Радиолокационные измерители дальности и скорости by Саблин В. Н. (z-lib.org) (852905), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Винвариантных системах показатели качества их работы не зависятот характеристик сигналов и помех. Однако платой за такую инва­риантность является худшая эффективность функционирования.В наиболее эффективных - адаптивных ДС, априорная неопределённость статистических характеристик полезных и мешаю­щих процессов преодолевается оцениванием неизвестных парамет­ров систем и процессов в процессе работы и использованиемполученной информации для оптимизации системы. Во многихпрактических задачах априорная неопределенность носит парамет­рический характер и сводится к неопределенности некоторых па­раметров статистических распределений процессов, что эквива­лентно неопределенности соответствующих параметров моделей(1.1.3Н1-1.6).

В этих условиях соответствующие модели можнопредставить в видеx(t) = f[x(t),u(t),oc,£x(t),t], z(t) = h[x(t),a,£„(t),t],(1.1.7)x(k+ l) = f[x(k),u(k)>a,5x(k),k], z(k) = h[x(k),a,£H(k),k], (1.1.8)где a - вектор неизвестных параметров, который может быть пос­тоянным или меняющимся во времени. В процессе адаптации про­водится оценка указанных параметров.Адаптация может также осуществляться непосредственнойподстройкой параметров синтезированной динамической системы,минуя прямую оценку неизвестных параметров информационныхпроцессов (1.1.7), (1.1.8).Достоинство адаптивных систем в том, что при успешнойадаптации априорная неопределенность преодолевается полностьюи показатели качества системы в всем диапазоне условий работыоказываются наилучшими.Также как и в случае полной априорной информации, в ус­ловиях параметрической априорной неопределенности более про­сто решаются задачи при отсутствии ограничений на структурусистемы и энергетические затраты.

Для решения таких задач ис­пользуется теория адаптивной фильтрации [51].1.2. КРИТЕРИИ И ПОКАЗАТЕЛИ ЭФФЕКТИВНОСТИРАДИОЭЛЕКТРОННЫХ СИСТЕМПод эффективностью радиоэлектронной системы (устройст­ва) понимают степень ее соответствия своему назначению [42, 76].Оценивается эффективность с помощью показателей и критериев.При этом показатели представляют количественную оценку эф­фективности, а критерии - правило, по которому определяетсястепень соответствия системы своему назначению.Синтез любой динамической системы предполагает заданиекритерия эффективности ее функционирования.

Математическойосновой выбора наилучшего (оптимального) решения являютсятеория игр и статистических решений [54] и теория динамическо­го программирования. Приведем основные положения указанныхтеорий, которые понадобятся для решения задачи синтеза радио­локационных измерителей.Пусть информационный процесс в пространстве состоянийпредставляется вектором x(t) (1.1.3). Наблюдаемый процесс z(t)описывается уравнением (1.1.4). При этом X - множество возможных решений (оценок), а х е X - его элементы. Совокупностьразличных преобразований q>(z(t)) наблюдаемых данных z(t) воценки x(t) образуют множество возможных решающих правил алгоритмов обработки данных наблюдения z(t).

Каждый алгоритмобработки cp(z(t)) приводит к соответствующей оценке x(t). Длясравнения различных оценок вводится количественная мераg(x,x), получившая название «функции потерь» («функции штра­фов»). Эта функция представляет собой априорную оценку послед­ствий принятия решения x(t), в то время как реальный процессотображается вектором x(t). В большинстве практических задачпотери зависят не от абсолютных значений х и х , а от их разно­сти, т.е. g (x ,i) = g(x - х). Наиболее часто используемые функциипотерь: квадратичнаяg(x-x) = (x -x )TQ (x-x),(1.2.1)где Q - весовая неотрицательно определенная матрица, и простаяg(x- х) = |х- х|.(1.2.2)Так как информационный процесс х и его оценка х описы­ваются случайными функциями времени (в уравнения (1.1.3) и(1.1.4) входят случайные процессыи £и), то функция потерьg(x - х) также является случайной.

В связи с этим в теории стати­стических решений вводится понятие “риска” R, характеризующе­го потери в среднем, т.е.R = M[g(x ~ х)],(1 .2 .3 )где М[*] - операция математического усреднения. В зависимостиот полноты усреднения в (1.2.3) вводят несколько различных рис­ков, которым соответствуют разные принципы выбора оптималь­ного решения.Прежде всего рассмотрим случай полной априорной инфор­мации о статистических характеристиках всех процессов и отсут­ствия ограничений на синтезируемую систему.

Выберем в качествевероятностной меры при усреднении в (1.2.3) совместную плот­ность распределения вероятностей W(x,z). Тогда имеем= | J g ( x - x ) w ( x , z)d x d z.(1 .2 .4 )-0 0 -0 0Риск, определяемый соотношением (1.2.4), называется сред­ним. Используя формулу Байеса для плотности W(x,z), выражение(1.2.4) представим в видеЩ = | } g(x-x)w(x|z)w(z)dxdz = J R^fxjzjV^zjdz,(1.2.5)где Rpa(xjz) = |g(x - x)w(x|z)dx - апостериорный риск (т.е. после-0 0проведения наблюдений z(t)), a W(x|z) - апостериорная плотностьвероятности.Располагая функцией риска R (x ) можно очевидным образомсформулировать задачу нахождения оптимальной оценки: опти­мальной называется оценка х 0, минимизирующая средний риск.Такая оптимальная оценка называется байесовской.Используя методы вариационного исчисления легко пока­зать, что оптимальной байесовской оценкой при квадратичнойфункции потерь (1.2.1) является условное математическое ожида­ние( 1. 2.

6)а при простой функции потерь (1.2.2) - оценка х тах, доставляю­щая максимум апостериорной плотности W(x|z). В дальнейшем вкниге используются в основном оценки условного среднего (1.2.6),при записи которых будет опускаться индекс «О». Показатель ка­чества (1.2.5) с функциями потерь (1.2.1), (1.2.2) широко исполь­зуется в теории оптимальной фильтрации при полной априорнойинформации о статистических характеристиках исследуемых про­цессов.В условиях неполной априорной информации, когда неопре­деленность носит параметрический характер и описывается векто­ром а неизвестных параметров, средний риск (1.2.5) также стано­вится функцией этих параметров Щ х,а ). В этом случае, следуяобщей методологии, введем усреднение по а^а шахооооЁ(х) = J \ \ g(x(a)-x)W(x,z,a)dxdzda =a min -со -ооa шах= IJ g(x(a) - x)w(x|z, a) dx w(z|a)dz W(a)da. (1.2.7)Критерий минимума риска Ё(х) используется в теории адап­тивной фильтрации для нахождения оптимальных оценок в усло­виях параметрической априорной неопределенности.

Более под­робно процедура минимизации Й(х) будет рассмотрена в соответ­ствующих разделах книги.18Вернемся к задаче с полной априорной информацией, но приналичии дополнительных ограничений. Конкретизируем вид огра­ничений применительно к задачам синтеза радиолокационных из­мерителей. Это прежде всего ограничения на структуру системы,что может быть обусловлено заданной инерционной частью систе­мы, цепями управления и т.д. Будем полагать, что заданная частьсистемы в пространстве состояний описывается Z-мерным векторомху, удовлетворяющим уравнениям:ху = fy(xy,u,Sy(t))(1.2.8)в непрерывном иx y(k+ Х) = fy (x y(k> u (k). М к))(1 .2 .9 )- в дискретном времени, в которых £y=Kyi £У2 ••• byilT - возмуще­ния, U - [щu r]T - управляющие сигналы.В общем случае наблюдения (1.1.4), (1.1.6) также зависят отвектора х у:z(t) = h(x(t),xy(t),£„(t)),(1.2.10)z(k) = h(x(k), xy(k), £и(к)).(1.2.11)Второй тип возможных ограничений это ограничения на об­ласть возможных управлений:и , < и доп1,(1 .2 .1 2 )где Ufl0Ili - допустимая величина i-ro сигнала управления.Третий вид ограничений - это ограничения в затратах энер­гии управляющих сигналов.

Точнее сказать это не ограничения, ажелание проектировщика минимизировать энергию управляющихсигналов. Поэтому соответствующий (как правило квадратичныйuTKu) член вводится в функцию потерь. По аналогии с (1.2.3) вве­дем обобщенный риск:Ry = M[g(x, ху, и, t)],(1.2.18)где g(x,xy,u,t) - обобщенная функция потерь.В теории статистического оптимального управления [34, 77]выбор функции потерь более тесно связан с существом решаемойзадачи, чем в статистической теории оценивания. Однако этомуфакту не всегда уделяется достаточно внимания. Прежде всего вСТОУ различают два варианта задания времени управления.В первом варианте используется фиксированный интервалвремени TK=[0,t,J, на котором формируется оптимальное управле­ние, а соответствующая функция потерь представляется как инте­гральная функцияg1(x,xy,u,tk)= Jg(x,xy,u,t)dt.(1.2.14,а)оВо втором - время полагается текущим, а функцией потерь явля­етсяg2(x,Xy, u, t) = g(x, ху, u, t).(1.2.14,6)В первом случае критерий называется интегральным, так какуправление должно быть выбрано из условия экстремума функ­ционала, заданного на интервале времени TK=[0,t,J.

При этомgl(x,xy,u, tK) является функционалом от u(t), te[0,tIC]. Во второмслучае критерий называется текущим (локальным), так как требу­ется обеспечить экстремум показателя качества в каждый теку­щий момент времени. При локальном критерии, строго говоря,вариационная задача, понимаемая как задача минимизациифункционала, вырождается, так как показатель g (x ,x y,u ,t) явля­ется скалярной функцией времени, а его минимум необходимообеспечить в любой текущий момент времени за счет выбора те­кущего значения u(t) вектора управления.

При синтезе оптималь­ных ДС возможно использование как интегрального, так и ло­кального критериев.В СТОУ, входящую в (1.2.14) функцию потерь g (x ,x y,u ,t)часто задают в видеg(x, Ху, u, t) = g(x, ху, t) + uTKu,(1.2.15)где К - положительно определенная матрица, задающая вес мощ­ности управляющих сигналов в общем показателе качества;g(x,xy, t ) - функция потерь, аналогичная (1.2.1).В случае интегрального критерия в показателе качества чаетевыделяют компоненту, соответствующую конечному времени tKт.е. записывают его в видеg ^ X y . u . t J = g (x,X y ,tk) + j(g(x,xy,t)+uT(t)Kn(t))dt(1.2.16)Для дискретных во времени процессов интегральный показа­тель качества записывается в видеgj(x, ху, u,kT) = g(x, ху, кт) +[g(x, Ху,i) + uT(i)Ku(i)].(1.2.17)Конкретизируя в (1.2.13) операцию математического усреднения,аналогично тому, как это было сделано в (1.2.4), (1.2.5), вводятсяпонятия среднего и апостериорного рисковR(u)= J J Jg(x,xy,u,t)w(x,xy,z)dxdxydz,(1.2.18)-с о -о о -о оR Ps ( u ) =J Jg(x,xy,u,t)w(x,xy|z)dxdxy,(1.2.19)—оо"COв процессе минимизации которых при ограничениях (1.2.8),(1.2.9), (1.2.12) находится оптимальное управление.1.3.

ОСНОВЫ ТЕОРИИ ОПТИМАЛЬНОЙ ФИЛЬТРАЦИИПусть на приемной стороне наблюдается реализация случай­ного процесса z(t), описываемого уравнением (1.1.4) и несущегоинформацию о полезном сообщении x(t). Под оптимальной фильт­рацией сообщения x(t) понимают наилучшее (в том или иномсмысле) его воспроизведение из наблюдаемого процесса z(t). Вос­произведенное сообщение х часто называют оценкой.Рассмотрим задачу текущей фильтрации. Как отмечалось в§1.2, в теории фильтрации оптимальность, как правило, связыва­ют с квадратичной (1.2.1) или простой (1.2.2) функциями потерь.В первом случае оптимальной оценкой сообщения является оценкаусловного среднего (1.2.6), а во втором случае - оценка, для кото­рой апостериорная плотность вероятности принимает максималь­ное значение. Для нахождения обеих оценок необходимо распола­гать апостериорной плотностью вероятности.

Характеристики

Список файлов книги