Радиолокационные измерители дальности и скорости by Саблин В. Н. (z-lib.org) (852905), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Тогда для t>0-00y(t) =J g (t,t) z( t)(It ,y (0 )= 0 .(1 .4 .1 3 )0При векторных входном z(t) и выходном y(t) сигналах импульсная характеристика фильтра является матричной функцией.Положим (для простоты) в (1.4.1) n (tH ). Тогда для оптимального линейного фильтра (1.4.3) с нулевыми начальными условиями можно записать представление в форме (1.4.13), т.е.28tx(t) = Jgo(t,T>(T)dT, x(0) = 0,(1.4.14)0которое в литературе называют фильтром Винера. Можно показать [52] чтоg0(t,x) = 0(t, x)D ( t)H t( x)G „ ( t) ,где(1.4.15)- фундаментальная матрица (матрица импульсных характеристик), вычисляемая в процессе решения уравнения^ ^= [f(t)-D(t)ir(t)G„(t)H(t)]®(t,x), «(t,t) = E, (1.4.16)где Е - единичная матрица.Структурная схема фильтра Винера приведена на рис. 1.4.2.Для стационарных процессов вустановившемсярежимефильтрВинера может быть описан коэффиРис. 1.4.2.циентом передачи с постояннымипараметрами.
Методика определения такого коэффициента передачи описана в [50].1.4.2.Дискретные алгоритмы фильтрацииПри описании процессов в дискретном времени априорныеуравнения для сообщения и наблюдаемого процесса имеют вид:х(к) = ф(к,к- 1)х(к-1) + В(к- l)u(k-1) +Цк-1),2(к) = Н(к)х(к) + £и(к),(1.4.17)(1.4.18)где £х(к-1), £и(к) - независимые центрированные белые гауссовскиешумы с матрицами дисперсий Dx и DHсоответственно.Уравнения оптимального дискретного фильтра Калмана получаются аналогично уравнениям непрерывного фильтра и имеютвид:*(к) = хэ(к) + Кф(к)[г(к) - Н(к)хэ(к)], х(0)=х0;(1.4.19)*9(к) = Ф(к,к- l)x(k -1 ) + в(к- l)u(k-1);(1.4.20)йф(к)=П(к)1Г(Ц1^1(Ц=Е^(к)ЕЕг(Ц(ои(^ +^к)ц(^Вт(к))''1; (1.4.21)D„(k) = «(к, к - l)D(k- 1)Фт(к, к - l)+Dx(k-l);(1.4.22)1)(к)=(Е-Кф(к)Н(к))Вэ(к),(1.4.23)D(0)=D0.Здесь х(к) - текущая оценка состояния, х„(к) - экстраполированная оценка состояния, Кф(к) - матрица коэффициентов усиленияфильтра, D(k) - матрица дисперсии ошибок фильтрации, Dd(k)матрица дисперсий ошибок экстраполяции.
Как следует из приведенных соотношений, дискретный алгоритм оптимальной фильтрации включает экстраполяцию на один такт (1.4.20) оценки состояния, полученной на предыдущем шаге, с последующей корректировкой с весом Кф(к) экстраполированной оценки «разностным сигналам», называемым в литературе невязкой измерений.НевязкаAz(k) = z(k) - H(k)xa(k)(1.4.24)представляет центрированный гауссовский процесс с дисперсиейD*(k) = D„(k) + H(k)D3(k)HT(k).(1.4.26)В случае отсутствия наблюдений при k>k* рекуррентное уравнение для экстраполированной оценки аналогично уравнении(1.4.11), т.е.х8(к) = ф(к, к - 1)хэ(к -1 ) + в(к - l)u(k - 1),(1.4.26)с начальным условием х э( к - 1) = x(ktj при (k-l^kj). Уравненидля дисперсии ошибки экстраполяции для к>кг имеет видЦ(к) = Ф(к, к - 1)вэ(к - 1)Фт(к, к -1) + Dx(k -1), D8(k-l)=D(k!),(1.4.27при k -l= k j.Пример 1. В задачах радиолокационных измерений в качествдискретной модели фильтруемого процесса часто используют щицесс второго порядка*i(k) = хх(к - 1) + Tdx2(k -1 ),(1.4.28)х2(к) = х2( к - 1) + ^ (к -1 ),который получается из (1.4.17) при Ф =кретизации.
При наблюдениях301 Td01, где Td - шаг ди<z(k) = Xl(k) + ^(k)из общих соотношений (1.4Л9), (1.4.20) можно записать уравнения оптимального фильтраXi(k) = x8l(k) + кф1[г(к) - x9l(k)],х2(к) = хэ2(к) + кф2[г(к) - хэ1(к)],(1.4.29)x3i(k) = хх(к -1 ) + Tdx2(k -1 ), хэ2(к) = х2(к -1 ).В установившемся режиме K j^const, ^ 2e const. В литературечасто используют обозначения [27] Кф^а, Кф2=Р/Т^, а стационарный фильтр (1.4.29) называют <х-Р фильтром.Пример 2. На практике встречаются ситуации, когда оценкиинформационного процесса необходимо формировать с темпом T<j,а измерения (1.4.18) проводятся в более редкие моменты времени,отстоящие один от другого на интервал T^N T^.
В этом случаеможно записатьz(k)=3(k)[H(k)x(k)+Uk)L(1.4.30)Is_ fl,при k = iN, i=0,1,2.. .[О, при к ^ ШПодставляя (1.4.30) в (1.4.19), (1.4.20), получаем следующийалгоритм оптимальной фильтрации:х(к) = хэ(к);к * iN;хэ(к)=Ф(к, к - 1) хэ(к -1) +В(к-1)и(к-1);хэ(к -1 = (i - 1)N) = x((i - 1)N);x(k) = хэ(к)+Кф(к)[г(к)-Н(к)хэ(к)]; k=iN.(1.4.31)Уравнения для коэффициента усиления Кф(к) определяютсяформулами (1.4.21)-(1.4.23) с учетом структуры наблюдений(1.4.30).Поскольку экстраполяция выполняется с малым шагом приближаясь по точности к аналоговой процедуре, а измерения поступают редко, то в литературе алгоритм (1.4.31) иногда называютаналого-дискретным.Так же как и в непрерывном времени, для оптимальной дискретной оценки (1.4.19) можно записать уравнения в формефильтра Винера [52].В задачах радиолокационных измерений координаты объектаявляются непрерывными функциями времени.
Наблюдаемый процесс также во многих приложениях описывается непрерывнойфункцией. В то же время формирование оценок координат в современных системах реализуется, как правило, в дискретном времени на базе цифровых вычислителей. В связи с этим встает вопрос об оптимальной дискретной фильтрации непрерывных процессов. Ответ на этот вопрос дают комбинированные калмановсковинеровские фильтры [52].1.4.3.
К омбинированные калмановско- винеровские алгоритмыфильтрацииПусть сообщение и наблюдаемый процесс описываются уравнениями (1.4.1), (1.4.2) при u(t)=0. Поставим задачу формирования оптимальных оценок i ( t k) в дискретные моменты времени tk,k = l,2 ,.... Рассмотрим уравнение оптимального фильтра Калмана вформе (1.4.3) и запишем для него решение на интервале времениO fcV u)^ t k+1) = % +1, t k) ^ t k) + tkf i ( t k+bx )D (x )lT (x )G ;1(T)z(x)dT=tk~tk+1= ^ ( t k+i>t k ) S(t k )+ J S o (t k + i ^ K T) d t ’(1.4.32)4где <t>(tk+1,t) - как и выше, переходная матрица линейного фильтра, удовлетворяющая уравнению (1.4.16), a go(tk+i,x) - импульсная характеристика фильтра Винера, для которой справедливовыражение (1.4.15).Представление (1.4.32), рассматриваемое в дискретные моменты времени tk, - одно из решений поставленной задачи.
Оно является рекуррентным уравнением, связывающим соседние оценкиx(tk+1) и x(tk) и содержит винеровский фильтр для наблюденийвнутри интервала. Структурная схема комбинированного фильтра,реализующего (1.4.32) приведена на рис. 1.4.3. Она состоит изфильтра Винера для непрерывного времени, представленного в ви-де коррелятора, хотя возможна также реализация на основе аналогового фильтра с импульсной характеристикой go(tk+i,T), аналого-дискретного преобразователя А /Д и рекуррентного фильтра, работающего в дискретном времени с периодом T=tk+1 -tk.Рис.
1.4.3.Другое представление комбинированного алгоритма можнополучить из (1.4.32), воспользовавшись следующим представлением для переходной матрицы^ л ) = ^ Д к)-Ц^т)1)(т)Яг(т)(^1(тДт)ф(тЛк)(1т, (1.4.33)где 0 (t,x) - фундаментальная матрица априорного уравнения(1.4.1) для сообщения x(t), удовлетворяющая уравнению<b(t, x)=F(t)<I>(t,x), с начальным условием Ф(х,х)=Е.Справедливость такого представления следует из того, чтоправая часть (1.4.33) удовлетворяет (1.4.16) и при t=tk обращаетсяв единичную матрицу Е.Подстановка (1.4.33) в (1.4.32) даёт£(*к+1 )= Ф (* к +1 Л ) * М ++ f Ф(*к+1 >T)D(T)HT(T)GH1(T)[z('r) - Н(т)ф(т, tk)x(tk)]dx =tfc+1=x8(tk+i)+ \ ffo(*k+i»T)[z(T) ~ Н(т)хэ(т)](1т,(1.4.34)где«• (tk + lb ^ W tk) x(tk) ,х9(т) = ф(т, tk) x(tk)- имеют смысл экстраполированных для моментов времени tk-j-i их оптимальны* оценок x(tk) сообщения, полученных по наблюдениям до началд интервала (tk,tk+i).Структурная схема фильтра,(1.4.34) приведена на рис.
1.4.4.описываемогоуравнениемРис. 1.4.4.Данная схема ближе к структуре фильтра Калмана, чем схема, приведенная на рис. 1.4.3. Основное отличие заключается втом, что, если в схеме рис. 1.4.3 в аналоговой ее части стоял неследящий фильтр Винера, то в схеме рис. 1.4.4 аналоговая частьохвачена отрицательной обратной связью по оценке x(tk). Другоеотличие заключается в том, что в схеме рис. 1.4.4, кроме оптимального экстралолятора на момент времени tk+1, есть оптимальный экстраполятор на каждый промежуточный момент времениxe(tk,tk+i). Следует отметить, что данная операция характерна,как это будет показано в следующем разделе, для любого оптимального комбинированного фильтра.1.5. АЛГОРИТМЫ ОПТИМАЛЬНОЙ НЕЛИНЕЙНОЙФИЛЬТРАЦИИЗадача фильтрации называется нелинейной, если состояниеописывается нелинейным дифференциальным уравнением (1.3.1)или оно входит нелинейно в наблюдения (1.3.2). В интересующихнас задачах состояние ДС, как правило, описывается линейнымдифференциальным уравнением вида (1.4.1), а наблюдаемый процесс (принимаемые радиосигналы) описывается нелинейным уравнением, так как полезная информация содержится в задержке радиосигнала, фазе или доплеровской частоте.
Указанные параметрырадиосигнала будем называть информативными и обозначать вектором X.Поясним связь между параметрами сигнала к и вектором состояния х. Каждому из параметров А* сигнала может быть поставлен в соответствие вектор щ. Так, например, задержку, несущуюинформацию о дальности до цели х1э скорости Х2 и ускорении Х3сближения, можно представить соотношением ^ = стх, гдес=[1 О 0]т, x=[xj Х2 х3]т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
