Теория подобия и анализ размерностей (2012) (849561), страница 8

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

– конвективный теплообмен;

– лучистый теплообмен.

Их совместное или совокупное протекание носит название сложного теплообмена. Теплопроводность связана с непосредственным контактом между телами или их отдельными частями, имеющими различную температуру, и она обусловлена микродвижениями элементарных частиц, из которых состоит тело или сплошная среда.

Конвективный теплообмен – это процесс переноса тепла в жидких и газообразных средах с неоднородным распределением температуры, скорости и плотности при конечном перемещении макрообъемов в сплошной среде.

Тепловое изучение – процесс распространения электромагнитных волн, характеризующийся спектром частот, соответствующим энергетическому уровню структурных частиц вещества, находящегося при рассматриваемой температуре.

4.1 Математическое описание конвективного теплообмена

Исследование процессов теплообмена в подавляющем большинстве случаев базируется на феноменологическом подходе. Теплоноситель при этом рассматривается как сплошная среда. Причем его молекулярная структура не анализируется, а интенсивность микроскопического переноса энергии в форме тепла учитывается параметрами, определяющими теплофизические свойства вещества: – вязкость, – теплопроводность, – плотность, – изобарная теплоемкость. Их считают заданными, используя для численного определения соответствующие справочные материалы. В основу математического описания положены хорошо проверенные физические законы: первое начало термодинамики, закон сохранения вещества, закон сохранения импульса. Для замыкания систем уравнений обычно используют уравнение состояния, уравнение термодинамического процесса, в качестве которого чаще всего используют уравнение Пуассона. В случае теплообмена системы дифференциальных уравнений замыкают, используя гипотезы Био-Фурье (о пропорциональности вектора плотности теплового потока градиенту температуры) и гипотезы Ньютона (о пропорциональности касательного напряжения трения поперечному градиенту скорости)

. (4.1)

В рамках развиваемого феноменологического подхода процесс переноса энергии в форме тепла – процесс теплообмена – однозначно определяется полями: скорости – , давления – , температуры – в зависимости от координат ( , , ) и времени . Для определения пяти неизвестных: трех компонент скорости ( , , ), давления и температуры – необходимо иметь пять уравнений. Не акцентируя внимание на процессе вывода этих уравнений, запишем их для ортогональной декартовой системы координат. Для однофазной химически однородной изотропной несжимаемой жидкости система уравнений имеет вид:

уравнение энергии

, (4.2)

где – соответствующие компоненты вектора скорости на оси ; – плотность тепловыделения внутренних источников тепла; – диссипативная функция – функция распределения механической энергии потока

;(4.3)

Уравнения движения жидкости (газа) в проекциях на оси (закон сохранения импульса) в форме уравнений Навье-Стокса

(4.4)

где – проекции вектора ускорения свободного падения на соответствующие оси;

уравнение сплошности (неразрывности) среды

; (4.5)

уравнение состояния

. (4.6)

Зависимость физических свойств жидкостей (газов) от температуры и давления

; ; . (4.7)

Для решения краевых задач данного типа необходимо задать краевые условия:

1. геометрические условия, характеризующие форму и размер тела, омываемого жидкостью.

2. граничные условия – распределение скорости, давления и температуры на поверхности тела во входном и выходном сечениях канала.

В соответствии с формализмом Прандтля, скорость на поверхности тела равна нулю:

.

При течении жидкости и газа по каналам граничные условия для температурного поля могут быть заданы в виде функции изменения температур на поверхности тела (граничные условия первого рода)

, (4.8)

или в виде задания характера распределения плотности теплового потока на поверхности (граничные условия второго рода)

; (4.9)

1. начальные условия, характеризующие распределение скорости, температуры и давления в начальный момент времени при :

; ; .

Для установившегося стационарного случая граничные условия со временем остаются неизменными, а начальные условия при этом нужны.

Используя гипотезу Био-Фурье для теплопроводности в слое неподвижной жидкости (газа) в непосредственной близости у поверхности:

, (4.10)

где – внешняя нормаль к поверхности тела, и гипотезу Ньютона о плотности теплового потока, передаваемого в процессе теплоотдачи, запишем

Отсюда в общем случае коэффициент теплоотдачи равен

,

получим дифференциальное уравнение теплообмена

. (4.11)

4.2 Гидромеханическое подобие

С целью некоторого количественного сокращения необходимого анализа несколько упростим задачу. Будем рассматривать несжимаемую жидкость, для которой . В этом случае уравнение неразрывности (4.5)

может быть сведено к виду

.

Так как среда несжимаема ( и ), то плотность можно вынести за знак оператора и сократить:

или

Распишем операцию :

, (4.12)

где .

Уравнение движения для сокращения выкладок запишем лишь в проекции на ось :

. (4.13)

При записи выражения (4.13) сделано предположение о постоянстве динамической вязкости , поэтому её можно вынести из-под знака дифференцирования.

Пусть имеются два подобных между собой течения несжимаемой жидкости. Запишем для них уравнения сплошности и движения:

(4.14)

Из условия подобия процесса течения вытекают очевидные соотношения:

(4.15)

Воспользуемся соотношениями системы (4.15) и выразим все переменные для второго течения через переменные первого:

, , , , .

Подставим переменные второго течения, выраженные через переменные первого и коэффициенты преобразования подобия, в систему уравнений, описывающих второе течение:

(4.16)

Таким образом, оба подобных течения описаны системами уравнений, выраженными через переменные, относящиеся к первому течению. Мы уже отмечали выше, что такое возможно лишь при тождественности этих уравнений. Для этого необходимо, чтобы комплексы, составленные из констант подобного преобразования, в последнем уравнении сократились. Это даст нам ряд ограничительных условий, выполнение которых необходимо для установления факта подобия. Из уравнения сплошности будем иметь

.

Для выбора констант подобия это соотношение ограничительных условий не дает, ибо уравнения сохраняют свою тождественность при любых значениях отношения .

Действительно, поскольку по физическому смыслу и для двух подобных течений, то на эту величину можно сократить, и уравнение сплошности для второго явления естественным образом преобразуется в уравнение сплошности и для первого явления:

.

Из уравнения движения (4.16) следует

.

Рассмотрим члены этого соотношения попарно:

(4.17)

Полученные равенства (4.17) могут быть представлены в виде критериев подобия. Для этого вместо констант подобия необходимо подставить отношения их величин и сгруппировать по индексам:

, откуда ;

– критерий гомохронности

; ;

– критерий Фруда (4.18)

; ;

– критерий Эйлера

; ;

– критерий Рейнольдса

Таким образом, проведя выше описанное обезразмеривание уравнений, описывающих гидродинамику, мы получили ряд известных критериев подобия, широко используемых при изучении процессов гидродинамики и теплообмена.

4.3 Взаимное преобразование критериев подобия

Некоторые из полученных критериев не всегда удобны в применении, ибо комплексы составлены из величин, измерение которых в опыте не всегда возможно. Например, при исследовании движений, обусловленных разностью плотностей отдельных элементов жидкости, измерить скорость их перемещений практически невозможно. В этом случае вместо критерия Фруда удобнее использовать критерий Галилея – .

.

; .

Умножим критерий Галилея на симплекс , где и – плотность жидкости в двух соседних точках, получим критерий Архимеда – .

.

В случае, когда разность плотностей обусловлена разностью температуры , то симплекс , где – коэффициент объемного расширения жидкости. Подставим это выражение в критерий Архимеда и получим критерий Грасгофа – .

.

Критерий Эйлера обычно используют также в несколько измененном виде. Вместо давления применяется разность давлений в двух точках

.

4.4 Тепловое подобие

В подавляющем большинстве случаев течение жидкости сопровождается теплообменом. Поэтому, чтобы подобие явления было более полным, необходимо кроме геометрического и механического подобия установить факт наличия теплового подобия. Это означает подобие температурных полей и тепловых потоков. Будем считать физические свойства жидкости (кроме плотности) постоянными. Зависимость плотности от температуры учитывается в механическом подобии при определении члена уравнения движения, выражающего Архимедову силу.

С достаточной точностью эту зависимость можно считать линейной:

,

где – плотность при температуре ; – температурный коэффициент объемного расширения.

В других членах уравнения движения и уравнениях энергии и неразрывности плотность будем считать постоянной. Пренебрегая диссипативной функцией, при отсутствии внутренних источников тепловыделений с учетом вышеотмеченных предположений уравнение энергии может быть записано в виде

Характеристики

Список файлов книги