Радиолокационные измерители дальности и скорости by Саблин В. Н. (z-lib.org) (852905), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Для неадаптивных ДС высокая чувствительность к отмеченным изменениям обычно приводит к ухудшению показателей ихэффективности.Среди методов анализа чувствительности можно выделить двегруппы. К одной из них относятся методы текущего оцениваниячувствительности, позволяющие определить ее на любой текущиймомент времени.
К другой группе относятся методы интегральногооценивания чувствительности, которые дают возможность получить ее оценку за все время функционирования ДС.В свою очередь среди методов текущего оценивания чувствительности также можно выделить две группы. Первая группа основана на определении коэффициентов чувствительности.
Коэффициенты чувствительности представляют собой изменения показателей эффективности ДС либо ее фазовых координат, обусловленные единичными изменениями параметров, условий применения или погрешностей измерений. Эти коэффициенты определяются в процессе анализа моделей состояния (1.4.1), наблюдений(1.4.2), алгоритмов фильтрации и управления. Анализ проводитсяпутем разложения в тот или иной ряд исследуемых процессов какфункций многих аргументов. Роль аргументов играют интересующие изменения фазовых координат, параметров системы и погрешности измерений. Коэффициенты членов ряда при указанныхаргументах и представляют собой коэффициенты чувствительности. Достоинством таких методов является возможность их применения для широкого класса нелинейных, линейных, детерминированных, статистических, стационарных и нестационарныхсистем.Вторая группа методов текущего оценивания чувствительностиоснована на определении приращений дисперсий ошибок функционирования ДС за счет тех или иных несоответствий исходныхмоделей и реальных условий функционирования.
Эти методы наиболее хорошо разработаны для характеристики чувствительностиразличных алгоритмов оптимального оценивания [42, 67].Все рассмотренные методы позволяют оценить чувствительность как функцию времени. В итоге становится трудно сравнивать чувствительность различных систем, поскольку ее показателимогут меняться во времени различным образом. Этого недостаткалишены методы интегрального оценивания чувствительности завсе время функционирования ДС. В их основе лежит вычислениеабсолютных или относительных приращений оптимизируемыхквадратичных функционалов качества, которые вызываются темиили иными изменениями условий функционирования и параметров системы. Кроме того, такие методы позволяют получить совокупную оценку чувствительности при одновременном изменениивсех интересующих параметров, фазовых координат и т.д.
Необходимо отметить, что, давая более обобщенную оценку чувствительности, эти методы оказываются существенно более сложными ибез применения ЭВМ не реализуемы на практике.Строгий анализ нелинейных и нестационарных линейных систем на устойчивость и точность достаточно сложен и трудоемок.Обзор таких методов приведен в [ 66 , 69, 64]. Приближенно об устойчивости и точности нелинейных систем можно судить по ихлинеаризованным моделям. Для приближенного анализа нестационарных систем используется метод замороженных коэффициентов, суть которого будет рассмотрена в п. 2 .2 .
1 .2.2.2.2.1.УСТОЙЧИВОСТЬ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМО бщ и есведен и я об устой чи вости м н о го м ерн ы хДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМСистема считается устойчивой, если после выведения из положения равновесия малыми возмущениями, она самостоятельновозвращается в исходное состояние. Под положением равновесияпонимается невозмущенная фазовая траектория, определяемая однородной частью в общем случае нелинейных уравнений состояния с переменными коэффициентами.Если эволюции многомерной системы описываются линейными векторно-матричными уравнениями (1.4.1), то ее устойчивостьне зависит от воздействий управляющих сигналов и и возмущенийи определяется решением однородного уравненияx(t) = F(t)x(t).(2.2.1)Наиболее прост анализ на устойчивость для линейных стационарных систем. Поэтому в дальнейшем элементы матриц F и В в(1.4.1) и (2.2.1) полагаются постоянными.Чтобы решение (2.2.1) было асимптотически (при Ь-*я) устойчивым, необходимо и достаточно существования отрицательныхвещественных частей у корней уравнения [64]kidet[F- A^E] = det*12^21*22 “fnl4 гfinf2n= 0.(2.
2. 2)4 n - * iЗдесь fjj (i = l,n , j = l,n ) - элементы матрицы F; E - единичнаяматрица;- собственные значения матрицы F, которые в общемслучае представляются комплексными числами. Раскрыв по известным правилам определитель ( 2 .2 .2 ), можно получить характеристическое уравнение n-ой степени относительно А*:фМ= defF-XjE] = 4*? +f1A.r1+f2xr2+...+VA +4 =(2.2.3)где f 0...fn формируется на основании коэффициентов матрицы F.По уравнению (2.2.3) либо непосредственно вычисляют корни 7^численными методами, либо проводят анализ, используя известные критерии устойчивости [60, 64].При анализе систем небольшой размерности широко используется критерий Рауса-Гурвица. В соответствии с этим критерием изкоэффициентов fj уравнения (2.2.3) составляется матрица, по определителю\ 1 4 1 4 1 f7|o'4 4 14 14 I0 4 u 14 104 4 4j004.00000(2.2.4)которой и анализируется устойчивость.
Определитель (2.2.4) строится по следующему правилу. На главной диагонали сверху внизразмещаются все коэффициенты (2.2.3) в порядке возрастания номера индекса, начиная с f*. Все столбцы относительно диагональных членов заполняют вверх коэффициентами fj в порядке возрастания их номера, а вниз - в порядке убывания. На местах коэффициентов с номерами i>n и i < 0 проставляются нули.Для обеспечения устойчивости динамической системы (2.2.1)необходимо и достаточно, чтобы все определители диагональныхминоров низшего порядка, очерченных в (2.2.4) штриховыми линиями, имели знаки, одинаковые с f 0. Сказанное означает, чтопри f o> 0 должны выполняться неравенстваад2 =и так далее.Дискретная система управления (1.4.17) считается устойчивойтогда, когда для любого момента дискретизации корни характеристического уравнения(2 .2 .6)где Zj - аргументы Z-преобразований, лежат внутри круга с единичным радиусом.Если исследуемые системы нестационарны, то в зависимости от характера изменения их параметров выходные сигналы могут изменяться неограниченно долго даже при постоянных входных воздействиях.
Это объясняется тем, что параметрические цепи в отличие от линейных с постоянными параметрами обладаютспособностью «размножать» спектр входных воздействий. Появление в выходных сигналах новых гармоник, не содержащихся вспектре входных воздействий, и обусловливает неустановивпшйсяхарактер выходных сигналов. Поэтому использование признаковасимптотической устойчивости для анализа нестационарных систем в общем случае теряет смысл.
Существующие точные методыисследования устойчивости нестационарных систем довольносложны [64]. Поэтому на практике пользуются приближеннымиметодами.Наиболее распространен метод «замороженных» коэффициентов [64], который применяется тогда, когда время работы системыограничено, а ее изменяющиеся параметры дифференцируемыефункции времени. Суть метода состоит в том, что весь временнойинтервал [ 0 ,tjJ работы системы разбивается на отдельные промежутки At, в пределах которых параметры системы можно приближенно считать постоянными.
Затем для каждого из временныхинтервалов At используется любой из известных критериев устойчивости. Если условия устойчивости соблюдаются для всех выделенных промежутков At, то нестационарная система управлениясчитается устойчивой на всем рабочем интервале [0,Щ . Следуетподчеркнуть, что полученные при этом результаты не вполне достоверны, поскольку сам метод замороженных коэффициентов неимеет математического обоснования.Если исследуется ДС с известной динамической структурнойсхемой, позволяющей определить передаточную функцию замкнутой системы, то для анализа устойчивости также можно применять критерий Рауса-Гурвица (2.2.5). Этот критерий применяетсядля характеристического полинома (знаменателя) передаточнойфункции замкнутой системы, который представляется в виде степенного ряда (2.2.3) с заменой в нем собственных значенийоператором дифференцирования p=d/dt, либо аргументом в преобразований Лапласа.
Необходимо подчеркнуть, что в многомерныхсистемах такие передаточные функции должны составляться откаждого входа к каждому выходу.Устойчивость оптимальных ДС, содержащих оптимальныефильтры, идентификаторы и оптимальные регуляторы, зависит отустойчивости как фильтров и идентификаторов, так и регуляторов. Принимая во внимание, что в процессе проектирования ДСоптимальные фильтры, идентификаторы и регуляторы достаточночасто синтезируются независимо друг от друга, устойчивость контуров фильтрации, идентификации и управления (регулирования)будет рассматриваться раздельно.2.2.2. УстойчивостьИ РАСХОДИМОСТЬ нестационарны х фильтровЛинейный оптимальный фильтр представляет собой нестационарную динамическую систему с обратными связями по наблюдаемым фазовым координатам (§1.4).
В связи с этим устойчивостьфильтров Калмана можно оценивать по любому из критериев,применяемых для линейных нестационарных систем. Для определенности в дальнейшем будем полагать, что процессы состояния инаблюдения характеризуются соответственно уравнениями (1.9.8)и (1.9.11), регулятор функционирует по закону (1.11.10), а фильтр- по закону (1.4.3). Подставляя (1.11.10) в (1.4.3), будем иметьмодель контура фильтрации в виде векторно-матричного уравненияк= Fx - BK'1BTQ1x + Кф(г - Нх) = Fxx + Кфг,(2.2.7)в которомFx = F - BK-1BTQ1 - КфН(2.2.8)- динамическая матрица собственной фазовой траектории, а Кфг внешнее воздействие. Подставляя ( 2 .
2 .8 ) в (2.2.2), получаем(2.2.9)Для обеспечения устойчивости процесса фильтрации (2.2.7)необходимо и достаточно, чтобы для любого момента времени корни уравнения (2.2.9) имели отрицательные вещественные части.При соблюдении условия наблюдаемости (1.9.23) фильтр Калманабудет асимптотически устойчив [56, 68 ]. В таких условиях фильтртеоретически обеспечивает получение сходящейся оценки х , длякоторой характерно уменьшение во времени дисперсий(1.4.5)ошибок фильтрации от их наибольших первоначальных значенийD|i(0) до наименьших в установившемся режиме. Однако практикасвидетельствует о том, что в фильтрах Калмана, для которых теоретически выполняется условие наблюдаемости, может иметь место явление расходимости. Под расходимостью понимается значительное превышение реальными дисперсиями ошибок фильтрациитого их уровня Dii, который был предсказан теоретически соотношениями (1.4.5).Основными причинами расходимости являются: неточностиисходных моделей (1.9.8) и (1.9.11), используемых при синтезефильтров; отсутствие точной априорной информации о законахраспределения и спектральных плотностях возмущений, сопровождающих оцениваемые процессы и наблюдения; отсутствие точной информации об априорной статистике х (0) и D(0) начальныхусловий, используемых при реализации алгоритмов оценивания;ошибки вычислителей, которые определяют коэффициенты Кф(1.4.4), (1.4.5) и реализуют сам процесс фильтрации.На примере аналогового линейного оптимального фильтрапроанализируем особенности функционирования, которые непосредственно влияют на его устойчивость и могут привести к расходимости формируемых оценок.
При этом будем полагать, чтоимеют место все перечисленные причины, способствующие появлению расходимости. Следует отметить, что полученные при этомвыводы имеют смысл и для дискретных фильтров.Упомянутые особенности функционирования обусловлены: наличием ООС только по наблюдаемым фазовым координатам; зависимостью корректирующего влияния невязки z - Н х на оценку хот точности фильтрации; усилительными свойствами и точностьюустройств, формирующих наблюдаемый процесс; формой принимаемых радиосигналов; размерностью фильтра и продолжительностью его работы. Первая особенность предопределяет тенденциюфильтра к расходимости, когда число ш наблюдаемых параметровменьше числа N оцениваемых координат.
Отсутствие в фильтре Nm ООС при наличии ошибок вычислителей может привести к неустойчивости.Для иллюстрации этого утверждения рассмотрим гипотетический фильтр, предназначенный для оценки расстояния Д междудвумя движущимися объектами, их радиальных скорости Vp и ускорения jp. При этом будем полагать, что взаимное перемещениеобъектов соответствует модели равноускоренного движения, т.е.Д = УР, Vp = jp, jp = 0(2.2.10)Наблюдаемый процесс(2. 2. 11)Zfl(t) д + и >где £ди - белый шум со спектральной плотностью G ^, формируется РЛС в режиме автосопровождения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
