Радиолокационные измерители дальности и скорости by Саблин В. Н. (z-lib.org) (852905), страница 7

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

Аналогично связаны и другие параметрысигнала с векторами, описывающими их в пространстве состоя­ний. В общем случае полный вектор параметров сигнала X такжесвязан с вектором х, отображающим его в пространстве состояний,соотношением А,=Стх, где С - матрица соответствующей размерно­сти. С учетом сделанных замечаний наблюдаемый процесс будемописывать уравнениемz(t) = s(X, t) + £H(t),Я=Стх,(1.5.1)В отличие от задачи линейной фильтрации гауссовских про­цессов, когда апостериорная плотность вероятности является гаус­совской, в задаче нелинейной фильтрации апостериорная плот­ность вероятности является в общем случае негауссовской.

Этоприводит к тому, что, во-первых, оптимальные оценки сообщения,соответствующие различным критериям оптимальности, могут от­личаться друг от друга. Так, например, оценки условного среднегои максимума апостериорной плотности вероятности не совпадаютпри несимметричных апостериорных плотностях.

Во-вторых, дажев рамках одного критерия оптимальности, например минимумадисперсии ошибки фильтрации, не удается получить точногозамкнутого решения, так как апостериорная плотность вероятно­сти описывается бесконечной цепочкой взаимосвязанных момен­тов, квазимоментов или семиинвариантов [67, 77]. Поэтому в тео­рии оптимальной нелинейной фильтрации используют те илииные приближенные решения. Наибольшее распространение полу­чило гауссовское приближение, при котором апостериорная плот­ность вероятности полагается гауссовской. Кроме того в этом слу­чае полагают, что отношение энергии полезного сигнала к спек­тральной плотности аддитивного шума (отношение сигнал/шум)достаточно велико, так что точность фильтрации высокая. Это по­зволяет разложить нелинейную функциюв ряд по степенямразности (х-х).

Подставив полученное разложение и гауссовскуюапостериорную плотность в (1.3.5) и выполнив необходимые ус­реднения можно получить различные алгоритмы оптимальнойфильтрации в гауссовском приближении. Наиболее простой изних, получивший в литературе название «расширенного фильтраКалмана», описывается уравнениями:x(t) = F(t)x(t) + D(t)5s[cTx,t)VЭхJx(0) = x0,D(t) = B(t)D(t)+D(t)F(t)+Gx(t)-D(t)(1.5.2)ofeJcTx.t)a s j c b t )4SxdxD(0)-Do,B(t),(1.6.3)где x - оценка условного среднего, D - матрица дисперсий ошибокфильтрации. Здесь и далее при векторном дифференцированиипринято определение производной скаляра по вектору как векторстрока [51].Уравнение (1.5.2) описываетследящую систему,структуракоторой аналогична структурефильтра Калмана.

В радиоавто­матике [50] радиотехническиеследящие системы принято пред­ставлять в виде, приведенном наРис. 1.5.1.рис. 1.5.1, где буквами Д, Ф и Мобозначены дискриминатор, фильтр и модулятор. Дискриминаторявляется нелинейным устройством, выделяющим информацию орассогласовании v = X - X между информационными параметрамиX принимаемого сигнала и их оценкой X в процессе сравнения z св(£, t ) .В соответствии с [50, 67] процесс на выходе дискриминатораопределяется соотношениемГа**(м)уидМ = V дк) \=х’(1.5.4)гдеРф(М ) = sT(M )G ;l(z(t) - 0,5s(X t))(1.5.5)- логарифм функционала правдоподобия.Подставляя (1.5.5) в (1.5.4) и выполнив дифференцирование,получаемтuдGH1(z(t) - s(l, t)).(1 .5 .6 )С учетом введенного определения дискриминатора представимуравнение (1.5.2) в видех = F(t)x + DCu^t) = F(t)x + K(t)ufl(t),(1.5.7)Структурная схема фильтра, описываемого уравнением (1.5.7)приведена на рис.

1 . 6 .2 . Как следует из уравнений (1.6.4)—(1.5.6)структурадискриминатораопределяется только структу­рой наблюдаемых данных(1.5.1), в том числе формойсигнала, и не зависит отформы представления пара­метров X в пространстве со­стояний, т.е. от структурыРис. 1.5.2.уравнения (1.4.1). В то жевремя фильтр Ф определяетсятолько видом уравнения (1.4.1), описывающего изменение векторасостояния х, и не зависит от формы сигнала s(l,t), т.е.

от структу­ры наблюдаемых данных. Отмеченное свойство оптимального из­мерителя остается справедливым и при решении других задачоптимальной фильтрации в гауссовском приближении. Так, на­пример, если фильтруемый процесс описывается нелинейнымуравнением (1-3.1), то при гауссовском приближении изменитсялишь структура сглаживающего фильтра, в котором вместо F(t)xследует взять f(x ,t).Учитывая этот факт при решении практических задач синтезоптимального дискриминатора и синтез оптимального сглажи­вающего фильтра можно проводить раздельно, комбинируя их по­том в соответствии с структурной схемой рис.

1.5.2. Такая мето­дология синтеза оптимальных измерителей будет широко исполь­зоваться в настоящей книге. В частности рассмотрим еще одно уп­рощение, широко используемое при синтезе оптимальных сглажи­вающих цепей (фильтров «Ф» рис. 1.5.1). Для этого вернемся кописанию дискриминатора оптимальной нелинейной системыфильтрации (1.5.6). Процесс ufl(t) на выходе дискриминатора яв­ляется случайным. В нем можно выделить регулярную (математвческое ожидание U=M[uA(t)]) и случайную составляющие, т.е.представить его в видеufl(t)=U(\A)+i;(t).(1.5.8)С точки зрения формирования процесса ufl(t) на выходе дис­криминатора оптимального измерителя рис. 1.5.2 можно привестиэквивалентную структурную схему его входной части в виде, при­веденном на рис.

1.5.3.Зависимость математического ожидания процесса на выходедискриминатора от ошибки слежения v=X - X принято называтьдискриминационной характеристикой. Качественная зависимостьU (v) приведена на рис. 1.5.4. При большом отношении сигнал/шум ошибка фильтрации в следящем измерителе мала и не111•ЩхД)-Рис. 1.5.3.Рис. 1.5.4.выходит за пределы линейного участка дискриминационной ха­рактеристики, которая в этом случае может быть представлена ввидеu ( x - x ) = s flx ( x - £ ) ,(1.5.9)3u (a - А.)где S„=ЗА,аX= X-матрица крутизн дискриминационнойхарактеристики.С учетом (1.5.9) эквива­лентнаяструктурнаясхемавходнойчастиизмерителяпринимает вид, приведенныйна рис.

1.5.5. В этой схемеслучайный процесс T](t) на вы­ходе дискриминатора можноРис. 1.5.5.пересчитать ко входу эквивалентной структурной схемы через матрицу крутизн SA дискриминационной характеристики. При ; том эквивалентная структурнаясхема всего фильтра пре образуется к виду, показанному на рис.1.5.6. Данная схема с точностью до обозначений для матричногоРис. 1.5.6.коэффициента совпадает со структурной схемой на рис. 1.4.1 оп­тимального фильтра Калмана, для которого наблюдаемым про­цессом являетсяz(t) =X+ S'^(t) = Стх + S~4(t).(1.5.10)Таким образом, для синтеза оптимальных сглаживающих це­пей можно использовать мощный аппарат теории оптимальнойлинейной фильтрации, подробно описанный в предыдущем разде­ле, с учетом структуры эквивалентного наблюдаемого процесса(1.5.10).При отсутствии (пропадании) входного сигнала в моментыt>ti уравнения для оптимальной экстраполированной оценки иматрицы дисперсий ошибок экстраполяции определяются форму­лами (1.4.11), (1.4.12).Все сказанное выше для задачи фильтрации в непрерывномвремени остается справедливым и для дискретного времени.

По­этому кратко приведем основные итоговые соотношения.Наблюдается реализацияz(k) = s(A,, k) + £„(k),A,(k) = CTx(k),(1.5.11)в которой информационные параметры X сигнала отображаются впространстве состояний векторомх(к)=Ф(к,к-1)х(к-1)^х(к-1).(1.5.12)Оптимальный в гауссовском приближении алгоритм фильтра­ции имеет вид:аз(стХэ(к),к)x(k)=x3(k)+D(k)w »k) 1’йх,(1.6.13)x(0) = x0;хэ(к)=Ф (к,к-1) x(k-1);(1.5.14)Щк)=Ф(к,к- 1)Щк-1)Фт(к,к- 1)+Dx(k-1),(1.6.15)D(k)=(I-K(k)H(k))Dg(k),(1.5.16)/ _/_D(0)=D0;\_ \\ TЭз(стх э(к),к)K(k)=D3(k)Эх,8в(с, х,(к),к)1D «(k)-Эх,, / 0s(cX(k),k)Э\ /Jv(1.5.17)Эх,Уравнения (1.5.12)-(l-5-17) описывают оптимальную нели­нейную дискретную следящую систему, в которой, так же как и внепрерывном случае, можно выделить дискриминатор и фильтр.Для дискриминатора справедливо выражение(1.5.18)М к) = с тхэ(к),где,k)=sT(X.,k)D~1(k)[z(k)- 0,5з(Х,к)], ХС учетом (1.5.18) оптимальный фильтрвыражением:*(к)= хэ(к) +D(k)Cид(к),хэ(к)=Ф(к, к - 1) х(к-1),=Стх .(1.5.19)будет описываться(1.5.20)(1.5.21)Структурная схема системы приведена на рис.

1.5.7. Так жекак и в непрерывном времени, структура оптимального дискрими40Рис. 1.5.7.натора определяется структурой наблюдений z(k), а структурасглаживающих цепей в контуре следящей системы зависит толькоот описания информационного процесса х(к) в пространстве со­стояний. Синтез оптимального дискриминатора и оптимальногофильтра может проводиться независимо.Процесс на выходе дискриминатора может быть представлен ввиде (1.5.8), где вместо непрерывного времени надо использоватьдискретное время к.

Дискриминационная характеристика U^A, - A,jдискриминатора в общем случае является нелинейной функциейошибки фильтрации, но при большом отношении сигнал/шум мо­жет быть аппроксимирована линейной зависимостью вида (1.5.9).В этом случае синтез оптимального фильтра в контуре следящейсистемы может быть проведен для эквивалентного линейного на­блюдаемого процесса вида (1.5.10) методами оптимальной линей­ной дискретной фильтрации.В режиме экстраполяции при ид(к)=0 для t>tj уравнение оп­тимальной экстраполяции имеет вид (1.5.21).Уравнения оптимальной комбинированной калмановско-винеровской фильтрации (при непрерывных наблюдениях, но форми­ровании оценок в дискретные моменты времени) получены в [52] иявляются обобщением уравнений (1.4.32).

Характеристики

Список файлов книги