Теория подобия и анализ размерностей (2012) (849561), страница 7

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

_{Интегральные зависимости, характеризующие процесс, могут быть функционально записаны в виде интегральных выражений между критериями подобия К1 ,К2 ,…, Кn , т. е. через безразмерные комплексы.}

_{. (3.5)}

Выражения вида (3.5) называются уравнениями подобия или критериальными уравнениями. Учитывая, что критерии подобия для всех подобных явлений имеют одинаковые численные значения, необходимо отметить, что и критериальные уравнения вида (3.5) для таких подобных явлений тоже одинаковы.

До настоящего момента мы рассматривалием прямую задачу, учитывая особенности свойств подобных между собой явлений или процессов. Но возможна постановка и обратной задачи, в которой требуется найти ответ на заданный вопрос: какие условия необходимы и достаточны для того, чтобы было безусловное обеспечение подобия физических процессов. На такой вопрос ответ дает третья теорема подобия.

Третья теорема подобия часто называется обратной, ибо она отвечает на вопрос: какие условия достаточны, чтобы явления были подобны?

Подобны те явления, условия однозначности которых подобны и критерии, составленные из условий однозначности, одинаковы (теорема М. В. Кирпичева – А. А. Гухмана).

Третья теорема подобия выделяет, как мы видим, те критерии, которые составлены из условий однозначности. Их принято называть определяющими критериями подобия, ибо они устанавливают факт наличия подобия между явлениями. Если в критерии подобия входят и другие величины, не относящиеся к условиям однозначности, то их называют неопределяющими.

Теория подобия позволяет, не интегрируя дифференциальные уравнения, получить из них критерии подобия и, используя опытные данные, установить критериальные зависимости, которые будут справедливы для всех подобных процессов в диапазонах изменения условий однозначности, проверенных при постановке экспериментальных исследований. Этим подчеркивается лишь тот факт, что общего решения теорема подобия не дает. Поэтому недопустимо делать заключения, выходящие за рамки областей, проверенных при постановке опытов. При этом необходимо помнить, что опыты могут быть получены как на физических, так и на численных моделях. Это еще раз указывает на то, что опыт и численные методы с использованием компьютерных технологий или без них являются не исключающими друг друга, а взаимодополняющими методами исследования физических явлений. Именно поэтому первые необходимы для верификации вторых, т. е. для подтверждения достоверности результатов, полученных численными методами. Последние, в свою очередь, могут помочь в существенном снижении области поиска необходимых решений, заметно снижая затраты на постановку дорогостоящих экспериментов.

3.5 Комбинирование критериев и относительных переменных

Вид комплексов, входящих в состав критериальных уравнений, не определяется строгой постановкой задачи. Их построение, даже при наличии качественной физико-математической модели, в известной степени произвольно, ибо комбинировать сопоставляемые операторы попарно можно любым образом.

Допустим, что в процессе обработки уравнения получено два критерия и . Известно, что для установления факта подобия выдвигается требование , . Однако требование одинаковости численных значений одноименных критериев подобия можно заменить любым другим эквивалентным требованием, например определением численных значений и , где и – функции. Они могут быть выбраны произвольно, но система, составленная из них, должна однозначно определять численное значение и . А это означает, что любая комбинация критериев подобия есть также критерий подобия. Этот вывод достаточно важен, ибо возможность комбинирования критериями является основой для рационального формирования самих критериев. При выполнении операции приведения переменных к безразмерному виду для одной и той же величины приходится вводить различные интегралы изменения. Пусть некоторая переменная входит в оператор в виде произвольных

и ,

то в этом случае приведение дает

и .

Числители этих выражений не равны друг другу, ибо они представляют собой приращение функций, отвечающих заданным интервалам двух различных аргументов. Например, изменение величины на длине отрезка (координаты) и изменение величины в течение определенного промежутка времени. Таким образом, в состав комплекса должны войти различные значения , что создает очевидные неудобства. Однако если ввести в комплексы множитель и , мы можем преобразовать их таким образом, когда переменная будет представлена в них лишь одним и тем же параметрическим значением .

Достаточно часто при формулировке задач для некоторых величин заданными следует считать не одно, а две или даже несколько значений: сторона основания и диагональ параллелепипеда; частота колебаний возмущающей силы и частота собственных колебаний; скорости абсолютного и относительного движений среды; скорость распространения слабых возмущений в этой среде и т. д. Итак, условие может содержать два и более параметров одной и той же физической природы. Очевидно, что в этом случае получаются тождественные по своей структуре критерии, отличающиеся тем, что, по крайней мере, одна из входящих в них величин имеет неодинаковое значение. Комбинируя такие критерии попарно, мы заменяем их отношениями одноименных параметров, сохраняя в первоначальной форме только по одному критерию для каждой группы однотипных комплексов. Получаемые при этом произвольные критерии проще первоначальных, что является несомненным преимуществом. Таким образом, параметры могут входить в критериальные уравнения не только в виде комплексов, но и как симплексы – простые отношения одноименных величин. Их часто называют критериями параметрического типа или для краткости – параметрическими критериями.

Чаще всего они геометрической природы, но бывают и иные, например: число Маха , где – скорость перемещения объекта, частицы, жидкого объема; – местная скорость звука; коэффициент скорости или безразмерная скорость , – критическая скорость. Численная одинаковость параметрических критериев геометрической природы означает наличие геометрического подобия. Параметрические критерии могут быть составлены без обращения к уравнениям, и они представляют собой специфическую форму записи некоторых условий задачи.

3.6 Сплошная среда и краевая задача

Под сплошной средой понимают непрерывный вещественный континиум, у которого размеры элементарных объемов неизмеримо больше, чем размеры частиц, из которых состоит эта среда, и больше, чем характерные длины их перемещений (длина свободного пробега, амплитуда колебаний в узлах кристаллической решетки и т. д.).

Это позволяет описывать физические явления, используя аппарат дифференциальной и интегральной математики. В каждой точке пространства в конкретный момент времени можно определить совокупность всех характерных величин, однозначно определяющих явление. Любая величина в заданный момент времени характеризуется определенной совокупностью значений – полем величины. А всё явление представляет собой совокупность всех полей физических величин. Конечной целью любого количественного исследования является отыскание возможности определения распределения переменных в пространстве и во времени.

Поставленная задача содержит в себе основные необходимые уравнения и условия единственности решения. Основные уравнения определяют внутреннюю структуру механизма исследуемого процесса и служат выражением наших представлений о взаимодействии элементов среды между собой. Они определяют ход процесса, устанавливая связь между физическими условиями в конкретный момент времени. Элементы среды, расположенные на границе, взаимодействуют не только между собой, но еще и с окружающими телами и элементами. Внешнее воздействие в уравнениях, описывающих явление, не отражено. Условия взаимодействия элементов системы с окружающей среды и составляют существо граничных условий. Важным является вопрос о начальном состоянии системы – начальные условия. Начальные и граничные условия формируют условия, обеспечивающие единственность решения рассматриваемой задачи. Их обычно объединяют в понятие краевых условий, имея в виду границу пространственно-временной области, в пределах которой развивается процесс. Задачи рассматриваемого типа принято называть краевыми. Можно отметить специфику постановки краевой задачи: по заданным условиям на границах пространственно-временной области определить (с помощью основных дифференциальных уравнений) условия процесса во всей области.

4. Элементы теории подобия в гидромеханике и теплообмене

Гидромеханика и теплообмен – достаточно сложные разделы прикладной физики, применение которых необходимо во многих областях науки и практической деятельности.

Под теплообменом следует понимать всю совокупность возможных способов теплопереноса в пространстве и материальных средах при наличии температурной неравномерности. Хотя последнее условие не является обязательным, когда речь идет о лучистом теплообмене. В общем случае процесс переноса тепла достаточно сложное явление, протекающее в сочетании с различными физическими процессами.

Различают три вида теплообмена:

– теплопроводность;

Характеристики

Список файлов книги