Теория подобия и анализ размерностей (2012) (849561), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

.

Однако оно лишено всякого физического смысла и удовлетворяется тогда и только тогда, когда и левая, и правая его части равны нулю.

Неоднородные по размерностям уравнения с физической точки зрения не имеют смысла. Все встречающиеся в науке и технике уравнения должны быть размерно-однородными. Это утверждение приводит нас к π - теореме Бэкингема.

При решении практических задач особое значение имеет переход от одних единиц измерения к другим. Рассмотрим необходимое и достаточное условие замены одних единиц измерения другими. Пусть при решении задачи используются уже привычные первичные размерности , и . Выберем теперь в качестве первичных некоторые другие – , , . Это можно сделать в том случае, если:

1) размерности , , являются независимыми функциями , и , т. е.

при любых и ;

2) возможно однозначное обратное преобразование, т. е. , , единственным образом можно выразить через , , .

Пусть величины , , имеют размерности:

,

,

.

Прологарифмируем эти выражения

Такая система уравнений имеет единственное решение в том случае, если определитель, составленный из коэффициентов уравнения, отличен от нуля.

.

Выполнение данного условия указывает на выполнение как первого, так и второго условий.

2.4 -теорема

Данная теорема устанавливает связь между функцией, выраженной через размерные параметры, и функцией в безразмерной форме. Под безразмерными параметрами понимаются комплексы размерных величин, составленные так, что они не имеют размерности. Это позволяет в дальнейшем сопоставлять и обобщать результаты. Во-вторых, применение безразмерных параметров позволяет уменьшить число независимых координат. В любой физической задаче имеется один или несколько зависимых параметров, каждый из которых является функцией некоторых независимых параметров. Обозначим зависимый параметр через . Пусть число независимых параметров равно Обозначим их . Тогда

,

где – неизвестная функция. Это уравнение эквивалентно соотношению

,

где – также неизвестная функция.

Сформулируем суть самой  - теоремы. Если имеется соотношение между параметрами в виде

,

то можно найти эквивалентное соотношение между безразмерными параметрами

,

где число определяется как

,

здесь: – число параметров в уравнении; – наибольшее число параметров, содержащихся в первоначальном списке , которые не могут быть объединены в какой-либо безразмерный комплекс. обычно равно минимальному числу независимых размерностей . Обычно , но имеются исключения, и более общее правило выглядит как .

2.5 Пример применения теории размерности

Рассмотрим процесс установившегося ламинарного течения несжимаемой Ньютоновской жидкости в круглой трубе. Ньютоновской принято называть такую жидкость, у которой касательное напряжение трения пропорционально градиенту скорости

.

Рис. 2.2 Ламинарное течение в трубе круглого сечения

Предположим, что нам известен закон изменения перепада давления. Чтобы найти его, применим анализ размерностей. Нетрудно догадаться, что перепад давления и скорость должны быть объединены некоторой функциональной связью

.

На перепад давления оказывают влияние длина трубы , диаметр , а также плотность и вязкость текущей жидкости. В неявном виде эта функция может быть представлена в виде

.

Анализ размерностей всех частей параметров:

; ; ;

; ; ,

показывает, что число независимых параметров равно трем , , . Следовательно . Теперь найдем три из шести размерных параметров, которые не образуют безразмерного комплекса.

Комбинация только плотности, скорости и диаметра не могут быть безразмерными. Поэтому делаем вывод, что в данном конкретном случае .

Согласно -теореме, число необходимых безразмерных параметров

.

Если нельзя найти какой-нибудь безразмерный комплекс, составленный из трех параметров, необходимо искать такие, которые состоят из двух параметров и т. д. до тех пор, пока число не будет определено. Рассмотрим давление, плотность и скорость. Очевидно, безразмерным будет отношение

,

однако удобнее придать этому комплексу вид

.

Второй комплекс из трех параметров, очевидно, может быть составлен из размерных величин.

,

где – кинематическая вязкость; µ – динамическая вязкость.

Действительно, покажем это:

.

Следовательно

.

Других безразмерных комбинаций из трех параметров составить нельзя. Будем искать из двух. Логика вещей подсказывает необходимость введения параметра, оценивающего геометрию канала. Назовем его форм-параметром. Очевидно, что отношение в нашем случае будет соответствовать этому требованию. Итак, третий безразмерный комплекс равен

.

По условию задачи зависимой переменной является перепад. Тогда функциональную зависимость следует искать в виде

или

.

Возьмем в рассмотрение критерий Рейнольдса, :

,

.

Нетрудно догадаться, что решая задачу, удобнее всего искать соотношение вида

.

Большинство экспериментов не имеет простого аналитического решения уравнений движения жидкости в форме Навье-Стокса, а это один из немногих случаев, когда возможно точное и полное решение, совпадающее с опытами, подтверждающее адекватность полученной зависимости. Действительно, в технической гидромеханике потери давления на преодоление сил трения при течении жидкости (газа) по каналам определяется известной зависимостью

.

В последней формуле величина коэффициента трения является функцией числа Рейнольдса.

Для ламинарного течения оно находится по известной формуле Пуазейля

,

для турбулентного режима течения

.

Полученную зависимость иногда называют законом одной четвертой. Для ламинарной области течения в трубах критическое число Рейнольдса . Для развитого турбулентного – .

При числах Рейнольдса, лежащих в диапазоне _, имеет место неустойчивый переходный режим течения. Однако при числах экспериментальные данные расходятся с законом одной четверти. Более универсальной является зависимость, предложенная Никурадзе:

.

Отметим некоторые из условий, которые должны быть в обязательном порядке вычислены в процессе применения к решению задачи π-теоремы.

1. В систему безразмерных комплексов и симплексов должны входить все параметры, имеющие физический смысл, включая все независимые параметры и один зависимый.

2. Каждый из параметров первоначального списка должен входить в безразмерные параметры хотя бы один раз.

3. Размерности, используемые для образования размерностей физических параметров, должны быть независимыми или же лишние размерности должны быть скомпенсированы.

Подход к решению задачи, примененный здесь, скорее может быть использован исследователем, уже имеющим опыт в использовании теории размерности и разбирающимся в области науки и техники, к которой относится рассматриваемая задача. Начинающий исследователь может по своей неопытности не включить в список определяющих параметров один из таковых. Тогда он не войдет и в решение, что может привести к ошибке в анализе.

Если в безразмерном уравнении содержится меньше параметров, чем в списке, то это говорит о том, что параметры из составленного списка, не вошедшие в безразмерную формулу, несущественны для изучаемого физического процесса. Их не следовало включать в список, ибо они лишь увеличивают число комплексов , а это нежелательно, т. к. противоречит одной из основных целей процедуры – снижению числа комплексов , описывающих процесс.

В рассмотренном примере нам удалось перейти от размерных переменных к безразмерным без применения матричной алгебры. В теории подобия и размерностей имеется несколько формализованных алгебраических методов проведения промежуточных преобразований при осуществлении такого перехода.

2.6 Анализ π-теоремы с использованием элементов матричной

алгебры

Воспользуемся методом линейной независимости, использованным Ван Драйстом и описанным А. А. Гухманом в его монографии 4.

Пусть некоторый комплекс составлен из первичных величин и вторичных величин в виде степенного выражения

,

где – безразмерная величина.

Записывая этот ряд через первичные размерности, получим

Так как комплексы имеют нулевую размерность, то

.

Имеем систему четырех уравнений с неизвестными . Для выяснения числа независимых решений составим матрицу

.

Пусть – ранг матрицы. В этом случае система будет иметь независимых решений

Любое решение будет линейно зависимо от предыдущих. Каждое решение позволяет получить один безразмерный комплекс. Таким образом, линейно зависимых решений дадут нам безразмерных независимых комплексов

,

где .

Характеристики

Список файлов книги