Теория подобия и анализ размерностей (2012) (849561), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

Но четырех независимых комплексов все же много. Уменьшить их число можно путем составления комбинаций из двух или большего числа независимых комплексов. Однако метод анализа размерностей не указывает на возможные пути составления таких комбинаций. Для их определения необходимо провести дополнительные экспериментальные или теоретические исследования.

2.10 Возможности и ограничения -теоремы

Приведенные примеры позволяют сделать вывод о том, что -теорема в каждом конкретном случае дает полезную информацию об изучаемой задаче. В ряде простых задач получаются полные и правильные решения. Использование безразмерных комплексов приводит к уменьшению числа независимых параметров и обеспечивает возможности сопоставления и обобщения результатов.

Кроме того -теорема является хорошей основой понимания природы единиц, размерностей и связанных с ним положений.

Однако -теорема как один из методов фракционного анализа имеет четыре недостатка.

1. Отсутствуют прямые способы выбора определяющих параметров. По существу метод размерностей применяется тогда, когда параметры задачи уже определены. В правильности их выбора основную роль играют интуиция и опыт исследователя.

2. Существуют некоторые отклонения от -теоремы, которые не объяснимы на основе дополнений, осуществленных при использовании теории линейно независимых уравнений. В некоторых случаях зависимые переменные должны быть исключены из комплексов , в других необходимо иметь меньше параметров, чем их получается из -теоремы. Причина расхождений не вытекает из необходимых условий применения -теоремы и ее сущности.

3. -теорема не указывает условий, при которых можно пренебречь одним или несколькими комплексами . Последнее является важным для определения правил приближенного подобия.

4. Из -теоремы не ясны способы определения наиболее важных для решения данной задачи безразмерных комплексов

,

где – критерий Фурье (критерий тепловой гомохронности). Характеризует связь между скоростью изменения температурного поля, физическими свойствами и размерами тела.

Покажем это на примере. Попытаемся изучить механизм заполнения и остановки потока расплава.

Рассмотрим сплав без учета его взаимодействия с поверхностью формы. Весь интервал температуры целесообразно разбить на два и , где – избыточная температура заливки; – избыточная температура ликвидуса сплава; – избыточная температура остановки потока.

Найдем список определяющих переменных и параметров. Для первого интервала температуры к таким величинам следует отнести: удельную теплоемкость – , Дж/(кг·К); плотность расплава – , кг/м³; теплопроводность – , Вт/(м·К); кинематическую вязкость – , Па/с; перегрев жидкой фазы – .

Двухфазная зона потока характеризуется удельной теплоемкостью потока – , Дж/(кг·К); плотностью – , кг/м³; кинематической вязкостью – , Па/с; теплопроводностью – , Вт/(м·К); удельной теплотой кристаллизации – , Дж/кг; температурой , К; перегревом – . Очевидно, что зависимый параметр будет являться некоторой функцией от этих величин. В неявной форме эта функция будет иметь вид:

;

.

Рассматриваемая задача будет решаться в четырехмерном пространстве первичных величин: массы  , длины  , времени   и температуры  .

Составим матрицу размерностей существующих величин в виде таблицы.

Таблица 2.2

Матрица размерностей

Размер-ность	Параметр
       	0 2 -2 -1	1 -3 0 0	1 1 -3 -1	0 2 -1 0	0 2 -2 0	0 0 0 1	0 0 0 1

; ; ; ; ; ; .

В качестве основных размерностей необходимо принять , , , , т. к. их определитель, составленный из первичных величин, отличен от нуля:

.

Для однофазной зоны , для двухфазной – .

.

Тогда, следуя -теореме, для однофазной области необходимо найти два критерия , а для двухфазной – три. То есть функциональные зависимости будут иметь вид:

– однофазная зона,

– двухфазная зона.

Выразим каждое из через основные единицы

;

;

;

;

,

где , , , – показатели степени.

Заменим в каждом все величины их размерностями.

;

;

;

;

.

Полученные уравнения преобразуем к виду

.

Все пять критериев должны быть безразмерными. Это выполняется в случае, если тождественны будут следующие системы уравнений:

Решая каждую систему в отдельности, получим значения для показателей степени :

Подставляя численные значения в выражения критериев, получим:

; ; ;

; .

Рассмотрим полученные критерии подобия:

; – критерий Прандтля для интервала температуры ;

; где ;

, – критерий Прандтля для интервала температуры ;

; где ;

– критерий фазового перехода.

Базовая комплексная функциональная зависимость может быть записана в виде

.

Последнее уравнение упростим подбором комбинаций безразмерных комплексов

,

где – комплекс, характеризующий гидравлические свойства перегретого сплава; – комплекс, характеризующий гидравлические свойства сплава в жидко-твердом состоянии.

3. Основы теории подобия

3.1 Подобие физических явлений

Решаемые в настоящее время задачи достаточно сложны и практически всегда многофакторны. Это означает, что интересующие нас независимые величины практически всегда являются функциями многих переменных – факторов. Однако эти переменные оказывают влияние не по отдельности, а в некоторой совокупности, т. е. во вполне определенном сочетании. Множественность физических связей не является собственным свойством изучаемых задач, обусловленных их физической природой. В действительности влияние отдельных факторов, представленных различными величинами, проявляется совместно. Таким образом, для каждого физического процесса можно найти некоторые совокупности из характерных величин, определяющие его развитие. Можно развить методику, позволяющую на основе логического или математического анализа определить связь между отдельными величинами, объединив их в безразмерные комплексы, имеющие ясный физический смысл. Начиная с А. Гухмана, метод теории подобия часто называют методом обобщенных переменных.

Рассмотрим условия подобия, когда теоретическое описание группы физических явлений достаточно хорошо разработано и имеется физико-математическая модель в виде системы уравнений. Они могут быть дифференциальными или интегральными, или интегро-дифференциальными системами. Обычно при выводе этих уравнений используются хорошо изученные, имеющие достаточно большую общность физические закономерности и гипотезы, достоверность которых проверена большим числом опытов. Отдельно взятое такое уравнение (математическая модель известного закона) или система уравнений представляет собой достаточно общую взаимосвязь между величинами, существенными для данного класса физических явлений, и их надо интерпретировать как математические модели класса однородных физических явлений, характеризующихся одинаковостью механизмов протекающих процессов и одинаковой физической природой.

Обычно отдельно взятое уравнение или систему уравнений – математическую модель данного класса физических явлений – удовлетворяет достаточно большое число решений. Но для каждой конкретной задачи из множества возможных решений необходимо выбрать то частное решение, которое удовлетворяло бы именно заданным условиям задачи.

Для этого необходимо математическую модель явления дополнить математическим описанием всех частных особенностей, которые принято называть краевыми условиями или условиями однозначности.

Обычно условия однозначности включают в себя:

1. геометрические, под которыми понимают форму тела и его характерные размеры, т. е. геометрические условия протекания процесса;

2. физические, характеризующие физические условия тел и окружающей среды;

3. граничные условия – характеризуют условия протекания процесса на границах тела;

4. временные условия – определяющие характер протекания процесса во времени.

В общем случае условия однозначности могут быть заданы в виде конкретных числовых значений, в виде некоторой функциональной зависимости или в виде дифференциального уравнения.

Однако реальные физические задачи настолько сложны, что применение математического анализа в большинстве случаев ограничивается лишь формулировкой задачи и установлением краевых условий. Решение же обычно возможно лишь при принятии целого ряда упрощающих предпосылок, что в конечном итоге приводит к весьма существенному различию аналитического решения от результатов опыта.

Не лучше дело обстоит и в экспериментальных методах исследования. Обычно опыт преследует одну из двух целей: подробно изучить рассматриваемое явление; получить данные для расчета других явлений, родственных изучаемому. Таким образом, в зависимости от цели планируемых опытов, необходимо предварительно ответить на следующие вопросы.

1. Какие величины надо измерять в опыте?

2. Как обрабатывать результат?

3. Каким образом однозначно определить подобные изучаемому явления?

На эти три вопроса ответы дают теоремы подобия.

Характеристики

Список файлов книги