàãå èòåðàöèé (ïðèáëèæåíèé).5.24.
Òîïîëîãè÷åñêèå ìåòîäû ðàñ÷åòà öåïåéÏðåäñòàâëÿåò áîëüøîé èíòåðåñ âîçìîæíîñòü ñîñòàâëåíèÿ ýëåìåíòîâ îáðàòíîéìàòðèöû è åå îïðåäåëèòåëÿ íåïîñðåäñòâåííî ïî ãðàôó ñõåìû, ìèíóÿ ñòàäèþ ñîñòàâëåíèÿ ñèñòåìû óðàâíåíèé.  êà÷åñòâå ïðèìåðà òàêîãî ïîäõîäà ðàññìîòðèììåòîä óçëîâûõ íàïðÿæåíèé.Äëÿ ìàòðèöû óçëîâûõ ïðîâîäèìîñòåé èìååì âûðàæåíèå AYAt, ãäå A — òîïîëîãè÷åñêàÿ ìàòðèöà ñîåäèíåíèé ïîðÿäêà (q – 1) ´ n; At — òðàíñïîíèðîâàííàÿìàòðèöà ñîåäèíåíèé ïîðÿäêà n ´ (q – 1); Y — äèàãîíàëüíàÿ ìàòðèöà ïðîâîäèìîñòåé âåòâåé (â öåïè îòñóòñòâóþò âçàèìíàÿ èíäóêöèÿ è çàâèñèìûå èñòî÷íèêè)ïîðÿäêà n ´ n.Ñîãëàñíî òåîðåìå Êîøè—Áèíå, îïðåäåëèòåëü òàêîé ìàòðèöû ìîæåò áûòüïðåäñòàâëåí êàêdet (AYAt) = det (AY) At = S ñîîòâåòñòâóþùèõ ìèíîðîâìàêñèìàëüíîãî ïîðÿäêà ìàòðèö AY è At.Ñîîòâåòñòâèå ìèíîðîâ îçíà÷àåò ñîâïàäåíèå íîìåðîâ ñòîëáöîâ â ìàòðèöå AYñ íîìåðàìè ñòðîê ìàòðèöû At.
 ìàòðèöàõ AY è A èç-çà äèàãîíàëüíîñòè ìàòðèöû Y îäèíàêîâî ðàñïîëîæåíû íåíóëåâûå ýëåìåíòû (åñëè ajk ¹ 0, òî ajkYk ¹ 0).Ìàêñèìàëüíûé ïîðÿäîê ìèíîðîâ ðàâåí (q – 1)´(q – 1). Ïðèìåì âî âíèìàíèå,÷òî òðàíñïîíèðîâàííûé ìèíîð ðàâåí èñõîäíîìó ìèíîðó. Ðàíåå (ñì. § 3.16) ìûóêàçàëè, ÷òî íåíóëåâîé ìèíîð ïîðÿäêà (q – 1)´(q – 1) ìàòðèöû A ðàâåí ±1. Ñëåäîâàòåëüíî, ïðîèçâåäåíèå ñîîòâåòñòâóþùèõ ìèíîðîâ èìååò âñåãäà ïîëîæèòåëüíûé çíàê.
Êðîìå òîãî, ìèíîð À íå ðàâåí íóëþ òîëüêî â òîì ñëó÷àå, åñëè âõîäÿùèå â åãî ñîñòàâ âåòâè (q – 1) ñîåäèíÿþò âñå q óçëîâ ãðàôà ñõåìû. Ýòîïîëîæåíèå ëåãêî óñìîòðåòü èç ïðîöåäóðû ðàçëîæåíèÿ ìèíîðà ïî ýëåìåíòàìñòðîê èëè ñòîëáöîâ. Ïðè èñêëþ÷åíèè ñîîòâåòñòâóþùåé âåòâè è óçëà îñòàâøèéñÿ ìèíîð íå äîëæåí èìåòü ñòðîêó (èëè ñòîëáåö), ñîñòîÿùóþ òîëüêî èç íóëåâûõ284×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåéýëåìåíòîâ. Ýòî æå ïîëîæåíèå ëåãêî óâèäåòü èç ðàññìîòðåíèÿ ìàêñèìàëüíîãîìèíîðà [ïîðÿäêà (q – 1)´(q – 1)] ìàòðèöû AY.  ðåçóëüòàòå ðàñêðûòèÿ ìèíîðàìû äîëæíû èìåòü ïðîèçâåäåíèå âèäà YiYjYpYq...Yn, ãäå äîëæíû áûòü q – 1 ýëåìåíòîâ.
Ïðè÷åì ýòè ýëåìåíòû äîëæíû ñîñòîÿòü èç ïðîâîäèìîñòåé âåòâåé, êîòîðûåñîåäèíÿò âñå óçëû ãðàôà ñõåìû. Íî òàêàÿ ñîâîêóïíîñòü âåòâåé åñòü äåðåâî ãðàôàñõåìû. Ïîýòîìó ìîæåì íàïèñàòüdet (AYAt) = SP ïðîâîäèìîñòåé âåòâåé ãðàôàñõåìû = SPYk âåòâåé äåðåâà ãðàôà ñõåìû,ãäå ñóììèðîâàíèå âûïîëíÿåòñÿ ïî âñåì íåïîâòîðÿþùèìñÿ äåðåâüÿì ãðàôà ñõåìû.Ðèñ.
5.30Äëÿ ãðàôà ñõåìû (ðèñ. 5.30, à), äåðåâüÿ êîòîðîãî ïîêàçàíû íà ðèñ. 5.30, ádet (AYAt) = Y1Y3 + Y2Y3 + Y1Y2.Ðèñ. 5.31Ãëàâà 5. Ðàñ÷åò öåïåé ïðè ñèíóñîèäàëüíîì è ïîñòîÿííîì òîêàõ285Äëÿ ãðàôà ñõåìû (ðèñ. 5.31, à), äåðåâüÿ êîòîðîãî ïîêàçàíû íà ðèñ. 5.31, ádet (AYAt) = Y4Y5Y6 + Y1Y3Y6 + Y1Y2Y4 + Y2Y3Y5 + Y1Y5Y6 + Y2Y5Y6 + Y3Y4Y6 ++ Y1Y4Y5 + Y2Y4Y6 + Y3Y4Y5 + Y1Y2Y5 + Y1Y3Y4 + Y2Y3Y6 + Y1Y2Y6 + Y1Y3Y5 + Y2Y3Y4.Äëÿ ïîëó÷åíèÿ àëãåáðàè÷åñêîãî äîïîëíåíèÿ ïîðÿäêà Djj, èñõîäÿ èç òåîðåìûÊîøè—Áèíå, ìû äîëæíû èç ìàòðèöû AY èñêëþ÷èòü j-þ ñòðîêó, à èç ìàòðèöûAt — j-é ñòîëáåö. Ýòî ðàâíîñèëüíî ïðèñîåäèíåíèþ óçëà j ê áàçèñíîìó óçëó.
Òîãäàïîëó÷àåì íîâûé ãðàô ñõåìû, ãäå îáúåäèíåíû j-é è áàçèñíûé óçëû ïðåæíåãî ãðàôà ñõåìû. Íàïðèìåð, îïðåäåëèòåëü D11 ãðàôà ñõåìû (ðèñ. 5.31, à) ìîæíî âû÷èñëèòü èç óñëîâèÿ, ÷òî îí ðàâåí îïðåäåëèòåëþ íîâîãî ãðàôà ñõåìû (ðèñ. 5.32, à),äåðåâüÿ êîòîðîãî èçîáðàæåíû íà ðèñ. 5.32, á:D 11 = Y3 (Y1 + Y6 ) + Y3 (Y2 + Y5 ) + (Y1 + Y6 )(Y2 + Y5 ).Íà ðèñ. 5.32, â è ã, ïðåäñòàâëåíû ãðàôû è äåðåâüÿ ñõåìû äëÿ D33:D 33 = Y2 (Y1 + Y4 ) + Y2 (Y3 + Y5 ) + (Y1 + Y4 )(Y3 + Y5 ).Ðèñ.
5.32Àëãåáðàè÷åñêèå äîïîëíåíèÿ âèäà Djk ìîãóò áûòü îïðåäåëåíû èç òîé æå ôîðìóëû Êîøè–Áèíå, åñëè âû÷åðêíóòü â ìàòðèöå AY ñòðîêó j è â ìàòðèöå At —ñòîëáåö k. Î÷åâèäíî, ÷òî ìèíîðû AY ñîâïàäóò ñ ìèíîðàìè Djj, à ìèíîðû At —ñ ìèíîðàìè Dkk. Ïîñêîëüêó ñëåäóåò ñóììèðîâàòü ïðîèçâåäåíèÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ ìèíîðîâ, òî ýòî îçíà÷àåò, ÷òî èç âûðàæåíèé äëÿ Djj è Dkk äîëæíû áûòü âçÿòûñîâïàäàþùèå ÷ëåíû. Íàïðèìåð, äëÿ D13 òàêîâûìè ÿâëÿþòñÿD 13 = (-1)(1+3 )(Y1Y2 + Y2Y3 + Y1Y5 + Y1Y3 ).Óñëîâèå ñîâïàäåíèÿ ìèíîðîâ è òî îáñòîÿòåëüñòâî, ÷òî óçëû j è k âû÷åðêíóòûèç ñîîòâåòñòâóþùèõ ìàòðèö, ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ðàçäåëåíèÿ ãðàôà öåïèíà äâà íåñâÿçàííûõ ïîäãðàôà ñî ñâîèìè äåðåâüÿìè, ñóììà ïðîèçâåäåíèé ïðîâîäèìîñòåé âåòâåé êîòîðûõ îïðåäåëèò Djk. Ïðè ýòîì ñëåäóåò ó÷åñòü, ÷òî óçëû j è kìûñëåííî óæå ñîåäèíåíû ñ îïîðíûì óçëîì, è ïîýòîìó óçëû j è k, ñ îäíîé ñòî-286×àñòü 2.
Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåéðîíû, è îïîðíûé óçåë — ñ äðóãîé, äîëæíû áûòü â ðàçíûõ ïîäãðàôàõ. Äåðåâüÿýòèõ ïîäãðàôîâ íàçûâàþò ä â î é í û ì ä å ð å â î ì ã ð à ô à ñ õ å ì û (2-äåðåâî).Íà ðèñ. 5.33 èçîáðàæåíî 2-äåðåâî äëÿ îïðåäåëèòåëÿ D13. Ìèíîð ïîäãðàôà, ñîñòîÿùåãî èç îòäåëüíîãî óçëà (óçåë 4, îí æå îïîðíûé), ðàâåí åäèíèöå. Èìåÿ â âèäó ýòî îáñòîÿòåëüñòâî, èç ðèñ. 5.33 ïîëó÷èìD 13 = (-1)(1+3 )(Y1Y2 + Y2Y3 + Y1Y5 + Y1Y3 ).Ðèñ. 5.33Èñïîëüçîâàíèå òîïîëîãè÷åñêèõ ìåòîäîâ ñâÿçàíî ñ òðóäîåìêèì ïðîöåññîìîòûñêàíèÿ âñåõ âåòâåé ãðàôà ñõåìû.
Ýòà çàäà÷à îòíîñèòåëüíî óïðîùàåòñÿ, åñëèçàðàíåå èçâåñòíî îáùåå ÷èñëî äåðåâüåâ.Èç âûðàæåíèÿ äëÿ îïðåäåëèòåëÿ âûòåêàåò, ÷òî åñëè ïðîâîäèìîñòè âñåõ âåòâåé åäèíè÷íû, òî D ðàâíî ÷èñëó äåðåâüåâ ãðàôà öåïè, ò. å. åñëè Y = 1, òîdet (AYA t ) = det (AA t ).Åñëè âñå óçëû ñîåäèíåíû ïîïàðíî ìåæäó ñîáîé, òî îáùåå ÷èñëî äåðåâüåâ ïîýòîìó âûðàæåíèþ ðàâíî qq–2.  ðàññìîòðåííîì âûøå ãðàôå (ðèñ.
5.31, à) ìû èìåëè ñëó÷àé, êîãäà âñå óçëû ïîïàðíî ñîåäèíåíû è q = 4. ×èñëî äåðåâüåâ ãðàôà öåïèáûëî ðàâíî 44–2 = 42 = 16. Åñëè â ãðàôå îòñóòñòâóþò íåêîòîðûå âåòâè, òî ÷èñëîäåðåâüåâ ñîîòâåòñòâåííî óìåíüøàåòñÿ. Äëÿ ãðàôà (ðèñ. 5.31, à) îòñóòñòâèå âåòâè1 ïðèâåäåò ê ñîêðàùåíèþ ÷èñëà äåðåâüåâ äî 8.Ðèñ. 5.34Äëÿ ãðàôà ñõåìû (ðèñ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
