Радиолокационные измерители дальности и скорости by Саблин В. Н. (z-lib.org) (852905), страница 16
Текст из файла (страница 16)
М етодобратны х з ад ач динамики при стабилизацииПРОГРАММНОГО ДВИЖЕНИЯДля этого метода характерен подход, когда задача синтезауправления формулируется как задача определения управляющихвоздействий, обеспечивающих системе требуемое движение. Реализация таких воздействий связана с определением управляющейфункции.Пусть задана полностью управляемая и наблюдаемая системас одной степенью свободы, поведение которой в пространстве состояний описывается линейным дифференциальным уравнениемх (t)=Fx(t)+bu(t), x(t0)=Xo,(1.13.1)где x(t) - n-мерный вектор состояния; u(t) - скалярный сигналуправления; F - известная числовая матрица; b - вектор, все элементы которого, за исключением последнего Ьп, равны нулю.Требуется построить алгоритм управления, при котором движение системы (1.13.1) из произвольной точки x(t) в начало координат осуществляется по траекторииXj(t) = ахе ^ + a2e^2t ++ ane*'nt.(1.13.2)Здесь: щ, j = l,n - постоянные коэффициенты, значения которыхопределяются начальными условиями; X}, j = l,n - различные известные числа, удовлетворяющие условию Re^j<0; Xj(t) - выходная координата системы (1.13.1).Для управляемой и наблюдаемой системы (1.13.1) можно найти такую управляющую функцию, которая обеспечивает движениеиз начальной точки x (0)=Xq по траектории (1.13.2).Введем вектор x*(t), состоящий из п компонент, каждая изкоторых определяется какXi=x2,х2 =х 8,.
..,xn_1 = xn,xn = Xa^ jXj.j=iС учетом уравнения (1.13.2) в векторной форме решение этойсистемы определяется соотношениемx*(t) = ЛеЛ°‘<х,(1.13.3)в котором1лп-1Л2Л "-1е_A0t0=>*0л П -1л П -1/1д0Лп.0000А-10000х,200000II>соа ,21О1•1; a=к«1a2ОГ•t •00е^_«п .Управление u(t), обеспечивающее выполнение назначеннойтраектории движения x*(t), вычисляется по правилуu(t) = (b_1)T[x*(t)-Fx*(t)],где b_i -вектор, определяемый соответствующими элементамивектора b , причем (b -iu)n = b ^a F - определяется (1.13.1).
Сучетом (1.13.3)u(t) = (b_1)T[M0 -FA]eA°ta.Вектор а, как указывалось выше, определяется из условия,что траектория движения начинается в точке х0, тогдаa = A“ 1e“ A°t°x 0. Следовательно, получимu(t) =(Ь.^ЛЛ,, - FAje^Vxo.(1.13.4)Существование обратной матрицы Л 1 достигается соответствующим выбором элементовтак как детерминант этой матрицы, определяемый известной формулой (определитель матрицыВандермонда [11]), равенdetА =П (V ^ i)i=l»j=li*lПредставляет интерес преобразование программного управления (1.13.4) к управлению с обратной связью. Из (1.13.3) следуетравенство e ^ a = A-1x*(t), тогда при условии точного отслеживания заданной траектории, когда x*(t)=x(t), имеемU(t) = (Ь_1)Т[ЛЛ0 -F(t)pA]A-1x(t).(1.13.5)Управление (1.13.5) обеспечивает замкнутой системе (1.13.1)движение вдоль заданной траектории в соответствии с уравнениемx(t)=F*x(t),где- матрица Фробениуса.
Причем элементы последней строкисформированы из соответствующих элементов ?ij, j = l , n .Изложенный подход позволяет синтезировать управление идля нелинейных систем [72, 73].В общем случае решение задачи здесь аналогично решению,рассмотренному выше. Наиболее актуальным в нелинейной постановке задачи является вычисление управляющей функции u(t) поизвестному управляющему сигналу.Рассмотрим объект управления, поведение которого в пространстве состояний описывается нелинейным дифференциальнымуравнением. Пусть для определенности задано одномерное дифференциальное уравнение96dt2+ a(x)dt+ b(x)x(t) = f (x, X , u).Назначенная траектория движения определяется согласно общепринятым положениям в виде**(t) = P1eX,t + P2eM -(1.13.7)Программный закон изменения управляющего воздействия согласно (1.13.6) и (1.13.7) определяется уравнениемf*(t) = <рА ) М М + Ф(Ь2)М М »(1.13.8)в котором <p(Xj) (j = 1 ,2 ) - полином второго порядка:ф(А,)=А,2+а(х)Х+Ь(х).Из условия согласования назначенной траектории (1.13.7) сначальными условиями системы (1.13.6) имеемPi+P2=x(0)=x0;РА + Рг^2 = х(0) = х0,илиа - ^ 2Х 0Pl_х0 аb2 - * i^ Х р -Х рР2’Выразим закон изменения управляющего воздействия f*(t) ввиде функции, зависящей от фазовых координат системы (1.13.6).Лt—Для этого в (1.13.8) необходимо pje J ( j = 1,2) представить в видефункции координат системы.
Из равенства х (t)= х *(t) имеемPAellt + РАе*2* = x(t).(1.13.9)Решая (1.13.7) и (1.13.9) относительно искомых величин получимX,t _ ^ 2Х7 .x.рX2t = _ М ~ х _Тогда (1.13.8) можно записать в видеf*(x,x) = [b(x) - А.ХЛ.2]x(t) + [а(х) - (А.х + A.2)]x(t). (1.13.10)Из (1.13.10) следует, что , как и в линейном случае, при условии идеального воспроизведения управляющего сигнала уравнениезамкнутой системы для исходного нелинейного объекта имеет видx(t) + (кг + A.2)x(t) + A,xA.2x(t) = 0.Задача практической реализации управляющего сигнала(1.13.10) связана с определением явной функции u(f*) . Решениеu(f*) может быть найдено из условия равенства (1.13.10) правойчасти уравнения (1.13.6), т.
е.f(x,x,u) = f*(x,x).(1.13.11)Если функция f (х, х, и) однозначно связана с u(t), то для любого значения t существует равенствоu*(t) = f-1(f‘ ),(1.13.12)где f _1(®) - обратная функция к f(«).Однако существует широкий класс систем, когда аналитическое выражение для u*(t) в виде (1.13.12) получить практическине удается. В рамках предложенных алгоритмов [72] рассмотримодин из подходов к определению u(t).Управляющая функция, как следует из (1.13.11), являетсяфункцией фазовых координат объекта. Это значит, что скоростьизменения u*(t) будет определяться динамическими характеристиками системы.
Введем понятие «обобщенного» объекта, под которым будем понимать объект с выходной координатой u*(t), авходной - управляющее воздействие f ‘ (x ,x). Воспользуемся аппроксимацией динамических свойств «обобщенного» объекта стохастическим дифференциальным уравнением. Порядок этого уравнения зависит от точности представления динамических характеристик.
Для определенности полагаем, что«*(*) = $y(t),(1.13.13)где £y(t) - белый шум со спектральной плотностью G и M[£y(t)]= 0 .Значение, вычисленное согласно выражению для f(x ,x,u “),будем интерпретировать как измерение координат состояния системы (1.13.13)z(t) = f(x,x,u*).(1.13.14)Величина z(t) определяется на основе измерений x(t) и x(t)реальными датчиками, на которые воздействуют шумы.
Тогда(1.13.14) можно записать какz(t) = f(x,x,u*) + £H.(1.13.15)где £u(t) - случайный процесс, удовлетворяющий условиямMRH(t)]=0 и MKH(t 1 )^ (t 2 )]=GH5 (t 1 -t2), 8(tr t2) - дельта функция.Задачу вычисления управляющей функции с учетом уравнений (1.13.13) и (1.13.15) можно сформулировать в терминах оптимальной фильтрации: необходимо найти оптимальную оценкуu=M[u/z] вектора состояния системы (1.13.13) по известным значениям (1.13.15).Алгоритм определения управляющего сигнала согласно [2, 3]имеет видu(t) = K[z(t) - f(x,x,u)].K(t) = D(t)H(t)G;1(t),H(t) = df^u-^,du(1.13.16)D(t) = -K(t)GHKT(t) + Gy.Для стационарного режима, когда D(t)=0, уравнения системы(1.13.11) приобретают более простой вид. Учитывая равенство(1.13.11) и допущение о стационарном режиме работы фильтра,имеем^= K(t)[f*(x,x) - f(x,x,u)j,(1.13.17)где К = -^GyG”1Зависимость коэффициента усиления системы (1.13.17) от характеристик измерительной системы позволяет оптимальным образом учитывать их в алгоритме оценивания.Точность реализации желаемой траектории x*(t) естественнозависит от точности решения уравнения (1.13.17).
Заметим, что сростом К точность решения возрастает, но в этом случае могутвозникать колебательные процессы в изменении ошибки[x(t)-x*(t)]. Значение невязки, а, следовательно, и управление может быть вычислено и без определения заданной управляющейсилы f*(x,x). Из (1.13.9) следует, чтоx(t) + a(x)x(t) + b(x)x = f(x,x,u) - f*(x,x*),тогда имеемf (x,x*) - f(x,x,u) = -(x(t) + a(x)x(t) -r b(x)x).Поэтому, если измеряется вторая производная управляемойкоординаты x(t), то синтез управляющей силы существенно упрощается.Заметим, что основной задачей в реализации алгоритмов(1.13.16) и (1.13.17) является выбор GH. Ясно, что чем большезначение GH, тем соответственно и большее быстродействие имеетконтур отработки заданного управления.
В практических задачахвеличина GH выбирается из условия минимума ошибки (x(t)-x*(t))при фиксированном GH и изменение точности измерительной системы не требует поиска алгоритмов формирования коэффициентовK(t). В этом случае коррекция K(t) выполняется в соответствии с(1.13.16) либо (1.13.17).Процедура синтеза управления в случае, если исходная система (1.13.1) является многомерной и многосвязной, когда u(t) является г-мерным вектором, практически совпадает с рассмотренной выше. Отличие заключается в том, что в этом случае задаетсяк траекторий движения для соответствующих компонент векторасостояния x(t).1.13.2.
Структурн о - парам етрическийметод синтеза управленияПусть задана управляемая и наблюдаемая система, математическая модель которой представляется дифференциальным уравнениемx(t) = f(a,x,u,t,(p),(1.13.18)где x(t) - n-мерный вектор состояния; а - р-мерный вектор параметров; cp(t)=[cpx(t) cp2(t)Фп(ь)]т - контролируемые внешние возмущения, являющиеся заданными функциями времени; и - г-мерный вектор управляющих сигналов. Будем полагать, что все элементы вектора q>(t) принадлежат пространству L2; вектор-функцияf(»)= [fi f 2У т предполагается непрерывной и непрерывно дифференцируемой по совокупности переменных х, и, ф.Требуется найти такое управление u(t), которое обеспечиваетизменение координат состояния объекта (1.13.18) по заданнойтраектории xT(t).
Координаты r-мерного вектора xT(t) по своей физической природе либо совпадают с вектором x(t), либо представляют некоторую комбинацию его компонент. При этом полагается,что соотношения между компонентами вектора состояния, которые должны выполняться вдоль траектории движения системы(1.13.18), представим в видегде £(•) - r-мерная вектор-функция, дифференцируемая п раз.Управление и необходимо определить в виде функции координат состояния системы (1.13.18) и координат желаемоЗ траектории.Решение этоё задачи будем определять из условия, что gfox,,)стремится к нулю по некоторому закону. Причем, этот закон изменения g(*) может быть задан любым дифференциальным оператором.Рассмотрим случай, когда система (1.13.18) может быть задана в виде системы линейных уравненийx(t) = Fx(t) + bu(t) + ®(t)e(1.13.20)где Fe ||fj|| - квадратная матрица размерности nxn с известнымиэлементами; b - вектор-столбец, определяющий весовые коэффициенты, с которыми управление входит в каждое уравнение системы; u(t) - скалярное управляющее воздействие.Внешнее возмущение Ф(Ь) является заданной функцией времени, причем все его компоненты контролируемы.Заметим, что число управляемых координат вектора x^t) в установившемся режиме, а, следовательно, и размерность вектораg(x,xT) определяется размерностью вектора управления.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
