Радиолокационные измерители дальности и скорости by Саблин В. Н. (z-lib.org) (852905), страница 18
Текст из файла (страница 18)
е. уравнением желаемого процесса.Пусть дана система(1.13.39)где и - г-мерный вектор управления; x(t) - n-мерный вектор состояния системы; f(*) - известная векторозначная функция, непрерывная и дифференцируемая необходимое число раз по своимаргументам.Требуется для системы (1.13.29) найти управление u(t), доставляющее минимум функционалуtk(1.13.40)1 = j L ( x ,u ) d ttoв котором L(x,u) - положителъно-полуопределенная функция; to,tk - начальный и конечный моменты работы системы.Причем, на вектор состояния системы наложены дополнительные ограничения видакоторые должны выполняться вдоль всей траектории движения,Здесь, как и прежде, полагается что Aj, j = 0,k - 1 - любые матрицыразмерности(гхг),обеспечивающиеустойчивостьрешениеуравнения (1.13.41).Процесс синтеза управления будем рассматривать в виде двуединой задачи,На первом этапе отыскивается управление u(t), при котороетраекториядвижениясистемыудовлетворяетограничение(1.13.41).
Процедура поиска необходимого u(t) определяется основными соотношениями структурно-параметрического метода,изложенного в п. 1.13.2. Однако в этом случае матрицы Aj записываются не в виде числовых таблиц, а в виде матриц с известными структурами. Тогда закон управления u(t) представляется впараметрическом виде, зависящем от неизвестных элементов матриц A.J. Если функция Р(х,уж) выбрать в видеF(x,y*)=x(t) - y«(t),где x(t) - r-мерный вектор, составленный из компонент вектор*x(t), то, как было показано выше, замкнутая система обладаетуниверсальным свойством, а именно, траектория её движения при108ликвидации любого начального рассогласования определяется решением дифференциального уравненияx(t) = Fxx(t),x(t0)=x0.(1.13.42)Здесь Fx имеет структуру матрицы Фробениуса, последняя строка(или строки) которой составлена из соответствующих элементовматриц kj.
Уравнение (1.13.42) справедливо при условии, чтоУЖ=С0П81.Не нарушая общности рассуждений, рассмотрим систему, укоторой u(t) - скалярная величина. Тогда выходная (регулируемая) величина может быть представлена в видеXi(t) = 2 1 c1ti"1ek|t + с0,(1.13.43)j=ii=iгде Ц - величина кратности j-ro корня; kj, j = 1,Р - различныекорни характеристического уравнения.Заметим, что в формуле (1.13.43) величина Ц удовлетворяетР____условию £ Zj = п .
Постоянные коэффициенты cj, i = 1, п опредеj=iляются стандартным способом и зависят от начальных условий. Вобщем случае коэффициенты q и kj является функциями аргументов Aj, j = 0, п - 1 . На этом первый этап синтеза заканчивается.Второй этап синтеза управления связан с поиском коэффициентовj = 0, n —1 . В общем случае подынтегральную функциюL(x,u) в (1.13.40) можно представить в виде суммы двух слагаемыхL(x,u)=Li(x,u)+L2(u),(1Л3.44)где Li(x,u) и L2(u) - положительно-полуопределенные функции.Обычно функция Li является функцией только аргумента х.
Изуравнения (1.13.26) с учетом (1.13.33) следует, что управляющаяфункция u(t) представляет собой совокупность слагаемых видаYjtrjeaj , j= 0 ,l,2 ...Это значит, что интегральный функционалкачества (1.13.40) с подынтегральной функцией (1.13.44) можетбыть представлен в видеI(k)=(pft),(1.13.46)где <p(k) - положительно-полуопределенная функция аргументовkj, j = 0 , n - l . Кроме того, cp(k) - непрерывная и дифференциаль-ная функция своих аргументов.
Тогда, учитывая свойства функции ф(?с), процедуру поиска минимума 1 (Х,), а следовательно, и u(t)можно свести к решению системы нелинейных уравнений вида(1.13.46)Заметим, что размерность системы (1.13.46) определяется порядком дифференциального уравнения (1.13.41), определяющегожелаемый управляемый процесс.Рассмотрим управление u(t), синтезированное одним из классических методов, например, методом динамического программирования при условии, что правая часть f(x,u) системы (1.13.39)представима в видеf(x,u)=Fx(t)4-Bu(t).Здесь также полагаем, что u(t) - скалярная функция. Крометого, полагаем, что u(t) должно обеспечивать минимум функционалу качества (1.13.40) с подынтегральной функцией (1.13.44).Согласно [71] имеемu(t)=-K1BTP(t)x(t),где L 1 (x)=xT(t)Fx(t);(1.13.47)L 2(u)=uTKu(t), a P(t) находится из формулыP(t) = -F TP - PF - А + РВК_1ВТР,Подставляя (1.13.47)P(t)=const, имеемвуправленияP(tk)=0.системыиполагаях (t)=(F+AF)x(t),где матрица AF определяется из уравнения (1.13.47).Из сравнения уравнений замкнутых систем с управлениямисинтезированными различными способами, следует, что они обладают одним и тем же свойством, а именно: траектории движенияэтих систем обеспечивают min I(x,u).Покажем справедливость этого утверждения на конкретномпримере для линейного объекта и квадратичного функционала качества.
Пустьгде x(t) и u(t) - скалярные функции.Требуется найти u(t) из условия минимума функционалаnoI = - f (a2x2 + b2u2)dt.2 оВ данном случае требуемый сигнал равен нулю, следовательно, цель управления заключается в том, чтобы возвратить системуиз произвольного состояния х( 0 ) в состояние равновесия х = 0 сминимальной затратой энергии.Решение этой задачи, например, методом динамического программирования [62] определяется уравнениемu1(t) = | th [^ (T -t)jx (t).Для стационарного режима, когда Т достаточно велико, имеем%(t) = -аЪ_г(х).Получим управление u2(t) для исходной постановки задачиструктурно-параметрическом методом. Введем F(x,y«)=x(t). Из условия связи функции Р(х,уж) с управлением получаемku2+Xox=0.Запишем последнее уравнение в видеu2(t) = y x (t).Значение Хц определим из условияI = min f(а2х2 + b2u2)dt.(1.13.48)ОРешая (1.13.48) при условии, что x(t)=x 0e-’4, получимИтак, имеемu2(t) = - Jx(t)DИз сравнения управлений Ui(t) и u2(t) следует, что замкнутыесистемы обладают одинаковыми свойствами и обеспечиваютminl(x,u).Следует отметить, что изложенный подход к синтезу оптимального управления на основе структурно-параметрического метода применим не только для линейных или нелинейных системвидаx(t)=(p(x,t)+g(x)u(t),когда управление в правую часть уравнения объекта входит в виделинейного слагаемого, но и для систем, описываемых уравнениями видаx(t)=(p(x,t)+g(x,u,t),(1.13,49)где g(x,u,t) - нелинейная функция относительно u(t).
Причемфункционал, характеризующий качество процесса управления,может быть здесь представлен в самой общей форме.Решение задачи синтеза управления традиционными методамидля системы (1.13.49) требует дополнительных преобразованийуравнений объекта, например, расширение вектора состояния засчет включения в него исходного управления [62]. Задача синтезаструктурно-параметрическим методом может быть сведена к решению алгебраического уравнения к-ой степени, где к - степень полинома g(u) системы (1.13.49). Второй этап, связанный с оптимизацией параметров закона управления, зависит только от видапринятого функционала качества и практически не зависит отструктуры исходного объекта.Выше была рассмотрена задача синтеза оптимального управления для случая, когда на компоненты вектора состояния x(t)наложены ограничения в виде линейного дифференциальногоуравнения.
Достоинством такого ограничения является то, что приF(x,y*), выбранной в виде разности достижимых координат и ихжелаемых значений, замкнутая система является линейной. Прирешении ряда практических задач такое ограничение не всегдаявляется приемлемым. К таким задачам прежде всего относятсяте, для которых величина приращения управления должна нелинейно зависеть от величины отклонения управляемой координатыот заданного значения.В общем случае, как отмечалось в разделе 1.13.2. закон изменения Р(х,уж) может быть выбран в любой требуемой форме(p(x,F(x,yJ,F(x,yJK),...,F (n)(x ,y j) = <p(PiF(x,yj). (1.13.60)Синтез управления структурно-параметрическим методом приограничении типа (1.13.50) на первом этапе практически не отличается от рассмотренного.
Основной задачей в этом случае является выбор значений параметров X и Bj, обеспечивающих устойчивость решения уравнения (1.13.60). Если уравнение (1.13.50)представить в виде совокупности линейных членов относительнопроизводных функций F(x,yж), т.е.ф(#) = F(n)(x,yJ + A,n_1F(n_1)(x,y5K)+...+X1F(x,y}K), (1.13.51)то задача анализа устойчивости существенно упрощается.Запишем уравнение (1.13.50) с учетом (1.13.51) и при условии, что нелинейная функция ф(р,Р(х,уж)) является некоторымполиномом от F(x,y«).F(n)(x, уж) +уж)+..
.+a1F(x, уж) == Р<№Уж) + PiF2(x, уж)+.. .+PnFn(x, уж).(1.13.52)Данное уравнение записано для скалярной функции Р(х,уж). ЕслиР(х»Уж) “ векторная функция, то выражение FJ, j = 2,п трактуетсякак векторы, составленные из соответствующих компонент вектора F(x,yw) степени j.Представим (1.13.52) в векторной формеy(t) = Ayy(t) + g(y),(1.13.53)где y(t) - n-мерный вектор, причем yi(t)=F(x,yж); Ау - матрица,элементы которой образованы из коэффициентовj = l,n -l иР0; g(y) - n-мерная векторозначная функция. Причем компонентыg(y), i = 1 , n - 1 равны нулю, a g(y) равен правой части уравнения(1.13.52) за вычетом элемента Ро^(х,уж).Прежде, чем приступать к синтезу управления, необходимоисследовать устойчивость управления (1.13.53) либо (1.13.52) вокрестности некоторого заданного равновесного состояния.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
