Радиолокационные измерители дальности и скорости by Саблин В. Н. (z-lib.org) (852905), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Тогда безограничения общности можно считать, что система (1.13.20) эквивалентна по дифференциальному уравнению*in)(t) + "iV i® = £ biU(i)(t)+ £ q k(t),j=0i=0k=0(1.13.21)где xi(t) - выходная координата системы (1.13.20); qt(t) - возмущение, обусловленное действием сигнала <J>k(t) на соответствующий вход системы (1.13.20).Введенные новые функции ^ (t ), k = 1, п также являютсяфункциями времени и определяются по формулер*/яQkW = 1Узфк ♦j=0—к = 1,п.Здесь приняты следующие обозначения:- порядок числителя передаточной функции для сигнала O^(t); yj - коэффициентычислителя соответствующей передаточной функции.Для определенности полагаем, что функция F(«) имеет видg(x,xr)=xi(t)-xTl(t).(1.13.22)Тогда с учетом требования аналитической связи закон изменения g&Xr) выбираем в виде линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядкаg ^ x ^ x ,) + Xn_1g(n' 1)(x1,xT)+...+^.0g(x1,xT) = 0,(1.13.23)в котором Xj, j = l , n - l - любые положительные числа, обеспечивающие устойчивость решения (1.13.23).Подставляя (1.13.22) в (1.13.23) получаем дифференциальноеуравнение r-го порядка относительно u(t)bmu(r)(t) + bm_1u(r_1)(t) +...
+ b0u(t) = z(t),(1.13.24)где z(t)= £ « jXi'O) - £, xT) + x^n) - £ q t(t).i=0Уравнение (1.13.24) решается при нулевых начальных условиях, т.е. u'(O)H), и"(0)=0,и^г 1 )(0)=0, а значение и(0) равнотекущему значению и(-0 ).Запишем уравнение (1.13.24) в форме Коши, тогда искомоеуправление определяется решением уравнения(1.13.25)Здесь: В -числовая матрица Фробениуса размерности (гхг);RT=[0 0 ... Ь“х] - матрица-строка; й - вектор, состоящий из искоуправления и его производных.Начальные условия системы (1.13.26) определяются соответствующими начальными условиями уравнения (1.13.24). Решение(1.13.25) будет определять искомое управление u(t). Заметим, что(1.13.25) решается одновременно с (1.13.21).Наибольший интерес представляет случай, когда в уравнении(1.13.21) компоненты вектора В, за исключением последнего, равны нулю.
Тогда управление, удовлетворяющее (1.13.23), определяется выражениеммогов котором принято, что ^ = 1 .Рассмотрим более подробно особенности управляемого процссса в случае, если управление определяется уравнением (1.13.24)или (1.13.26). Пусть параметры системы (1.13.21) otj, j = l , n - l иbj, i = X г известны точно, тогда уравнение управляемого процессаимеет видx[n)(t) + Xj=0=Xqk7+X А,,х£.j=0(1.13.27)Из (1.13.26) следует, что вне зависимости от свойств исходнойсистемы свойства управляемого процесса однозначно определяютсякоэффициентами Х}. Обычно в качестве желаемой траектории рассматривают перевод системы из состояния х( 0 )=хо в начало координат.
В этом случае уравнение управляемого процесса (1.13.27)преобразуется в линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. В зависимости от корней характеристического уравнения решение x(t) может иметь два основных вида. Для определенности в (1.13.27) положим п= 2 , тогда,при >.0*0,25выходная координата имеет закон измененияXl(t) = cxePlt + с2ер»\(1.13.28)В противном случае имеемx1(t) = c3ept + c4ept,(1.13.29)где коэффициенты с1? ..., сп определяются начальными условиямиисходной системы.Заметим, что если Pi и Рг в (1.13.28) комплексносопряженные корни вида: p1 =a-id; P2=a+id, то решение (1.13.28)может быть записано какXj(t) = eat(c! cos dt + c2 sin dt),(1.13.30)Из (1.13.28H 1-13.30) следует, что управление вида (1.13.25)или (1.13.26) не обеспечивают выполнения условия (1.13.19) и соответствует условиюlimg(x,xT) = 0.t—>00(1.13.31)Для широкого класса прикладных задач условие (1.13.31) является допустимым.
Если условие (1.13.31) неприемлемо, то необходимо менять закон формирования g(x,x,,) (1.13.23). В общемслучае этот закон может быть описан любым нелинейным дифференциальным уравнением. Однако в такой ситуации возникаетпроблема обеспечения его устойчивости при различных начальныхусловиях.Выше была рассмотрена задача синтеза управления для одномерных объектов. На практике существует широкий класс задач,когда управление u(t) представляет собой векторную функцию. Вэтом случае соотношение между компонентами вектора состояния,которые могут выполняться вдоль траектории систем (1.13.27),определяются векторозначной функцией g(x,Xr).
Причем размерность вектора g(x,xT) соответствует размерности u(t).Пусть u(t)=[ui(t),...,ur(t)]T, тогда матрица b в (1.13.20) будетиметь размерность (пхг). Кроме того, считаем, что управляемыекоординаты и соответствующие управляющие функции связаныZ-мерными дифференциальными уравнениями.Предположим, что аналитическое представление управления ввиде функции u(t) для системы (1.13.20) определяется решением/-мерного дифференциального уравненияF(i)(x, Уж) + ^i-iF('_1)(x, уж)+...+XQF(x,уж) = 0.(1.13.32)где F(x,y*) - r-мерный вектор видаГ(х,УжИ(хп1-Уж1) (Хп2*Уж2)(Хпг-Ужг)]»j = ОД-1 - любые устойчивые матрицы; хп1, х„ 2 , Хщ.
- регулируемые координаты системы (1.13.20).Запишем уравнение (1.13.32) с учетом (1.13.20). Преобразуяего относительно u(t), получим следующее дифференциальноеуравнениеF?Du(M) + [X,FXTAD + Xi,1FxD p -2)+...4(xi^ A (i“1)D+...+XiF3)]u ==]- i<lP(t),- A®* t b•~M?Ax(t)+[Х/У®+..,+^y® - A*y®F(1.13.33)где F* - транспонированная матрица частных производных, элементы которой определяются в видеS®j(*.yйх»—j = l , r , i = l,n .В (1.13.33) принято, что матрицаявляется единичной.
Отметим одну характерную особенность уравнения (1.13.33). Порядок этого уравнения зависит от вида матрицы D, если она имеетхотя бы один столбец, у которого все элементы равны нулю за исключением одного элемента, то система (1.13.33) представляет со104бой совокупность как алгебраических, так и дифференциальныхуравнений. В частных случаях уравнение (1.13.33) может бытьтолько алгебраическим или дифференциальным.Для управляемой системы обычно матрица D имеет свой полный ранг, а, следовательно, существует и матрица [DT D ]1. Системы у которых столбцы матрицы D линейно зависимы, в дальнейшем не рассматриваются, так как эта система эквивалентна другой системе, у которой размерность матрицы D меньше, например,на единицу.
Это обусловлено заменой uj и и, на новое управлениеuH=Uj+Uj В этом случае новая матрица [DT D] 1 существует. Таккак матрица [DT D]'1 существует, то уравнение (1.13.33) можнопредставить в нормализованном видеu(M)(t)+ М"11 £ taF£A(lH)Dii(/~K'1)=K=lj=0= -М"1U=oj=o- М " Х1 Ф ^ ) ,j=0(1.13.34)где матрица М = D TFXFXD .Заметим, что для выбранного вида функции F(x,y«) матрицыFx, Fx являются единичными, а производные dKF/dxK, к = 2, Zравны нулю.Приведём уравнение (1.13.34) к виду, удобному для интегрированияdn(t) / dt = Bu(t) + Rz(t),(1.13.36)где u(t) - вектор размерности rx(Z-l), первые г координат которогосоответствуют искомому управлению; В - матрица Фробениусаразмерности [rx(Z-l)]x[rx(Z-l)J, элементы которой представляют собой матрицы, составленные из матриц уравнения (1.13.34); R матрица размерности [rx(Z-l)]xr, причем последняя подматрицаразмерности гхг является единичной; z(t) - вектор-столбец, равный правой части уравнения (1.13.34).Характер управляемого процесса при условии, что u(t) определяется решением (1.13.35), зависит от вида дифференциальногоуравнения (1.13.32).
Если это уравнение является линейным, то иматематическая модель замкнутой системы управления такжеописывается линейным дифференциальным уравнением.Предложенный метод синтеза применим и для динамическихобъектов, которые описываются дифференциальными уравнениями вида (1.13.18).Пусть, как и прежде, функция Р(х,уж) удовлетворяет уравнению (1.13.32). С учетом модели (1.13.18) это уравнение запишем ввидеВ i + А м В и + .
. . + Х А + А,0Р ( х , у ж) = S Y j j(1.13.36)j=iгдеB i= Id(F (x,y*))»B2=Id(Id(F(x,y5K)))=Id(B1),Bj=Id(Id(Id- •-Id(F(x,yK))...))=Id(BM);U •) - оператор дифференцирования, определяемый в виде:W F ( * ,y * ) ) -d F (^ ty ,,) - F ;f(x ,u ),F'WId(F(x,y»))- Axdf(x,u)8xTj “ ^]Уж ’f(x,u) +^ (х ,ц )у ,du3 1,2,... ,причем \i=E.Таким образом, закон управления, удовлетворяющий условию(1.13.32), определяется решением уравнения (1.13.36) относительно искомой функции u(t). Для нахождения управления и здесь внекоторых случаях может быть предложен способ, не требующийявного разрешения уравнения (1.13.36) относительно u(t). Обозначим:Q ( x ,u ,...,u (i-1)) =-Y j ) + W x , y J ,J=iтогдаQ(x,u,...,u(i-1)) = — f(x,u) + E ~ u 0+1).dxj=i9uJ(1.13.37)Г лЕсли существуется в виде1065Q[да1' 1, то уравнение (1.13.37) перепишет-u(W) + a ;_ 2 u (i 2 )+ ...+ a xu = -5Q-lldxxl~lm dxПредставим векторное уравнение (1.13.37) в виде системыКопта размерности Iu(t) = Bu(t) + Rz(t),(1.13.38)где В - числовая матрица, записанная в форме матрицы Фробениуса, причем ненулевые элементы последних г строк составленыиз матриц otj, ] = 1,1-1; R - матрица; z(t) - правая часть исходногоуравнения, u(t) - m-мерный вектор, первые г компонент которогои определяют искомое управление.Таким образом, если начальное управление u(to) выбрано так,что Q[x(to),u(to),...,u^ 1 Hto)]“ 0 , то решение u(t) уравнения(1.13.38) удовлетворяет в каждый момент времени уравнению(1.13.32).
Естественно, что описанные способы вычисления управления u(t) обеспечивают выполнения условия (1.13.32), то естькаждая управляемая координата удовлетворяетUm(xj -y»d) = °> j = ni>nr.i = l,r.Заметим, что для некоторого класса задач функцию F(x,y3K)можно выбрать так, что аналитическая связь между регулируемойкоординатой и управлением обеспечивается уже при решенииуравненияГ(х» Уж) + ^о^(х*Уж)= 0 •Тогда уравнение (1.13.38) запишется в видеu(t) = -дпЭиВ заключение отметим, что управление u(t), синтезированноесогласно предложенному методу, является функцией ^j, j = 1 , 1- 1 .Кроме того, и для нелинейной системы математическая модельуправляемого процесса также определяется уравнением вида(1.13.32), т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
