Радиолокационные измерители дальности и скорости by Саблин В. Н. (z-lib.org) (852905), страница 15
Текст из файла (страница 15)
(1.11.7)Так как в соответствии с принципом оптимальности Веллмана,предыдущее оптимальное управление не зависит от последующего,то проделав такие же рассуждения для предыдущего интервала[к-2 , к-1 ] получим, что оптимальное управление и(к-2 ) определяется такими же формулами (1.11.6), (1.11.7) с заменой к-1 на к-2.Сопоставляя алгоритм оптимального по локальному критериюуправления (1-11.6)—(1.11.7) с аналогичным алгоритмом (1.10.20)(1.10.24), оптимальным по интегральному критерию Лётова-Калмана, можно увидеть, что они сходны по структуре.
Различиелишь в том, что вместо матрицы Р(к) для оптимального алгоритмас интегральным критерием, которая определяется уравнением(1.10.23) с граничным условием (1.10.24), в алгоритме с локальным критерием используется фиксированная матрица Q*, фигурирующая в показателе качества (1.11.3). Таким образом, при использовании локального критерия получаем существенно болеепростой алгоритм оптимального управления. Однако это упрощение, во многих случаях, приобретается за счет ухудшения показателя точности формирования управляемой траектории.В соответствии с выводами теоремы разделения для статистического варианта необходимо в ( 1 .
1 1 . 6 ) заменить фазовые координаты их оптимальными оценками. Тогда(1. 11.8)Задача локальной оптимизации непрерывных систем можетбыть сформулирована следующим образом: для системы (1.9.8)при наличии измерений (1.9.11) необходимо найти вектор сигналов управления, оптимальный по минимуму функционалаоJ(1.11.9)Поскольку (1.11.9) представляет частный случай функционала(1.9.7), (1.9.9) при L=0 и t ^ t , то закон управления описываетсяобщей формулой (1.10.14).
Обратим внимание на то, что в (1.11.9)каждый момент времени t соответствует моментувозможногоокончания управления. Тогда матрица Р в (1.10.14) будет определяться граничным условием (1.10.13). Подставляя (1.9.10) и(1.10.13) в (1.10.14) получим( 1 . 1 1 . 10)С учётом особенностей вычисления матрицы P=Qi для(1.11.10) справедливы все выводы, сделанные в процессе анализа(1.10.14), но с некоторыми уточнениями и дополнениями.Оптимальная ДС представляет собой систему с отрицательными обратными связями по всем управляемым координатам. Этосвидетельствует о её высокой устойчивости и малой чувствительности к точности выдерживания параметров.Сигнал управления определяется не просто состоянием системы, а текущими ошибками А тх т - А ух у управления.Отсутствие необходимости громоздких расчётов матрицы Р,имевших место в (1.10,12)—(1.10.14), выгодно отличает (1.11.10),делая процедуру его вычисления чрезвычайно простой и широкоприменяемой на практике.1.12.
УЧЁТ ИЗМЕРЯЕМЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ ПРИ ЛОКАЛЬНОЙОПТИМИЗАЦИИ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМВ ряде практических задач возникает необходимость учёта взаконе управления измеряемых возмущений, действующих надискретную систему. Следует отметить, что существующие алгоритмы учёта таких возмущений в законе управления дискретнойсистемой, оптимальной в постановке Лётова-Калмана, достаточносложны [34, 59]. Алгоритм, приведённый в [59] требует расширения исходного вектора состояния путём включения в его составучитываемых возмущений. Такой приём приводит к значительному усложнению алгоритма за счёт увеличения количества решаемых уравнений (влияние «проклятия размерности»). Алгоритм,приведённый в [34], не требует значительного увеличения количества решаемых уравнений, однако приводит к усложнению решения двухточечной краевой задачи.
В связи с этим представляетинтерес синтезировать существенно более простой закон управления дискретными системами, оптимальный по локальному критерию. Такая задача была рассмотрена в §1.11, но без учёта измеряемых возмущений.Ниже будет получен закон управления линейной дискретнойсистемой, оптимальный по минимуму локального функционалакачества, в котором учитываются измеряемые возмущения.В математическом плане задача формулируется следующимобразом.
Для дискретной системыxy(k)=Oy(k,k-l)xy(k-l)+By(k-l)u(k-l)+^y(k-l)+^yH(k-l),(1. 12. 1)предназначенной для отработки процессаX T C ^ O ^ k ^ - lJ x T C k - l)^ -^ .!)(1 .1 2 .2 )необходимо найти вектор и сигналов управления, оптимальный поминимуму локального функционалаI=M{[ATxT(k)-Ayxy(k)]TQ[ATxT(k)-Ayxy(k)]+uT(k-l)Ku(k-l)}.(1.12.3)В соотношениях (1.12.1)-(1.12.3): ху и- векторы управляемых и требуемых координат размерности щ и п2 соответственно;Фу и Фт - переходные матрицы состояния; Ву - матрица эффективности управления; £у - вектор измеряемых (известных) возмущений; £ун и £т - центрированные векторы неизмеряемых гауссовских возмущений с известными матрицами дисперсий; А,, и А у матрицы соответствующих размеров, уравнивающие в функционале размерность векторов х,.
и ху; Q - неотрицательно определённаяматрица штрафов за точность приближения ху к х,.; К - положительно определённая матрица штрафов за экономичность.В соответствии с выводами теоремы статистической эквивалентности (п.1.9.3) при линейных исходных моделях с гауссовскими шумами и квадратичных функционалах качества статистический регулятор эквивалентен детерминированному при условиизамены в нём фазовых координат их оптимальными оценками.Тогда, подставив (1.12.1) и (1.12.2) в (1.12.3), при условии£ун=0 и £г=0 , получим:I={[AT0 T(k,k-l)xT(k-i)-AyOy(k,k-l)xy(k-l)+By(k-l)u(k-l)++^y(k-l)]TQx[AT®T(k,k-l)xT(k-l)-AyOy(k,k-l)xy(k-l)++By(k-1)u(k-1)+^y(k-1))]+uT(k-l)Ku(k-1)}.Опустив для простоты зависимость векторов и матриц от номера шага дискретизации будем иметь:i=К фIа^ А тФтХг-фтуa ; qa^ x, utb ; a ^qa ^,Чу А^АрФ^-х? ф ; А ^ А уФуху+хуФтуATyQAy®yxy++игВуА ^ А уФуХу+^ А ^ А уФуху-х^Ф£ApQAyByU++хтуф; AyQAyByU+uTByAyQAyByU+^y AyQAyByU•х? Ф; ApQAy^y+Xy ФтуАуQAy^y+uTByATyQA^y++^y AyQAJ4y+uTKu}== { I i - u TB y А у9 А гФ тх т+ и т Ву A yQ A yO yX yФ]x- 1 A jQ A y B y U + x y Ф у A y.
Q A yByU +uTB y A yQ A yByU++^TyAy QAyByU+uTByAyQAy4y+uTKu},(1.12.4)где Ix представляет сумму всех слагаемых, не содержащих и.Найдём условие минимума (1.12.4), продифференцировав егопо ит и приравняв результат дифференцирования нулю:-в; AyQAT0 TxT+By AyQAy®yXy-By ATyQA,rOTxT++ В * А у Q А уФ уХ у+2 B y A yQ A yB yU + B y A y Q A j4 y++ B yA yQ A y ^ y + 2 K u == - 2 B y А ^ А р Ф р Х р + г В ^ A yQ A y® yX y++2 ByAyQAyByU+2 ByAyQAy^y+2 Ku =0;[By AyQ AyBy-fK]u=By AyQ [ АрФтХт-АуФуХу-Ay4y]Подставляя в полученное соотношение формулу (1.12.2) имеем:u (k -1 )= [ By А уQ A уВ у + К ] '1 В уA y Q {A rX T( k - 1 )Ф т(к ,к - 1 )--Ау[Фу(к,к-1)Ху(к-1)+£у(к - 1)]}.(1,12.5)Полученный детерминированный закон управления (1.12.5) будет справедлив и для статических систем ( 1 .
1 2 . 1 ), ( 1 . 1 2 .2 ) при условии замены в нём фазовых координат оптимальными оценками.Тогда# - l ) = K y| A A ( k - l) ® Tf e k - l ) - A y[ o yf e k - l ) x r( k - l ) + i y(k -l)]},1 12.6)( .гдеКу = [ в уА уО А уВ у + K p B y A y Q .(1.12.7)Анализ (1.12.6) и (1.12.7) позволяет сделать следующие заключения.Сигнал управления пропорционален ошибкеАтхк(к-1)Фт(к,к-1)-Ау(Фу(к,к-1)ху(к-1)+^у(к-1)).В полученном сигнале управления достаточно просто учитываются измеряемые возмущения. При этом не требуется расширять вектор состояния и решать сложную двухточечную краевуюзадачу.Вес ошибок управления зависит от штрафов Q и К за точностьуправления и его экономичность.1.13.
СИНТЕЗ УПРАВЛЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКИМИ СИСТЕМАМИНА ОСНОВЕ КОНЦЕПЦИИ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ ДИНАМИКИСуществует класс задач радиоуправления, когда процесс синтеза не может быть сведен к минимизации некоторого строго заданного функционала. В частности, это возникает тогда, когда задача управления не имеет физического или естественного глобального критерия качества, правильно и полно отражающего содержание задачи. В таких задачах управление часто заключается вподдержании определенных соотношений между отдельными компонентами вектора состояния объектов. Эти соотношения обычноописывают условия нормального функционирования объектауправления либо характер переходного процесса.В последнее время для решения таких задач наиболее частостали применяться методы синтеза управления на основе концепции обратных задач динамики [21, 25, 43, 53].
Сущность этогометода заключается в определении управления, реализующеготребуемую траекторию движения системы, исходя из решения еёдинамического уравнения. Известен ряд различных методов иприемов решения задач, связанных с определением управления наоснове этого метода [4, 23, 70, 71]. Однако все они обладают характерными особенностями, присущими только методу обратныхзадач динамики. Первое, это возможность аналитического синтезауправления как для линейных, так и сугубо нелинейных систем.И, во-вторых, задание желаемых соотношений в виде дифференциальных уравнений, либо в виде функций времени, либо графически позволяет снять основные трудности, возникающие присинтезе управления классическими методами оптимального управления, связанными с выбором весовых коэффициентов функционалов качества и решением краевой задачи.В зависимости от условий функционирования объекта управления и требований, предъявленных к системе, можно выделитьследующие основные типы задач: стабилизацию программногодвижения, управление с экстремумом принятого функционала качества, адаптивное управление.Дальнейшее изложение сконцентрируем вокруг процедур поиска управления для указанных типов задач.1.13.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
