Радиолокационные измерители дальности и скорости by Саблин В. Н. (z-lib.org) (852905), страница 11
Текст из файла (страница 11)
1 ) представляютсобой функции, которые изменяются во времени существенно медленнее, чем фазовые координаты xpi. Поэтому за время формирования наблюдения (1.8.3) их можно считать постоянными. Крометого, для широкого класса моделей, используемых при синтезеДС, параметры а, (1.8.2) являются константами. Поэтому вполнеправомочно равенствоa(k) = а(к -1 ).(1.8.6)Использование представлений (1.8.4) и (1.8.6) в качестве моделей наблюдения и состояния позволяет применять для оптимального по минимуму СКО оценивания алгоритм калмановскойфильтрации. Используя (1.8.4) и ( 1 .8 .6 ) в (1.4.19Н 1.4.23), будемиметь:а(к) = а(к-1) + Кфа(к)[хр(к )-М р(к)а(к-1)], а(0) = а0; (1.8.7)= Da(k - 1)Мр(к)[мр(k)Da(к - l)M^(k) + Dx(k - l)]_\ (1.8.8)Da(k) = Da(k -1) - Da(k - l)lvrp(k)[Mp(k)Da(k - l)MTp(k) + Dx]_1 xx Mp(k)Da(k -1 ),Da(0) = Da0,(1.8.9)где a0 и Dao - начальные условия.
При получении (1.8.9) было учтено, что для ( 1 .8 .6 ) апостериорная ковариационная матрица равна априорной и в этой модели отсутствуют возмущения. Ероме того, было принято во внимание то, что матрица Dx, которая характеризует шумы возмущений модели ( 1 .8 . 1 ), здесь играет роль матрицы шумов измерений и не всегда обращаема.Поскольку алгоритм (1.8.7Н 1.8.9) представляет разновидность общего алгоритма оптимальной линейной фильтрации, тодля него справедливы все выводы, сделанные в §1.4. В качествеособенностей можно отметить следующие обстоятельства.В процессе идентификации необходимо постоянно вычислять(1.8.8) и (1.8.9), поскольку матрица Мр (1.8.5) является функциейвремени.Если фазовые координаты х не поддаются непосредственномуизмерению и вместо них используются оптимальные оценки i,формируемые специальным фильтром, то в (1.8.5) и (1.8.7)—(1.8.9)вместо х необходимо использовать х, а вместо Dx - ковариационную матрицу D(k), вычисляемую при решении уравнений (1.4.22)и (1.4.23).Если оптимальные оценки х отсутствуют, но имеются наблюдения2(k) = Hp(k)ip(k) + 5M(k)(1.8.10)хотя бы части фазовых координат процесса ( 1 .8 .1 ), то для оценкипараметров ( 1 .8 .
1 ) также можно использовать общий алгоритмфильтрации (1.4.19)-(1.4.23), преобразовав (1.8.10) к виду, отображающему его зависимость от параметров (1.8.2). Для этогоподставим (1.8.1) в (1.8.10). Тогда получимz(k) = Нр(к)[фр(к, к - 1)жр(к -1 ) + $р(к -1)] + ^„(к) == Мр1(к)а(к) + 5 „ , (к),(1.8.11)Mpi = Нр(к)Мр(к);(1.8.12)гдеМр(к) определяется (1.8.5); ^кв(к)=Нр(к)£р(к- 1 )+£р|1(к) - эквивалентный шум измерений с матрицей дисперсийD , kbG0 = H p(k)Dx(k)Hp(k) + Djj(k).Необходимо отметить, что использование моделей ( 1 .8 .6 ) и( 1 .8 .1 1 ) в алгоритме фильтрации (1.4.19)-(1.4.23) несколько снижает точность идентификации по сравнению с алгоритмом (1.8.7)(1.8.9).
Поэтому такие алгоритмы целесообразно использовать нестолько для оценки параметров процессов и систем, сколько дляконстатации факта изменения этих параметров, например приидентификации результатов измерений в режиме автоматическогосопровождения нескольких целей [40] или при идентификации ихманевров [41].При сопровождении многих целей, например в режиме обзора,возможны ситуации, когда все или отдельные измерения не классифицированы по их принадлежности той или иной цели.
Приэтом возникает задача фильтрации нескольких информационныхпроцессов с одновременной идентификацией измерений, т.е. решения задачи о принадлежности каждого измерения той или инойцели. Решение такой задачи возможно с позиций теории адаптивной фильтрации, рассмотренной в §1.7.Положим для простоты рассуждений и обозначений, что измеряется одна координата X (например дальность) для каждого из шобъектов, т.е.
имеем Х^; i = 1, тп. Каждая из координат А* отображается в пространстве состояний вектором xi? т.е. А.*=СТХ£, гдеСт=[1 0 ... 0]. Изменение вектора х* во времени задаётся уравнениемxi(k)=Oi(k,k-l)xi(k-l)+Gi(k-l)U k -l);(1.8.13)где к - временной индекс; £xi(k-l) - векторный дискретный белыйшум с нулевым математическим ожиданием и матрицей дисперсий D ^ k -l); Ф 4(к,к-1), G^k-l) - матрицы соответствующих размерностей.Пусть также имеем N датчиков измерений координат объектов. Для определённости будем полагать N<m. Каждый датчик измеряет координатуодного из объектов, но неизвестно какого.Для учёта априорной неопределённости измерений по их принадлежности одному из объектов примем следующую модель такихизмерений.ВведёмвекторX=[XiХ2А,т ]т,строкуOj=[oijfl <Xjt2 aj,nJT - случайный векторный параметр, которыйпринимаетmа? = [0 1 0 ...
0 ],возможныхзначенийa- = [1 0 0 ... 0 ],, а ]11 = [0 0 0 ... 1 ], и представим j-e измерение в видеzj(k)=aj(A.(k)+4Hj(k));j = VN,(1.8.14)где У к)=К и 1 (к) 4иг(к)4ик(к)]т - вектор независимых дискретных белых гауссовских шумов с нулевыми математическимиожиданиями и диагональной матрицей дисперсий DH(k)={DHj(k)}.Зависимость вектора £щ(к) шумов от индекса j позволяет учестьразный уровень шумов в различных датчиках при измерении координаты одного и того же объекта.Статистические характеристики случайного параметра Oj задаются априорными вероятностями Pan(ccJ), j = l*N - вероятностями такого события, что j-e измерение содержит координату i-roобъекта. Так как каждое измерение содержит координату 7^ только одного из процессовто сумма априорных вероятностей___га£Р Ш1(а-) = 1;j = 1»N,(1.8.15)i=lНеопределенность принадлежности j-ro измерения одному изi = 1, m информационных процессов соответствует неопределённости значения векторного параметра ctj в наблюдениях (1.8.14).Задача синтеза оптимальной системы обработки формулируется следующим образом.
По измерениям (1.8.14), получаемым вдискретные моменты времени к, заданной (1.8.13) динамике изменения координати случайных векторах aj, с заданными априорными вероятностями (1.8.15), необходимо синтезировать оптимальный алгоритм фильтрации координат7^ (i = l,m ) с одновременной идентификацией измерений, т.е. векторов параметровa j( j = ^ N ).Введём обобщённый параметр (матрицу) a = [a j а \ а щ ]т, который является случайной величиной с конечным числом значений M=mN. Тогда для обобщённого вектора наблюдений можнозаписатьz(k)=cd(k)+А(а)£и(к),А (а) =“i016о0000“N00( 1.
8. 16)Реализацию наблюдений, т.е. совокупность измерений z(l),z(2), ... z(k), будем обозначать z*.Решение сформулированной задачи синтеза оптимального алгоритма обработки в наиболее общем виде сводится к нахождениюапостериорной плотности вероятности W(A.(k)|z^), на основе которой могут быть определены соответствующие оценки координат,оптимальные в том или ином смысле, а решение задачи идентификации измерений эквивалентно нахождению оптимальных оценок матрицы а, что может быть сделано, если определить апостериорные вероятности P(aj|z£) (j = 1,N ).Для нахождения оптимальных оценок координат представимплотность W(A,(k)|zi) в видеWa(k)|zJ)=XW(X(k),a9|z1k),8=1где M=mN - число возможных состояний матричной случайнойвеличины а.Используя общее выражение (1.7.9) для оптимальной оценкиинформативного процесса А., получаемШ = S l(a 8, kjp(a8|zt),где а(<х8, k) = I(1.8.17)a B)d>v(k) - условная оценка векторакоординат при заданном значении as.Таким образом, оптимальная оценка условного среднего формируется как взвешенная сумма частных условных оценок при заданных значениях а8.
Весовые коэффициенты при этом определяются апостериорными вероятностями P(a 8|zi).Рассмотрим оценки A^as,k j. Прежде всего, так как компоненты вектора Цк) соответствуют координатам различных объектов,то оценки этих составляющих £ ^ а в,к| независимы и формируются автономными фильтрами. Во-вторых, значение матричного параметра а8 определяет вполне конкретную структуру измерений(1.8.16), в которой информация о координате А*(к) содержится водном, двух, трёх и т.д. (вплоть до N) измерениях.
А это значит,что для каждого значения а 8 фильтр, формирующий оценкуА^а8, ^ , будет обрабатывать различное число Zj(k) наблюдений (ис различными номерами j). Такая совместная (комплексная) обработка всех измерений, содержащих информацию о конкретномобъекте, приводит к существенному повышению точности фильтрации координат объектов.Для формализации отмеченного факта введём z. (к) - вектортех измерений из (1.8.16), которые при значении as обобщённогопараметра содержат информацию о координате А^, т.е.
измеряюткоординату i-ro объекта. Тогда для оптимальных оценокkjможно записать следующие уравнения:a s, k j = С тх ^ а 9, k j ,i = 1, m ;X i(a s,k ) = x 3i( a 3,k ) + K ^ a 8, ^a,( k ) - l ( a s)CTx 3iJa9,k jJ ;x 3i( a s,k ) = Ф 5( к ,к - l ) x i ( a s, k - 1 );( 1 .8 .1 8 )K $ i( a 8,k ) = D 3i( a B, k ) c i 1T( a 8) xx [liT(a s)C TD 3i( a 8, k ) a iT( a s) +® a(as»kj =\ ( a “ J D ^ ( a s) i1T( a s) ] ' 1к - l)Dt(as,к|ф£(к, к - 1 ) + Gj(k - l)Dxi(k - l)G [(k - 1);D i(a B,k j = [ e - K $ i( a s,k )]D 3l( a s, k ) ,где x 8i|as,k j - экстраполированная (условная) оценка вектора состояния;Di(aB,k)-матрицадисперсийошибокфильтрации;D3i(as,k) - матрица дисперсий ошибок экстраполяции; D0z(a 8) -диагональная матрица дисперсий шумов измерения для вектораzfl(k); J(as) - вектор столбец соответствующей размерности (коi,a ’торая определяется «гипотезойо as) и состоящий из одних единиц.Для получения итоговой оптимальной оценки координаты i-roобъекта, в соответствии с (1.8.17) и упомянутой выше независимостью оценокkj при i = l ,m , необходимо просуммировать условные оценки (1.8.18) с оптимальными весами p (a s|zi j.Получим выражения для вычисления p|a8|zij.
Прежде всегоследует отметить, что в силу независимости всех наблюдений иполноты событий относительно векторов а,, составляющих матрицу а (см. (1.8.15)), апостериорная вероятность p (a s|zij представима в видеР ( а в1*{) = П Р ( « “1 * и ).( 1 .8 .1 9 )где ZjJ = {Zjtl,Zj)2 ,...,Z jjk} - реализация j -го измерения.При этом эволюцию апостериорных вероятностей(j = 1 , N ) можно рассматривать независимо.Поэтому рассмотримИз данного соотношения следуетp(<xf|z^) = cP^aflzjf^wjzjOtJl Zjf'.af),(1.8.20)где с = l j Z P jaJI*;- 1) w jZj(k)|Zj; - \a®j - нормировочная константа.Плотность вероятности w|zj(k)|z^~l,a®j - гауссовская, что следует из (1.8.14). Среднее значение для данной плотности определяется как*i(aJ’ k) = f zi(ai»k)W(z1»a‘ )d*ik = af^(af,k), (1.8.21)где Л,э1а®, kj - условная (при заданном а®) экстраполированнаяоценка вектора координат объектов, которая определяется из(1.8.18).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
