Радиолокационные измерители дальности и скорости by Саблин В. Н. (z-lib.org) (852905), страница 21

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 21)

Будем считать, что задан­ные распределения начальных условий (2 .2 . 1 0 ) соответствуют тре­бованиям, выполнение которых необходимо для корректного син­теза фильтра. Начальные условия для матрицы D (1.4.5) задаютсявобщепринятомвиде:Dn ( 0 )* 0 ,D22(0 >K),D33(0 )*0 ,^ 12(0 ) " 0 2 1 (0 )= 0 , D 13 (0)=D 3i (0)=0, D23(0)=D 32(0)=0. Здесь D ^, D22и D33 - дисперсии ошибок оценивания дальности, скорости и ус­корения, a Djj (i*j) - взаимные дисперсии ошибок фильтрации со­ответствующих координат.

С учетом ( 2 .2 . 1 0 ), (2.2.11) и (1.4.4) всематрицы, необходимые для определения критерия наблюдаемости(1.9.23) и формирования характеристического полинома (2.2.9),имеют вид:Оь-±F=11 0О0»• “н дг = 00000К .- К/о »; о =Р аD2 l/e *d 12d 13d 22d 23®32С зз.d81/ g400'010 .01-----нДL'11!Гт1Огде матрица D задана в общем виде. Тогда в соответствии с(1.9.23):(2.2.13)Посколькурангматрицы (2.2.13) ра­вен размерности оце­ниваемогопроцесса(2 .2 . 1 0 ) , то этот про­цесс является полно­стью наблюдаемым, асинтезированный наоснове( 2 .2 . 1 0 )и(2 . 2 . 1 1 ) фильтр асим­птотическиустойчи­вым.СтруктурнаяРис.

2.2.1.схема этого фильтра,полученная на основеиспользования (2.2.12) в (1.4.3), приведена на рис. 2.2.1. Проверим устойчивость фильтра, используя условие(2.2.9) с учетом того,что в (2 . 2 . 1 0 ) отсутствует управление. Подставляя ( 2 .2 . 1 2 ) в(2.2.8) и (2.2.9) получим:10- D 21 / 6 ди-* i1/0-V- D ll / Ода “det[Fx - XjE] = det- D 31=0.Отсюда вытекает характеристическое уравнение+ D l A l / Оди + I>2 1 ^i / 0 д И + D 31 /«Д И = 0 .(2.2.14)Принимая во внимание начальные условия D2 i( 0 )= 0 и DS1 (0 )=0,на основании (2.2.14) можно утверждать, что, несмотря на выпол­нение условия наблюдаемости (2.2.13), синтезируемый фильтрможет быть неустойчивым, если в начальные моменты времени врезультате ошибок вычислителей вместо D2 x(t) > 0 и D31 (t)>0 бу­дут иметь место значения D2 i(t )< 0 и D31 (t)< 0 .

Изменение знакаD2i и D31 в первую очередь приведет к ошибкам оценивания jp иVp. Отсутствие ООС по этим координатам (см. рис. 2.2.1) можетсопровождаться существенными ошибками оценивания дальностиза счет смены знака корректирующих сигналов, поступающих насумматоры.

В результате увеличится невязка гд-Д , ошибки оцени­вания ускорения и скорости и т.д. Очевидно, что тенденциюфильтра к расходимости можно ослабить, увеличив число наблю­даемых координат. Такой прием, приводя к увеличению числа об­ратных связей, улучшает компенсацию погрешностей работыфильтра, в том числе и обусловленных неточностью функциониро­вания вычислителей.Вторая особенность связана с тем, что в фильтре Калмана, об­ладающем наивысшей теоретической точностью в установившемсярежиме (наименьшими дисперсиями ошибок фильтрации), осуще­ствляется наименее действенная коррекция результатов прогнозаFx+Bu обновляющим процессом z-H x. Это обусловлено тем, что вустановившемся режиме коэффициенты матрицы Кф принимаютсвои наименьшие значения. Бели во время работы фильтра ошиб­ки прогноза Fx+Bu, которые накапливаются в процессе интегри­рования, начнут превышать поправки, вносимые невязкой, то ре­альные ошибки фильтрации будут увеличиваться.

Следовательно,фильтр может расходиться. Рассмотренная особенность проявляет­ся в наибольшей мере тогда, когда в процессе синтеза не учиты­ваются шумыв уравнениях состояния. Если Gx= 0 , то при t-*x>коэффициенты матрицы D (а соответственно и Кф) стремятся кнулю, и фильтр вообще перестает реагировать на поправки обнов­ляющего процесса. В структурном плане это адекватно размыка­нию цепей ООС по наблюдаемым координатам. Данное утвержде­ние может быть проиллюстрировано на примере уравнения(2.2.14) при Dn (oo)=0.Из проведенного анализа следует, что тенденция фильтра красходимости наиболее сильна при малых значениях коэффициен­тов tyj матрицы D (1.4.5). По времени это соответствует начально­му этапу работы и функционированию в установившемся режиме.Наличие ошибок вычислителей при достаточно малых значенияхкоэффициентов матрицы D может привести к потере ее неотрица­тельной определенности. В структурном плане это соответствуетзамене ООС на положительные, что и предопределяет возможностьформирования расходящихся оценок.

Необходимо отметить, чтоошибки вычислителей особенно сильно сказываются при достаточ­но больших шагах интегрирования (интервалах дискретизации),сравнимых с постоянными времени процесса оценивания (2.2.7).Еще одним последствием неточностей вычислителей, котороеможет привести к усилению расходимости, является нарушениесимметрии матрицы D в процессе вычисления ее коэффициентов.Состав, усилительные свойства и точность устройств наблюде­ния также существенно влияют на устойчивость фильтров Калма­на.

Неудачно подобранный состав измерителей (1.4.2), при кото­ром не выполняется условие наблюдаемости (1.9.23), приводит красходимости фильтра. Для иллюстрации этого утверждения рас­смотрим еще раз пример ( 2 .2 . 1 0 ) синтеза фильтра при условии,что вместо дальности доплеровским измерителем наблюдается ско­рость=У+(2.2.15)Наблюдение сопровождается случайными погрешностямиввиде белого шума со спектральной плотностью G ^ . В такой ситуа­ции модуляционная матрица принимает видHv =[0 1 0].(2.2.16)Учитывая (2.2.10) и (2.2.16), найдем матрицу (1.9.23) наблю­даемости000 ,1 0001 0ранг которой меньше размерности вектора состояния (2.2.10).

По­лученный результат свидетельствует о том, что по наблюдению(2.2.15) нельзя получить оценки всех компонент процесса (2.2.10).При использовании (2.2.10) и (2.2.16) матрица коэффициентовЕф (1.4.4) вырождается в вектор столбец*4>v = [D 12 / G vb D 2 2 / G vh D3 2 / G vh]T>а характеристический полином, вытекающий из (2.2.9), имеет видА+ D22X? / Gvh + D32Xl / G™ = 0.(2.2.17)Наличие нулевого корня в (2.2.17) свидетельствует об отсутствииустойчивости синтезированного фильтра.О влиянии усилительных свойств (Н) и точности устройств на­блюдения (GH) на расходимость линейных оптимальных фильтровможно судить непосредственно по формулам (1.4.3) и (1.4.4).

Изних следует, что увеличение коэффициентов матрицы Н и умень­шение коэффициентов матрицы GH вызывают рост коэффициентовматрицы Кф, а соответственно, и корректирующего влияния не­вязки на результаты прогноза Fx+B u. Усиление коррекции позво­ляет в большей степени компенсировать неточности моделей, ап­риорной статистики и используемых вычислителей.Если наблюдаемый процесс - радиосигнал s(t), то значенияэлементовматрицыНбудутопределятьсяпроизводнойds(x(t), t] / dx(t) (1.5.2). Тогда при прочих равных условиях кор­ректирующее влияние обновляющего процесса будет возрастатьпри уменьшении протяженности сигнала по оцениваемым коорди­натам. Кроме того, при этом повышается точность наблюдениясигнала [68 ]. Данное обстоятельство также приводит к снижениюсклонности фильтра к расходимости. Однако уменьшение протя­женности сигнала по оцениваемому параметру приводит к умень­шению ширины [-AXjmax, Aximax] линейного участка дискримина­ционных характеристик в следящих радиоэлектронных системах.Это обстоятельство усиливает вероятность потери устойчивости ДСиз-за срыва сопровождения цели вследствие выхода рабочей точкиза пределы линейного участка дискриминационной характеристи­ки.Рассмотренная первоначальная расходимость, обусловленнаяошибками формирования взаимных дисперсий, обычно проявляет­ся лишь у фильтров высокой размерности с малым числом наблю­даемых сигналов при наличии большой неопределенности априор­ной статистики.

На практике чаще приходится сталкиваться срасходимостью фильтров Калмана в установившемся режиме рабо­ты, особенно при высокой размерности модели состояния с низкимуровнем формирующих возмущений £х.В заключение отметим, что все рассмотренные причины рас­ходимости имеют смысл и для нелинейных оптимальных фильт­ров, которые по сравнению с линейными обладают еще более вы­сокой склонностью к расходимости, обусловленной, в частности,их способностью к самовозбуждению.2.2.3.П ред о твращ ен и ера сх о д и м о с ти ф и л ьтро вВ общем случае для уменьшения склонности оптимальных(квазиоптимальных) фильтров к расходимости необходимо повы­шать точность используемых моделей и вычислителей, априорнойстатистики возмущений и начальных условий, увеличивать числонаблюдаемых координат и уменьшать время работы.Особенностью радиоэлектронных измерителей является ихфункционирование при высокой неопределенности априорных све­дений о начальных условиях алгоритмов фильтрации (1.4.3)(1.4.5) или (1.4.19)-(1.4.23), имеющих место в момент обнаруже­ния (первого наблюдения) сигналов.

В простейшем случае х ?(0 ) иВд(0) выбираются по правилам, определяемым соотношениями(1.4.9) и (1.4.10). Необходимо отметить, что выбор начальных ус­ловий по этим формулам может привести к несоответствию на­чальных значений функционально связанных переменных. Этопредопределяет наличие в фильтре дополнительных переходныхпроцессов и усиление тенденции к расходимости. Для уменьшениявлияния неопределенности априорной статистики на работуфильтров можно использовать в качестве начальных значений на­блюдаемых координат результаты первых измерений Z j(0 ), пере­считанных к хДО) на основе детерминированных связей уравненийнаблюдения (1.4.2), (1.4.18).

В такой ситуации значения Djj(O) дляэтих координат будут определяться пересчитанными значениямидисперсий погрешностей измерений. Значения x t(0) и D^O) дляостальных фазовых координат можно найти путём численногодифференцирования результатов измерений на первых тактах на­блюдений с учетом моделей состояния.Действенными способами ослабления влияния ошибок вычис­лителей на сходимость процессов оценивания являются уменьше­ние шага интегрирования (интервала дискретизации в дискретныхфильтрах) и уменьшение числа уравнений (1.4.8), решаемых впроцессе синтеза и функционирования фильтров.При отсутствии других ограничений шаг интегрирования(интервал дискретизации) At целесообразно выбирать, исходя изусловия КотельниковаAt < 0.5тк(2.2.18)для процессов состояния с высоким уровнем шумов возмущенийлибо из правилаAt < 0.5ТМ(2.2.19)для малошумящих моделей, где тк - интервал корреляции моделисостояния, а Тм - период повторения максимальной гармоники,входящей в состав спектра процесса состояния.Необходимо отметить, что уменьшение Ni (1.4.8) путем ис­пользования более грубых исходных моделей (1.4.1) и (1.4.17)меньшей размерности может значительно ухудшить точность оце­нивания и усилить тенденцию к расходимости из-за большого не­соответствия выбранной модели реальным условиям функциони­рования.

Характеристики

Список файлов книги