Теория подобия и анализ размерностей (2012) (849561), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Полезность и достоверность численных расчетов часто ограничена достоверностью и обоснованностью выбранной математической модели.

Анализируя недостатки численных исследований, следуя С. Патанкару 2, разобьем решаемые задачи на две группы.

Группа А: проблемы, для которых математическая модель достаточно обоснована (теплопроводность, ламинарные потоки, простые турбулентные пограничные слои и т. д.).

Группа В: проблемы, для которых на момент исследования обоснованные математические модели не разработаны (течение реологических жидкостей, сложные турбулентные течения, расчет эмиссионных характеристик при турбулентном горении и т. д.).

Распределение между группами естественно зависит от того, что считать за обоснованную математическую модель.

Недостатки группы А. Для этой группы проблем численные решения имеют преимущества перед экспериментальным исследованием. Но для узких целей исследования численное решение может быть дороже эксперимента, например расчет гидравлических потерь систем со сложной формой проточного канала.

Если математическая модель допускает неоднозначность решения, трудно установить, соответствуют ли результаты расчета действительности.

Недостатки группы В. Они содержат в себе все недостатки группы А и, кроме того, другие. Степень соответствия численных результатов действительности должна быть экспериментально обоснована. Определяя выбор метода исследования, необходимо провести оценку сильных и слабых сторон перечисленных методов применительно к конкретной решаемой задаче.

Естественно, что эксперимент является основным методом исследования новых фундаментальных явлений. В этом случае расчет следует за опытом. Однако расчет более эффективен для изучения проблем, включающих в себя несколько известных явлений. Но и в этом случае необходимо обосновать результаты расчета путем сравнения их с экспериментальными данными. Таким образом, любое оптимально выполненное исследование должно в разумной степени сочетать расчет и эксперимент. Соотношение пропорции между ними определяется для каждого конкретного случая индивидуально, в зависимости от сущности задачи, от целей исследования и от ограничений экономического, энергетического, инструментального характера, наличия ЭВМ с необходимыми памятью и быстродействием и т. д.

2. Метод анализа размерностей

2.1 Анализ размерностей и фракционный анализ

Анализ размерности следует рассматривать как одну из составных частей фракционного анализа, включающего в себя метод подобия, аналогию и фракционный анализ основных уравнений.

Под фракционным анализом будем понимать любой способ получения информации о решении физико-технических задач, когда получение полного решения аналитическим путем по каким-либо причинам невозможно. Рассматривая задачу любой сложности, при фракционном анализе пользуются как физической информацией, так и математическим анализом и логикой. Одним из наиболее известных методов, широко применяемых на практике, является анализ размерностей. Отметим некоторые области приложения анализа размерностей:

– выбор единиц измерения для количественных соотношений;

– проверка алгебраических соотношений между единицами;

– преобразование и систематизация измерений физических величин;

– снижение числа независимых параметров;

– обобщение опытных данных и сравнение их с теорией;

– уточнение законов моделирования;

– определение основных независимых параметров;

– разработка методов математических аналогий.

Рис. 2.1 Пружинный маятник как пример функции от независимых параметров

При решении физико-технических задач часто используются два термина: переменные и параметры. Чем они отличаются? Для выяснения этого рассмотрим простой пример – гармонический осциллятор: груз подвешен к неподвижному телу. В такой системе переменными являются отклонение массы от положения статического равновесия x и время t. Параметрами является масса m и жесткость пружины k, характеризующая упругие свойства системы.

Независимыми переменными являются величины, необходимые для однозначного определения состояния системы.

Параметры – величины, имеющие конкретное численное значение для рассматриваемой задачи и изменяющиеся при переходе к другим однотипным задачам.

Зависимая искомая величина является функцией как независимых переменных, так и параметров. В примере независимая переменная – время, m и k – параметры, а отклонение есть зависимая переменная. Для всех однотипных состояний рассмотренной системы отклонение есть функция времени и параметров.

Бриджмен показал, что анализ размерностей применим лишь к тем задачам и уравнениям, которые в безразмерном виде однородны и связаны с основными системами единиц. У таких задач структура формулы не зависит от величины единицы, принятой в качестве основной.

Всегда, решая задачу, удобнее заменять размерные величины, в том числе и результат, безразмерной формой. Это приводит к снижению числа необходимых независимых координат и уменьшению требуемого числа – данных, графиков, экспериментов и таблиц. Кроме того, безразмерная форма облегчает сопоставление и обобщение результатов.

2.2 Единицы измерений и размерности

Под единицами измерения будем понимать меры, с помощью которых измеряются величины физико-технических характеристик системы. Для измерения как конкретной операции необходимо иметь: базовую величину или начало отсчета; эталон – единицу измерения, определяемую с помощью рабочей операции. Для уточнения измерения используются правила интерполяции и экстраполяции. Допустим, нам необходимо измерить длину стального стержня. В этом случае базовая величина принимается равной нулю. Единицей измерения является метр. Правило интерполяции позволяет нам наносить его произвольные части путем маркировки на делительных машинах. Размерности по своей сути являются относительными величинами, они зависят от специфики рабочих операций, используемых в процессе измерения. В математическое описание физических процессов входят четыре типа характеристик:

– первичные величины;

– вторичные величины;

– размерные постоянные;

– безразмерные величины.

Первичной величиной называется любая величина, размерность которой пропорциональна первой степени единицы измерения, определенной с помощью выбранной рабочей операции. При этом не должны использоваться две рабочие операции или выражения, имеющие размерности в отличной от единицы степени.

Длина стержня – первичная величина. Ее размерность  . Площадь поперечного сечения стержня не первичная величина, т. к. она выражается квадратом длины  ².

Для измерения скорости, например, летящего самолета, мы должны добавить вторую рабочую операцию, связанную с измерением времени. Следовательно, скорость тоже не может считаться первичной величиной, ибо определяется косвенным измерением, через величины, которые могут быть найдены при прямом непосредственном измерении. Такие величины, как скорость и площадь, будем называть вторичными. В физике их подразделяют на основные и производные. Размерность вторичных величин можно выразить лишь единственной комбинацией размерностей первичных величин в различных степенях. Пусть символ А, заменяющий слова, имеет размерность (или единицу измерения). Размерность любой вторичной величины можно выразить формулой размерности

[ ],

где – температуры; – массы; – длины; – времена.

Таблица 2.1

Первичные величины

Максвеллом для обозначения размерности был предложен символ а. Например, для размерности силы

.

При изучении механических явлений достаточно ввести три первичные величины, три независимые основные единицы измерения: длины, массы и времени. Этими величинами можно было бы обойтись и при изучении тепловых и даже электрических явлений. Теплота и температура могут быть выражены через энергию, т. е. они могут быть выражены через длину, массу и время. Однако на практике удобнее, оказалось, ввести для температуры первичную величину, единицей измерения которой является К.

2.3 Однородность размерностей в физических уравнениях

Рассмотрим некоторую микроскопическую систему конечной массы, в которой отсутствуют релятивистские эффекты. Запишем для такой системы первый закон термодинамики

.

Далее мы можем записать для нее второй закон Ньютона

.

Сложим два записанных уравнения и получим математически верное равенство

Характеристики

Список файлов книги