Радиолокационные измерители дальности и скорости by Саблин В. Н. (z-lib.org) (852905), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Пусть фильтруемыйпроцесс описывается уравнением (1.5.12), а наблюдаемый процесс(1.5.1). Ставится задача формирования оптимальных оценок вдискретные моменты времени(k=l, 2,...). Уравнения оптимальной фильтрации имеют видx ( k ) = x 3(k )+ j O ( t k,x )x*к-1<Цстхэ(т), tjxD(xдх»G^(x)[z(x) - s(cTx3(T),t)]dT=lk _=x8(k)+ J®(tk,x) D(T)CaA(x)dx,(1.5.22)*k-lх э(^)= ф ( ^ tk-i) x ( k - 1 ) ,где <&(t,i) - фундаментальная матрица априорного уравнения(1.5.12), удовлетворяющая уравнениюat=F(t)0(t,x),Ф(х,х))=Е.(1.5.23)Матрица 0 (t, т) определяется уравнением,(1.5.24)аналогичным (1.4.16) с начальным условием ф(т,т)=Е. Матрицадисперсий опшбок фильтрации D описывается уравнением (1.5.3).Из уравнения (1.5.22) следует, что оптимальная непрерывно*дискретная система фильтрации включает аналоговый дискриминатор, который описывается выражениемл8(х) = Стхэ(х).(1.5.25)Опорный сигнал в дискриминатор вводится при значении текущей экстраполированной оценки А^(т) параметров радиосигнала.Далее осуществляется накопление на интервале времени (tk,tk+1) соптимальными весами <f>(tk, t)D ( t )C выходного процесса дискриминатора.
Фильтрация в такой системе реализуется в дискретномвремени в тактовые моменты tk.1.6. ОПТИМАЛЬНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ ПРИ НЕИЗВЕСТНЫХНЕИНФОРМАТИВНЫХ ПАРАМЕТРАХ СИГНАЛАПредставление наблюдаемого процесса в форме (1.5.1) предполагает, что все параметры сигнала, кроме информативных А,, точноизвестны. Поэтому приведенные в предыдущем разделе алгоритмыфильтрации оптимальны (квазиоптимальны) именно для такихсигналов. Однако в задачах радиолокационных измерений такоепредставление принимаемых сигналов является скорее исключением, чем правилом. В большинстве случаев принимаемые сигналы имеют случайные неинформативные параметры. Так, например, при оценивании дальности и радиальной скорости такимислучайными неинформативными параметрами могут быть амплитуда и начальная фаза сигнала.
Поэтому рассмотрим вопрос отом, как может быть выполнен синтез оптимальной системыфильтрации при наличии неинформативных параметров сигналар. Запишем наблюдаемый процесс в формеz(t) = s(X,n,t) + n(t),Я, = Стх.(1.6.1)Для решения задачи оптимальной фильтрации информативного процесса X при наличии неинформативных параметров р можноиспользовать два подхода. В первом из них неинформативные параметры сигнала включаются в число оцениваемых и решается задача оптимальной фильтрации расширенного вектора состояния.Для решения этой задачи можно использовать алгоритмы, приведенные в предыдущем разделе.
Получающаяся при этом системафильтрации заметно усложняется. Второй подход основан на свойстве согласованности плотностей вероятности, которое в математической форме формулируется какw(b)= JW(X,n)d*i.(1.6:2)—соЕсли интегрирование по неинформативным параметрам удается выполнить аналитически, то при последующем решении задачифильтрации оценке подлежат лишь информативные параметрысигнала. Как следствие, результирующая система фильтрациифактически не усложняется по сравнению с той, которая получается при отсутствии неинформативных параметров.
Однако, к сожалению, интегрирование в ( 1 .6 . 2 ) удается выполнить не всегда и[е по всем возможным параметрам. Поэтому привести достаточнобгцие результаты синтеза в этом случае не представляется воз43можным. Мы ограничимся лишь некоторыми частными результатами.Рассмотрим для простоты случай скалярного наблюдения иконкретизируем описание сигнальной функции в ( 1 .6 . 1 )s(X, ц, t) = Ah(t,cos(©t + ф),(1.6.3)где А - амплитуда сигнала, h(t,A.) - модулирующая функция, которая в общем случае может зависеть от информативных параметров X, © - частота сигнала, ср - начальная фаза сигнала.В соответствии с (1.6.1) информативные параметры X отображаются в пространстве состояний вектором х, для которого справедливо априорное уравнение (1.4.1). Полагая частоту принимаемого сигнала известной, в качестве неинформативных параметровр выберем амплитуду А и начальную фазу ф. Распределение случайной фазы ф принято полагать равномерным [65], а амплитудыА - по рэлеевскому законуW.,M = 2%W,ар (А ) = А е х р2с\)А > 0.(1.6.4)Используя общую методологию теории оптимальной фильтрации, введем апостериорную плотность вероятностидля которой можно записать интегро-дифференциальное уравнение, аналогичное (1.3.6)wf^tjzoj = l|w(x,ljzt0Jj + F$(x,t)- j F$(x,t)wjx,tjzojdx w|x,tjzo),L—°oJ( 1.
6. 6)F$(x, t) = a(cTx, ц, tjG^zft) - 0,5s(cTx, ц, tjj, l = CTx ,XX =(1.6 .6)где L - оператор Фоккера-Планка для расширенного вектора х .В соответствии со свойством согласованности плотностей вероятности (1.6.2) проинтегрируем уравнение (1.6.5) по неинформативным параметрам р. Выполним сначала усреднение по начальной фазе ф.
Для этого представим апостериорную плотность расширенного вектора в эквивалентном видеW(x, А,(рЦ) = kWap(x)Wap(A)Wap((p)w(zo|x, A, (p),(1.6.7)где Wap - априорные плотности распределения соответствующихпараметров. Кроме того примем во внимание следующее соотношениеРф(х,1Ц х , ^ ) = |w (x,t|4).(1 .6.8)Тогда интегрирование уравнения (1.6.5) по ср, с учетом соотношения ( 1 .6 .2 ), приводит к уравнениюw (x,A ,^) =L1(w(x,A,ljz^))+F1(x,A,t)-- JГф(х, t)w(x, tjzojdxw|x, a |zqJ,(1.6.9)гдеFi(x,A,t) =|jkW ap(x)Wap(A)^|w (z‘ |x,Аф)аф|, (1.6.10)Li - оператор Фоккера-Планка для процесса {х, А}.Вычислим интеграл, входящий в (1.6.10)J e x p jo ;1J [z(x)s(cTx, А, ф , t J - 0,5s2(стх, А, ф, x jjd x j^ =12л Гt„)|exp] - 0,5GH11 Га Ц т) cos((ot + ф)| dx [ xо[olJГx exp]G ”1 } z(x)Ah(x) cos(cot + ф)йхj dф= expj ^Iq•|~ X(t, x) j-,4GJ W[GB=—Л( 1 .6 .
11 )где I0(.) - модифицированная функция Бесселя первого рода нулевого порядка,X2(t,x) = X2(t,x) + X2(t,x);tXc(t, x) = Jz(x)h(x) cos((DT)dx;о(1.6.12)X 3(t, x) = { z(x)h(x) sin(coT)di;о(1.6.13)a = jh 2(x)dx.оПроцесс X (t,x), определяемый выражением (1.6.12), представляет огибающую на выходе согласованного с сигналом s(CTx,t)фильтра, а a - эффективная длительность сигнала.Подставляя (1.6.11) в (1.6.10) и выполнив необходимые преобразования, получаемFi(x, A, t) = ||-x))]|w (x , а Ц)== Рфх(х, A , t )w (x , a |zq) .(1.6.14)Таким образом, (1.6.9) может быть записано в стандартномвидеw(x,A,tjz‘ ) =L1(w(x,A,tiz‘ )) ++ Гф1(х,A ,t)- jF$(x,t)w|x,t|zgjdt w(x,A,t|zt0).LоJ(1.6.15)Уравнение (1.6.15) может быть использовано для полученияалгоритма оптимальной фильтрации совокупного вектора {х, А }, атакже при решении задач фильтрации информативного вектора хпри известной амплитуде и неизвестной начальной фазе.
Алгоритмоптимальной фильтрации информативного вектора х, в последнемслучае по-прежнему имеет вид (1.5.7), в котором при определенииufl(t) вместо функции Еф(^Д) следует использовать Рфх(х,А,1;). Тогда:х = F(t)x + D(t)Cufl(t);X = Стх;(1.6.16)Как следует из приведенных уравнений структура оптимального измерителя не изменилась. Изменилась лишь структура оптимального дискриминатора, что обусловлено иной структурой ыа-блюдаемых данных z(t), в которых сигнал имеет теперь неизвестную начальную фазу.Вернемся к случаю, когда амплитуда сигнала также неизвестна и случайна.
Проинтегрируем уравнение (1.6.15) по А. Аналогично тому, как это было проделано выше, интегрирование большинства слагаемых, с учетом (1.6.2), не представляет труда. Поэтому остановимся лишь на интегрировании функции Fi(x,A,t),определяемой уравнениями ( 1 .6 . 1 0 ), ( 1 .6 . 1 1 ),* i M = ||kw.pW jw.p(A)«p|- | ^ J l0[AG;1X(t,x)]dAj.(1.6.17)Рассмотрим внутренний интегралвиG „+ a < r i/ 2GH+ О0д /x 2(t,x)L(1.6.18)2)где X(t,x), a - по-прежнему определяются уравнениями (1.6.12),(1.6.13). Подставляя (1.6.18) в (1.6.17) и выполнив необходимыепреобразования, получаемFo(t, х) = 1v -------------------^ X2(t,x)dt 2 G „ ( g h + а а д / 2 )=^Ф2(Х»t)w|x, tjZQj .(1.6.19)Структура полученного соотношения аналогична (1.6.14).
Поэтому уравнение для апостериорной плотности wjx, tjzgj такжеаналогично уравнению (1.6.15), в котором вместо Рф1 (х,АД) следует использовать функцию Гф2(х,1;), а вместо !•!(•) - оператор Фоккера-Планка L2(e) для вектора х. Аналогичные утверждения справедливы и для уравнений оптимальной фильтрации (1.6.16), непосредственно вытекающих из уравнения для апостериорной плотности вероятности. Следовательно, структура оптимального измерителя опять остается неизменной, а меняется лишь структура оптимального дискриминатора, которая теперь описывается соотношениема3k‘ at _2G„(gh+астд/ 2дjJ( 1 .
6 . 20)Как следует из приведенных результатов, изменение структуры сигнальной функции (за счет появления неизвестных параметров сигнала), а вместе с ней и структуры наблюдений приводитлишь к изменению структуры дискриминатора оптимальной системы фильтрации. Напомним, что, по определению, назначениемдискриминатора является формирование сигнала пропорционального рассогласованию между текущим значением информативногопроцесса и его оценкой в результате обработки наблюдений. Поэтому вполне естественно, что при изменении структуры наблюдений меняется и структура дискриминатора. Воспользовавшисьэтим свойством оптимальных систем фильтрации запишем уравнения оптимальной непрерывно-дискретной фильтрации при наличии неинформативных параметров сигнала.
Для этого представим соответствующие уравнения (1.5.22) в видех(к) = хэ(к) +Щ, т)Б(т)Сид(^хэ(т))<1т;(1.6.21)хэ(т) = Ф(т^к-1)х(к -1 ),где матрицы Ф и Ф - определяются (1.5.23), (1.5.24).В уравнения (1.6.21) в качестве ид следует подставить (1.6.16),если принимается сигнал с известной амплитудой и неизвестнойначальной фазой, и ( 1 .6 .2 0 ), если принимается сигнал с неизвестными амплитудой и начальной фазой.1.7. АДАПТИВНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ1.7.1.
П остановка задачисинтеза адаптивны х системфильтрацииДо сих пор мы рассматривали задачи оптимальной фильтрации в предположении, что все статистические характеристики информативных и мешающих процессов априорно известны. Неопределенность указанных статистических характеристик приводит к48постановке задачи адаптивной фильтрации, в которой совместнооцениваются информационные процессы, их параметры и статистические характеристики.
Как отмечалось в §1.1, мы будем рассматривать случай параметрической априорной неопределенности,при которой полагается, что уравнения, описывающие фильтруемый процесс x(t) и наблюдения z(t), известны с точностью до вектора а неизвестных параметров, так чтох = F(a,t)x + A(a,t)Sx(t),(1.7.1)z(t) = s(A,,a,t) + £„(t).(1.7.2)Здесь, как и раньше, £х и £и - независимые центрированные гауссовские белые шумы с матрицами спектральных плотностей Gx иGH соответственно. Вектор неизвестных параметров а может бытьпостоянным во времени и описываться уравнениемсс = 0,(1.7.3)или переменным и описываться уравнениемd = Fa(t)a + $a(t),(1.7.4)аналогичным (1.7.1).В дальнейшем для простоты изложения будем полагать неизвестные параметры постоянными.1.7.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
