Радиолокационные измерители дальности и скорости by Саблин В. Н. (z-lib.org) (852905), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Поэтому основнойзадачей теории фильтрации является получение уравнения, описывающего эволюцию апостериорной плотности вероятности. Существуют различные способы получения требуемых уравнений дляразличной степени общности постановки задачи [67, 77]. Мы ограничимся достаточно стандартной постановкой задачи, конкретизируя (1.1.3), (1.1.4) в следующем видеX = f(x,t) + Sx(t),(1.3.1)z(t) = s(x,t) + 5„(t),(1.3.2)где £x и £и “ независимые векторные гауссовские белые шумы снулевыми математическими ожиданиями и матрицами спектральных плотностей Gx и GH соответственно.
Для задач радиолокационных измерений s(x,t) - вектор радиосигналов.Получим уравнение для апостериорной плотности вероятности W^x,t|zoj, где Zq - реализация наблюдаемого процесса на интервале времени [0,t]. Пусть проведено дополнительное наблюдение на интервале времени 8t. Рассмотрим приращение апостериорной плотности вероятности, обусловленное приращениями 8t и8z:5W = w|x(t+ 81), t+ 5 t|zg, 8zj - w(x(t), t|z^j == [w|x(t+ 81), t+ 8 t|zo, 8zj - w|x(t), tjz^, 8zj] ++ [W(x(t), t|zo,8zj - w(x(t), t|4)] = 8Wfl + 8WH.(1.3.3)Здесь 8Wд - приращение плотности вероятности, обусловленноеизменением сообщения х за время 8t, a 8WH- приращение плотности вероятности, обусловленное приращением наблюдений 8z. При8->0 приращение 8Wд для процесса x(t), удовлетворяющего уравнению (1.3.1), а, следовательно, являющегося марковским, описывается уравнением Фоккера-Планка-Колмогорова [77]dW„(1.3.4)гдеЙ М И + -1)}~2 u% 1d x i d x iдифференциальный оператор Фоккера-Планка-Колмогорова.В работе [78] показано, что при 5-»0 приращение плотностивероятности 5WHописывается соотношением5ф (х, i;) - J F(()(x,t)w|x,t|zo)dx w|x,tzp)dt, (1.3.5)dWH=в котором Fф(х,1)=вт(х,t) Gj,1[z(t)-0,5s(x,t)].Подставляя (1-3.4), (1.3.5) в (1.3.3), получаем интегродифференциальное уравнение, которому удовлетворяет апостериорная плотность вероятности:w(x,^)=l|w(x,l|4|+ F$(x,t)- JF$(x,t)wjx,ijzojdx w(x,tjz‘ ).—00(1.3.6)Начальное условие для уравнения (1.3.6) имеет видW(x(0),0|0)=W(x(0)),(1.3.7)где W(x(0)) - априорная плотность вероятности распределения сообщения х.Уравнение (1.3.6) в общем виде не имеет аналитического решения.
Поэтому для решения практических задач используют теили иные аппроксимации.Рассмотрим задачу экстраполяции. В радиолокационных измерителях такая задача возникает при пропадании полезного сигнала. Полагая в (1.3.6) z(t')=0 при t’>t, получаем уравнение дляплотности вероятности W8(x,t’|zo) экстраполированных значенийсообщенияWa(x ,t'm = L(Wa(x,t'|z^), f> t(1.3.8)с начальным условием,ьЩ=w|x,t|z£j, t’=t.Wa|x(1.3.9)Таким образом, в режиме экстраполяции эволюция плотности вероятности определяется априорным уравнением ФоккераПланка-Колмогорова для сообщения x(t).При синтезе дискретных систем фильтрации будем полагатьзаданными дискретные уравнения состояния и наблюденияx(k+l)=f(x(k),k)+k(k),(1.3.10)z(k)=h(x(k),k)+$H(k).(1.8.11)Обозначим последовательность z(l), z(2), ..., z(k) через z f .Получим рекуррентные уравнения для апостериорной плотностиw|x(k)|z^j.
На основании правила умножения вероятностей запишемw (x(k),z(k)|zt-1) = w(z(k)|z^1,x(k))w(x(k)|z^"1) == w (x(k)|zik-\ z(k)j wjzfk)^"1j .Отсюда апостериорная плотность вероятностиW|W‘ )-(1.3.12)Так как наблюдение z(k) при фиксированном x(k) зависит лишь oiшума £и(к) и не зависит от предыдущих значений, тоw|z(k)zi_1,x(k)j =w(z(k)|x(k)).Поскольку плотность вероятности w|z(k)|z|~1j не зависит явно су\сообщения х, то она является несущественной для последующейсинтеза и ее можно включить в нормировочную константу «с*».
(учетом этого соотношение (1.3.12) можно записать в видеw(x(k)|zi j=схw|x(k)|zjf_1JW(z(k)|x(k)).(1.3.13)Условная плотность вероятности w|z(k|x(k)j очевидным образом определяется из уравнения наблюдения (1.3.11), а плотность вероятности w|x(k)|zi_1j для марковского процесса x(k) определяется известным уравнением= J w|x(k-l)zi-1jw(x(k)|x(k-l)jdx(k--l), (1.3.14)где переходная плотность вероятности w(x(k|x(k- l)j может быт:найдена из уравнения (1.3.10) для сообщения х(к).Таким образом, уравнения (1*3.13), (1.3.14) позволяют рекуррентно вычислять значения апостериорной плотности вероятностина k-м шаге по соответствующему значению той же плотности вероятности на (к-1)-м шаге.
Данные уравнения решаются при начальном условии (1.3.7).Так же как и для непрерывной задачи, уравнение эволюцииапостериорной плотности в режиме экстраполяции получаются,если положить z(k'H) при k’>k. При этом уравнение (1.3.13) преобразуется в тождество, а уравнение (1.3.14) принимает видW 3(x(k')|Zlk) =J W 3( x ( k '- l)|zk) w (x (k ')| x (k '- l ) ) d x ( k ' - 1),(1.3.15)k ’> kс начальным условием W8|x(k'- l|zij = w|x(k)jzi j в момент времени k’-l=k.Полученные выше общие уравнения, описывающие эволюциюапостериорных плотностей, будут использованы в последующихразделах книги для решения частных задач.1.4. АЛГОРИТМЫ ОПТИМАЛЬНОЙ ЛИНЕЙНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ1.4.1. Н епрерывные алгоритмыфильтрацииИнтегро-дифференциальное уравнение для апостериорнойплотности вероятности (1.3.6) в общем виде решается лишь в частном случае, когда сообщение описывается линейным дифференциальным уравнениемx(t) = F(t)x(t) + B(t)u(t) + $x(t),(1.4.1)с начальным условием х(0), являющимся гауссовской случайнойвеличиной с нулевым математическим ожиданием и матрицейдисперсий Dx(0), при условии, что уравнение наблюденийz(t) = H(t)x(t) + ^(t)(1.4.2)также линейно.
В (1.4.1): u(t) - детерминированная функция времени.В [67, 77] показано, что при выполнении условий (1.4.1),(1.4.2) общее решение уравнения (1.3.6) описывается гауссовскойфункциейгде x - оценка (1.2.6) условного среднего, для которой справедливо дифференциальное уравнениех = Fx + Ви + Кф[г - Нх],х(0) = х(0);Кф= DHrT/1_1G' ,D=FD+DT -M fG :1HD+Gv(1.4.3)(1.4.4)D(0)=D0;(1.4.5)где D = м|(х - х)(х - x)Tj - матрица дисперсий ошибок фильтрации,и для простоты опущена зависимость всех векторов и матриц отвремени.Уравнения (1.4.3)-(1.4.5) описывают оптимальный линейныйфильтр, который в литературе получил название фильтра Калмана.
Как показано в §1.2 оценка условного среднего х минимизирует квадратичную функцию потерь (1.2.1). Следовательно,фильтр Калмала формирует оптимальную оценку сообщения, минимизирующую дисперсии ошибок фильтрации компонент сообщения x(t).Уравнение(1.4.3) описываетлинейную нестационарную следящую систему,структурная схема которой приведена на рис.1.4.1, где Кф матричный коэффициент усиления фильтра.^ ис* 1*4*1*Анализ (1.4.3)-(1.4.5) позволяет сделать следующие выводы. Впроцессе фильтрации выполняются две операции: прогнозированиех = Fx + Ви(1.4.6)оцениваемого процесса, осуществляемое по детерминированнойчасти модели (1.4.1), и коррекция результатов прогнозаК ф (г-Н х ). Корректирующая поправка зависит от невязки измерений(1.4.7)называемой также обновляющим процессом.
Невязка измеренийхарактеризует степень несоответствия результатов прогноза наблюдения Н х, вычисляемого по детерминированной части (1.4.2)и конкретного измерения z.Реализация алгоритма (1.4.3Н 1-4.5) требует решения в реальном времени системы из(1.4.8)дифференциальных уравнений. В (1.4.8) первое слагаемое определяет количество уравнений самого алгоритма оценивания (1.4.3), авторое - количество уравнений, необходимых для вычисления коэффициентов симметричной матрицы дисперсий ошибок фильтрации (1.4.5), знание которых является обязательным для вычисления коэффициента усиления (1.4.4) невязок. Отсюда следует, чтосложность вычисления коэффициентов усиления невязок намногопревосходит сложность самого алгоритма оценивания.
Это явление, известное как «проклятие размерности», является характерными для многих видов оптимальных систем.Для стационарных процессов (1.4.1) и (1.4.2) матрица D может быть сформирована заранее, что позволяет существенно упростить процедуру получения оптимальных оценок. В общем случаес течением времени дисперсии D^; i = 1, п уменьшаются от первоначальных больших значений D^O) до существенно меньших в установившемся режиме.
Это обусловливает уменьшение коэффициентов (1.4.4) усиления невязки и снижение корректирующеговлияния измерений.Начальные условия для (1.4.3) и (1.4.6) задаются с учетомпервоначальной неопределенности оцениваемых фазовых координат. При этом можно использовать различные приемы. В простейшем случае х(о) = х 0 выбирается как среднее из всех возможных значенийx0 = 0,5(xmln+ x max).(1.4.9)Начальные дисперсии ошибок можно определить по формулеD « (0 ) = K lm» ax.
x - x , M11) V l 2 .(1.4.10)соответствующей дисперсии равномерного распределения случайной величины X* на интервале [ximin,Уравнение оптимальной экстраполяцииx ^ t) =+ B (t)u (t),t> ti(1 .4 .1 1 )с начальным условием х э(Ч) = *(*i) получается из (1.4.3), если внем положить Az(t)^0 при t>tleИз уравнения (1.4.11) следует, что оптимальный экстраполятор воспроизводит «регулярную динамику» полезного сообщенияx(t) в соответствии с априорным уравнением (1.4.1).Уравнение для матрицы дисперсий ошибок экстраполяцииможнополучитьследующимобразом.ПоопределениюD3(t) = М^(х - х 8)(х - х 8)т] . Тогда6 Э = М^(х - х э)(х - х э)т + (х - х 8)(х - х э)Т] .Подставляя в это равенство уравнения (1.4.1), (1.4.11) для производных х и х 8 и выполнив усреднение, получаемD a = F(t)D3 + D aF T(t) + G x ,D ,^ ) = %) ,t > t j.
(1 .4 .1 2 )Наряду с представлением оптимального линейного фильтра вформе следящей системы с отрицательной обратной связью (1.4.3)часто используется другое представление - в форме неследящегооптимального фильтра Винера. Известно [50], что любая линейная система может быть описана импульсной характеристикойg(t,x), которая представляет собой отклик системы при входномвоздействии в виде дельта функции 8(т). При этом выходной сигнал y(t) физически реализуемой системы (для которой g(t,T)=0 приК т) для произвольного входного воздействия z(t) описывается выtражением y(t) = j g(t,x)z(i)dT.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
